Если семейство векторов содержит лишь часть базисов всего пространства, то оно порождает только подпространство всего пространства. Я думаю ничто не мешает утверждать, что существуте функция нелинейная на всем пространстве, но линейная на данном подпространстве пороженное данным семейством векторов. Я полагаю такую функцию можно довести до линейности всего пространства. Поэтому скорее всего он сказал, что семейство векторов порождает все пространство

. А далее доказывается, что если это базисы, то линейная функция существует.