2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение29.11.2013, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Для того же, для чего иногда считают дюжинами :wink:
Измеряя пульс, число 3.1415 не используют...

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение29.11.2013, 22:10 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Pineapple в сообщении #794318 писал(а):
А для чего помимо обычной частоты вводится циклическая частота?
Для начала, её удобно подставлять в тригонометрические функции: $\sin(\omega t+\varphi_0)$ vs. $\sin(2\pi\nu t+\varphi_0)$. Для конца вы уже спрашивали в начале темы: для вращения она аналогична угловой скорости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение30.11.2013, 01:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Pineapple в сообщении #794318 писал(а):
А для чего помимо обычной частоты вводится циклическая частота?

К тому, что уже сказали в ответ (всё очень верно), добавлю, что это пример ситуации, когда можно делать по-разному, и выбирают какой-то один вариант, более-менее удобный.

Есть разные физические величины, связанные с частотой множеством формул. И вот так получилось, что одни физические величины связаны более напрямую с обычной частотой $\nu,$ а другие - с циклической $\omega.$ Разумеется, всё, что выражается через $\omega,$ можно выразить через $\nu,$ и наоборот. Но при этом в формулах возникают коэффициенты $2\pi$ и $1/(2\pi),$ которые, честно говоря, мешаются и мозолят глаз :-) Можно их "гонять" из одних формул в другие, выбирая в качестве основной используемой величины либо обычную частоту $\nu,$ либо циклическую $\omega.$ Но это как паста в закрытом тюбике: нажмёшь в одном месте - вылезет в другом.

Поэтому выбирают, глядя по тому, какие формулы больше используются. arseniiv правильно пишет, что $\sin(\omega t+\varphi_0)$ выглядит куда красивей, чем $\sin(2\pi\nu t+\varphi_0),$ но главное даже не это. Главное - то, что эти синусы - это на самом деле решения уравнений.

    В школе обычно эту тему особо не затрагивают, но то, что в школе решают как уравнения - алгебраические уравнения, тригонометрические уравнения, и их близкие аналоги (например, уравнения по модулю) - это всего лишь как первый этаж башни. Эти уравнения устроены так:
    - задана функция (обычно формулой) - надо найти число.
    Здесь функция играет роль условия, наложенного на число (типа $f(x)=0$), и решение уравнения состоит в том, чтобы найти число ($x$), которое этому условию удовлетворяет. А бывают уравнения другого типа, которые устроены так:
    - задано условие на функцию - надо найти функцию.
    Как видите, это уже "следующий этаж иерархии" (записывается в обобщённом виде иногда как $F[f(x)]=0$ или $\mathcal{F}[f(x)]=g(x),$ надо найти $f(x)$). Такие уравнения - это чаще всего дифференциальные уравнения, весьма часто встречаются также интегральные уравнения, и бывают изредка функциональные уравнения общего вида (и я не всё перечислил). Разумеется, в математике, как только придумали иерархию, можно не останавливаться, и продолжать её:
    - задано условие на условие на функцию - надо найти условие на функцию ("3-й этаж");
    - задано условие на условие на условие на функцию - надо найти условие на условие на функцию ("4-й этаж");
    - ... и так далее.
    Но на практике такие уравнения начинают встречаться уже реже, чем уравнения "2-го этажа" (а вот "2-й этаж" - чаще "1-го", имейте в виду!). Хотя когда как. Примеры уравнений "3-го этажа" - это вариационные уравнения и операторные уравнения. Операторные уравнения очень сильно используются в квантовой физике, физике элементарных частиц, физике твёрдого тела (это наиболее развитая из веток физики внутреннего устройства вещества). Это всё старшие курсы вуза и аспирантура, научная работа. Уравнения "4-го этажа" я вообще ни разу не встречал в жизни, разве что только они были где-то в неявном виде, и я их не узнал.

Всё это отступление мне понадобилось, чтобы сказать, что $\sin(\omega t+\varphi_0)$ - это решение некоторого дифференциального уравнения, обычно вот такого:
$$\dfrac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2x\qquad\text{или}\qquad m\dfrac{d^2x}{dt^2}=-kx,$$ и вот в таком дифференциальном уравнении удобно пользоваться именно циклической частотой - именно циклическая частота входит в него совершенно естественно, как коэффициент, а не обычная. Связано это с тем, что наклон графика $\sin x$ в нуле - единица, то есть 45°. Если мы "сожмём" синус так, чтобы его период был равен единице, то есть запишем $\sin 2\pi x$ - то мы "испортим" наклон в нуле. А дифференциальное уравнение устроено таким образом, что синус весь, целиком весь бесконечный график, "вырастает" из этого наклона в точке 0, как растение из ростка. Поэтому этот наклон оказывается чрезвычайно важен, и раз уж мы работаем с ним, то нам удобней величина $\omega,$ а не $\nu.$ Ещё один пример аналогичного соглашения - это когда мы получаем функцию вида $a^x$ как решение дифференциального уравнения вида
$$\dfrac{dy}{dx}=ky,$$ и вот здесь нам тоже удобно рассматривать наклон в точке 0, и взять его равным единице. Если мы его берём равным единице, то получаем экспоненту $e^x,$ $e=2{,}718\ldots,$ хотя казалось бы, просто для функции удобней было бы взять число круглое, 2 или 10. Но нет, удобней брать именно это некруглое число $e$ - для дифференциального уравнения оно оказывается "более круглым". В физике это встречается, например, там, где вычисляют период полураспада радиоактивных элементов, распадающихся ядер - по основанию 2 - и переходят от периода полураспада к другой физической величине, называемой время жизни (или иногда "среднее время жизни"), которая оказывается как раз по основанию $e.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение01.01.2014, 15:25 


17/01/13
622
А почему ускорение максимально в амплитудном состоянии, скорость ведь равна 0? И какое ускорение рассматривают при колебании математического и пружинного маятника?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение01.01.2014, 15:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
В амплитудном состоянии пружина (или что там есть) деформирована максимально - стал быть, и "возвращаюшая сила" имеет наибольший модуль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение01.01.2014, 16:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/07
1352
Москва

(Оффтоп)

Цитата:
Помогите с колебательным движением. Не могу разобраться...

Попрыгай на батуте - это дешево.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение02.01.2014, 01:28 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
Zai в сообщении #808347 писал(а):
Попрыгай на батуте - это дешево.
 !  Zai, замечание за фамильярность и за неправильное цитирование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение06.01.2014, 19:21 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Munin в сообщении #794397 писал(а):
В физике это встречается, например, там, где вычисляют период полураспада радиоактивных элементов, распадающихся ядер - по основанию 2 - и переходят от периода полураспада к другой физической величине, называемой время жизни (или иногда "среднее время жизни"), которая оказывается как раз по основанию $e.$
Кстати, это $e$ можно объяснить как-нибудь в обход нахождения интеграла, связанного с матожиданием экспоненциального распределения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение06.01.2014, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
arseniiv в сообщении #810223 писал(а):
Кстати, это $e$ можно объяснить как-нибудь в обход нахождения интеграла, связанного с матожиданием экспоненциального распределения?

Берём время, за которое распадается малая доля, и делим на эту долю.
Далее читаем про второй замечательный предел :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение06.01.2014, 21:28 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Неочевииидно (или лень просто). Я лучше интеграть буду.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group