Колебательное движение

[Pineapple]

Помогите с колебательным движением. Не могу разобраться в нескольких формулах. $v_x=-v_0\sin\varphi$. Почему $v_0$ со знаком минус?

[Munin]

Минус перед синусом может быть внесён в сам синус: $-\sin\varphi=\sin(\varphi+\pi)=\cos(\varphi+\pi/2).$ Так что, он говорит о фазе. Дальше надо смотреть на суть данной формулы. В каком случае она справедлива? Каковы в этом случае другие характеристики колебательного движения?

В колебательном движении несколько непривычная ситуация: обычно надо смотреть просто на минус, например, в формулах $a=-bc,$ а здесь надо смотреть на минус и синус. Удобно бывает нарисовать на плоскости единичную окружность, и отмечать различные физические величины (их тригонометрические множители) точками на этой окружности. Тогда получаются четыре возможных множителя:
$\begin{array}{l} \sin\varphi \\ \cos\varphi \\ -\sin\varphi \\ -\cos\varphi \\ \end{array}$
идущие по порядку возрастания фазы (всех их можно выразить через $\sin(\varphi+k(\pi/2))$ или через $\cos(\varphi+k(\pi/2))$). Взаимные умножения этих множителей соответствуют сложениям фаз. (Эти правила умножения аналогичны правилам умножения комплексных чисел $1,i,-1,-i,$ лежащих на единичной окружности на комплексной плоскости.) Если вы будете воспринимать минус и синус как нечто единое целое, вам будет легче разобраться в формулах и их соотношениях.

Например, пусть мы взяли за начальную формулу такую координату точки: $x=A\cos \omega t$ (слово "пусть" здесь важно, мы могли взять, для примера, и другую формулу: $x=A\sin \omega t$). Тогда характеристики движения будут такие:
$\begin{array}{l@{{}={}}l@{{}\cdot{}}l@{{}={}}l@{{}\cdot{}}l} x&A&\cos \omega t&x_0&\cos(\omega t+0) \\ v&\omega A&(-\sin \omega t)&v_0&\cos(\omega t+\pi/2) \\ a&\omega^2A&(-\cos \omega t)&a_0&\cos(\omega t+\pi) \\ \end{array}$
Видно, что скорость опережает координату по фазе на четверть периода (на четверть окружности), а ускорение идёт впереди ещё на четверть периода. Цепкий глаз, привычный к коэффициентам типа "минус и синус", сразу это увидит.

На самом деле, конечно же, эти четыре множителя - это четыре последовательные производные от синуса, а дальше они идут по кругу:
$\begin{array}{l}\begin{array}{@{}l@{{}={}}l} (\sin\varphi)^{(0)}&\sin\varphi \\ (\sin\varphi)'&\cos\varphi \\ (\sin\varphi)''&-\sin\varphi \\ (\sin\varphi)'''&-\cos\varphi \\ (\sin\varphi)''''&\sin\varphi \\ \end{array} \\ \ldots \\ \end{array}$

[ewert]

Pineapple в сообщении #761802 писал(а):

$v_x=-v_0\sin\varphi$. Почему $v_0$ со знаком минус?

При всей внешней нелепости вопроса ответить на него можно с почти полной уверенностью. Потому, что на картинке скорость направлена по касательной к окружности и смотрит влево и вверх.

[GAA]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

Pineapple, замечание за отсутствие четкой формулировки проблемы в начальном сообщении.

[Pineapple]

Munin
А что такое циклическая чистота, чем она отличается от угловой скорости?

[arseniiv]

Циклическая частота $\omega = 2\pi\nu$. Если $\nu$ — частота движения по окружности, то $\omega$ — угловая скорость этого движения, но если $\nu$ — частота чего-то другого, соответствующая угловая скорость просто бессмысленна.

[Pineapple]

Амплитуда это же и есть радиус? И буду очень благодарен если докажете , что $v_x=-v_0\sin\varphi$

[Munin]

Pineapple в сообщении #762005 писал(а):

А что такое циклическая чистота, чем она отличается от угловой скорости?

Ничем, кроме того, что когда вы движетесь по реальной пространственной окружности, употребляется термин "угловая скорость", а когда по абстрактной (а реально только по одной координате, или даже вообще нет движения в пространстве - например, электрические колебания) - то циклическая частота.

Аналогично, слова радиус и амплитуда.

Pineapple в сообщении #762019 писал(а):

И буду очень благодарен если докажете , что $v_x=-v_0\sin\varphi$

Есть определение скорости: $v_x=\dfrac{dx}{dt}.$ Так что, мы просто берём формулу
$x=x_0\cos\omega t,$
и от неё производную:
$v_x=\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{d}{dt}(x_0\cos\omega t)=x_0\dfrac{d}{dt}(\cos\omega t)=x_0(-\sin\omega t)\dfrac{d}{dt}(\omega t)=x_0\omega(-\sin\omega t)$
Теперь просто назовём $x_0\omega=v_0$ (все эти константы обычно положительные, чтобы легче было читать формулы), тогда
$v_x=-v_0\sin\omega t.$

[Pineapple]

А $-\sin \omega t = \cos(\omega t+\pi/2)$ - из формулы приведения получилось?

[Munin]

Да, разумеется.

[Pineapple]

Расскажите как узнать когда какую формулу использовать: например дано: $A = 0.01$ метр, $\omega=\pi$, $\varphi_0=0$. Нужно найти координату точки через промежуток времени $\Delta t =2.5 c.$
Если использовать закон косинуса, то получится одно значение, а если синуса то другое.

[arseniiv]

Может, в задаче всё-таки говорится о начальной координате этой точки? (Хотя тогда бы начальную фазу вряд ли указывали.) Она сконструирована не очень хорошо, если не говорится — из бесконечного числа сдвинутых синусоид ни одна не лучше другой.

[Pineapple]

arseniiv
Извините, забыл написать $x=0$ в начальный момент

[arseniiv]

Чтобы найти, какой нужен закон, запишите самый общий его вид: $x = A\sin(\omega t + \varphi_0)$.

-- Чт сен 12, 2013 00:30:41 --

Кстати, у вас размерности не совпадают — забыли размерность у $\omega$.

[Pineapple]

$x=0.01\sin2.5\pi$
$\omega=\pi$ радиан