А для чего помимо обычной частоты вводится циклическая частота?
К тому, что уже сказали в ответ (всё очень верно), добавлю, что это пример ситуации, когда можно делать по-разному, и выбирают какой-то один вариант, более-менее удобный.
Есть разные физические величины, связанные с частотой множеством формул. И вот так получилось, что одни физические величины связаны более напрямую с обычной частотой
а другие - с циклической
Разумеется, всё, что выражается через
можно выразить через
и наоборот. Но при этом в формулах возникают коэффициенты
и
которые, честно говоря, мешаются и мозолят глаз :-) Можно их "гонять" из одних формул в другие, выбирая в качестве основной используемой величины либо обычную частоту
либо циклическую
Но это как паста в закрытом тюбике: нажмёшь в одном месте - вылезет в другом.
Поэтому выбирают, глядя по тому, какие формулы больше используются.
arseniiv правильно пишет, что
выглядит куда красивей, чем
но главное даже не это. Главное - то, что эти синусы - это на самом деле
решения уравнений.
В школе обычно эту тему особо не затрагивают, но то, что в школе решают как уравнения - алгебраические уравнения, тригонометрические уравнения, и их близкие аналоги (например, уравнения по модулю) - это всего лишь как первый этаж башни. Эти уравнения устроены так:
- задана функция (обычно формулой) - надо найти число.
Здесь функция играет роль условия, наложенного на число (типа ), и решение уравнения состоит в том, чтобы найти число (), которое этому условию удовлетворяет. А бывают уравнения другого типа, которые устроены так:
- задано условие на функцию - надо найти функцию.
Как видите, это уже "следующий этаж иерархии" (записывается в обобщённом виде иногда как или надо найти ). Такие уравнения - это чаще всего дифференциальные уравнения, весьма часто встречаются также интегральные уравнения, и бывают изредка функциональные уравнения общего вида (и я не всё перечислил). Разумеется, в математике, как только придумали иерархию, можно не останавливаться, и продолжать её:
- задано условие на условие на функцию - надо найти условие на функцию ("3-й этаж");
- задано условие на условие на условие на функцию - надо найти условие на условие на функцию ("4-й этаж");
- ... и так далее.
Но на практике такие уравнения начинают встречаться уже реже, чем уравнения "2-го этажа" (а вот "2-й этаж" - чаще "1-го", имейте в виду!). Хотя когда как. Примеры уравнений "3-го этажа" - это вариационные уравнения и операторные уравнения. Операторные уравнения очень сильно используются в квантовой физике, физике элементарных частиц, физике твёрдого тела (это наиболее развитая из веток физики внутреннего устройства вещества). Это всё старшие курсы вуза и аспирантура, научная работа. Уравнения "4-го этажа" я вообще ни разу не встречал в жизни, разве что только они были где-то в неявном виде, и я их не узнал.
Всё это отступление мне понадобилось, чтобы сказать, что
- это решение некоторого
дифференциального уравнения, обычно вот такого:
и вот в таком дифференциальном уравнении удобно пользоваться именно циклической частотой - именно циклическая частота входит в него совершенно естественно, как коэффициент, а не обычная. Связано это с тем, что наклон графика
в нуле - единица, то есть 45°. Если мы "сожмём" синус так, чтобы его период был равен единице, то есть запишем
- то мы "испортим" наклон в нуле. А дифференциальное уравнение устроено таким образом, что синус весь, целиком весь бесконечный график, "вырастает" из этого наклона в точке 0, как растение из ростка. Поэтому этот наклон оказывается чрезвычайно важен, и раз уж мы работаем с ним, то нам удобней величина
а не
Ещё один пример аналогичного соглашения - это когда мы получаем функцию вида
как решение дифференциального уравнения вида
и вот здесь нам тоже удобно рассматривать наклон в точке 0, и взять его равным единице. Если мы его берём равным единице, то получаем экспоненту
хотя казалось бы, просто для функции удобней было бы взять число круглое, 2 или 10. Но нет, удобней брать именно это некруглое число
- для дифференциального уравнения оно оказывается "более круглым". В физике это встречается, например, там, где вычисляют
период полураспада радиоактивных элементов, распадающихся ядер - по основанию 2 - и переходят от периода полураспада к другой физической величине, называемой
время жизни (или иногда "среднее время жизни"), которая оказывается как раз по основанию