2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Колебательное движение
Сообщение08.09.2013, 20:55 


17/01/13
622
Помогите с колебательным движением. Не могу разобраться в нескольких формулах. $v_x=-v_0\sin\varphi$. Почему $v_0$ со знаком минус?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение09.09.2013, 04:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Минус перед синусом может быть внесён в сам синус: $-\sin\varphi=\sin(\varphi+\pi)=\cos(\varphi+\pi/2).$ Так что, он говорит о фазе. Дальше надо смотреть на суть данной формулы. В каком случае она справедлива? Каковы в этом случае другие характеристики колебательного движения?

В колебательном движении несколько непривычная ситуация: обычно надо смотреть просто на минус, например, в формулах $a=-bc,$ а здесь надо смотреть на минус и синус. Удобно бывает нарисовать на плоскости единичную окружность, и отмечать различные физические величины (их тригонометрические множители) точками на этой окружности. Тогда получаются четыре возможных множителя:
$\begin{array}{l}
\sin\varphi \\
\cos\varphi \\
-\sin\varphi \\
-\cos\varphi \\
\end{array}$
идущие по порядку возрастания фазы (всех их можно выразить через $\sin(\varphi+k(\pi/2))$ или через $\cos(\varphi+k(\pi/2))$). Взаимные умножения этих множителей соответствуют сложениям фаз. (Эти правила умножения аналогичны правилам умножения комплексных чисел $1,i,-1,-i,$ лежащих на единичной окружности на комплексной плоскости.) Если вы будете воспринимать минус и синус как нечто единое целое, вам будет легче разобраться в формулах и их соотношениях.

Например, пусть мы взяли за начальную формулу такую координату точки: $x=A\cos \omega t$ (слово "пусть" здесь важно, мы могли взять, для примера, и другую формулу: $x=A\sin \omega t$). Тогда характеристики движения будут такие:
$\begin{array}{l@{{}={}}l@{{}\cdot{}}l@{{}={}}l@{{}\cdot{}}l}
x&A&\cos \omega t&x_0&\cos(\omega t+0) \\
v&\omega A&(-\sin \omega t)&v_0&\cos(\omega t+\pi/2) \\
a&\omega^2A&(-\cos \omega t)&a_0&\cos(\omega t+\pi) \\
\end{array}$
Видно, что скорость опережает координату по фазе на четверть периода (на четверть окружности), а ускорение идёт впереди ещё на четверть периода. Цепкий глаз, привычный к коэффициентам типа "минус и синус", сразу это увидит.

На самом деле, конечно же, эти четыре множителя - это четыре последовательные производные от синуса, а дальше они идут по кругу:
$\begin{array}{l}\begin{array}{@{}l@{{}={}}l}
(\sin\varphi)^{(0)}&\sin\varphi \\
(\sin\varphi)'&\cos\varphi \\
(\sin\varphi)''&-\sin\varphi \\
(\sin\varphi)'''&-\cos\varphi \\
(\sin\varphi)''''&\sin\varphi \\
\end{array} \\
\ldots \\
\end{array}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение09.09.2013, 06:37 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Pineapple в сообщении #761802 писал(а):
$v_x=-v_0\sin\varphi$. Почему $v_0$ со знаком минус?

При всей внешней нелепости вопроса ответить на него можно с почти полной уверенностью. Потому, что на картинке скорость направлена по касательной к окружности и смотрит влево и вверх.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение09.09.2013, 09:30 
Заслуженный участник


12/07/07
4522
 i  Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

Pineapple, замечание за отсутствие четкой формулировки проблемы в начальном сообщении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение09.09.2013, 18:39 


17/01/13
622
Munin
А что такое циклическая чистота, чем она отличается от угловой скорости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение09.09.2013, 18:52 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Циклическая частота $\omega = 2\pi\nu$. Если $\nu$ — частота движения по окружности, то $\omega$ — угловая скорость этого движения, но если $\nu$ — частота чего-то другого, соответствующая угловая скорость просто бессмысленна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение09.09.2013, 19:25 


17/01/13
622
Амплитуда это же и есть радиус? И буду очень благодарен если докажете , что $v_x=-v_0\sin\varphi$

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение09.09.2013, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Pineapple в сообщении #762005 писал(а):
А что такое циклическая чистота, чем она отличается от угловой скорости?

Ничем, кроме того, что когда вы движетесь по реальной пространственной окружности, употребляется термин "угловая скорость", а когда по абстрактной (а реально только по одной координате, или даже вообще нет движения в пространстве - например, электрические колебания) - то циклическая частота.

Аналогично, слова радиус и амплитуда.

Pineapple в сообщении #762019 писал(а):
И буду очень благодарен если докажете , что $v_x=-v_0\sin\varphi$

Есть определение скорости: $v_x=\dfrac{dx}{dt}.$ Так что, мы просто берём формулу
$x=x_0\cos\omega t,$
и от неё производную:
$v_x=\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{d}{dt}(x_0\cos\omega t)=x_0\dfrac{d}{dt}(\cos\omega t)=x_0(-\sin\omega t)\dfrac{d}{dt}(\omega t)=x_0\omega(-\sin\omega t)$
Теперь просто назовём $x_0\omega=v_0$ (все эти константы обычно положительные, чтобы легче было читать формулы), тогда
$v_x=-v_0\sin\omega t.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение09.09.2013, 20:11 


17/01/13
622
А $-\sin \omega t = \cos(\omega t+\pi/2)$ - из формулы приведения получилось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение09.09.2013, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да, разумеется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение11.09.2013, 21:18 


17/01/13
622
Расскажите как узнать когда какую формулу использовать: например дано: $A = 0.01$ метр, $\omega=\pi$, $\varphi_0=0$. Нужно найти координату точки через промежуток времени $\Delta t =2.5 c.$
Если использовать закон косинуса, то получится одно значение, а если синуса то другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение11.09.2013, 21:25 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Может, в задаче всё-таки говорится о начальной координате этой точки? (Хотя тогда бы начальную фазу вряд ли указывали.) Она сконструирована не очень хорошо, если не говорится — из бесконечного числа сдвинутых синусоид ни одна не лучше другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение11.09.2013, 21:26 


17/01/13
622
arseniiv
Извините, забыл написать $x=0$ в начальный момент

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение11.09.2013, 21:29 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Чтобы найти, какой нужен закон, запишите самый общий его вид: $x = A\sin(\omega t + \varphi_0)$.

-- Чт сен 12, 2013 00:30:41 --

Кстати, у вас размерности не совпадают — забыли размерность у $\omega$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебательное движение
Сообщение11.09.2013, 21:32 


17/01/13
622
$x=0.01\sin2.5\pi$
$\omega=\pi$ радиан

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 55 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group