2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 32  След.
 
 
Сообщение22.08.2007, 19:15 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Не надо новых тем. Продолжайте в этой, тем более что анонс уже дан. Только лучше проверяйте все внимательно до того, как публиковать. А то так темы можно плодить неограниченно.

Добавлено спустя 6 минут 31 секунду:

 !  PAV:
И еще раз напоминаю всем участникам всех дискуссий:

не надо организовывать общение с модераторами в рамках существующей темы.

либо пишите ЛС, либо (если хотите публичности) - заводите тему в "Работе форума"

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.08.2007, 23:35 


05/08/07
206
В.Сорокин писал(а):
ВЕЛИКОЛЕПНОЕ ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ГИПОТЕЗЫ!
Расчет на какуляторе самого трудного случая:
$n=3$, $ABC$ не кратно $n$.
При $A=100$ и $B=200$ значения чисел (в новых, более удобных обозначениях чисел):

$a=100$, $b=200$, $c=208,008$;
$a^3=1000000$, $b^3=8000000$, $c^3=9000000$;
$c-b=8,008$, $c-a=108,008$, $a+b=300$;
$a_1=2,001$, $b_1=4,762$, $c_1=6,694$;
$a_2=49,983$, $b_2=41,999$, $c_2=31,074$;
$b_2-c_2=10,925$, $a_2-c_2=18,909$, $a_2-b_2=7,983$;
$c_1+b_1=11,456$, $c_1+a_1=8,695$, $b_1-a_1=2,761$;
$ (c_1+b_1)a_1$: $(c_1+a_1)b_1$: $ (b_1-a_1)c_1$:
$22,923$; $41,406$; $18,482$.

Как видим, ни одна разность оснований вторых сомножителей P, Q, R не является целой (не делится нацело на число в нижней строке, А ДОЛЖНО БЫ!).
Таким образом, для завершения элементарного доказательства ВТФ осталось только оформить численный расчет в общем виде. И в этом случае $a_2-b_2=7,983$ должно делиться аж на $96$!

P.S. В случае с $abc$ не кратным $n$ для противоречия достаточно рассмотреть разницу - например $a_2-b_2$ - лишь для четного числа $c$, которое обязано делиться на $b_1-a_1$, а кроме того - на $4$ и на $n$ БЕЗ учета других сомножителей числа $c_1$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.08.2007, 11:01 


23/01/07
3224
Новосибирск
В.Сорокин писал(а):
... а пока основной вывод: противоречие должно обнаруживаться только с помощью НЕРАВЕНСТВ.

Доказательство при помощи неравенства - вещь хорошая, но кова-а-арная :D

Вот к примеру, как "доказывается" БТФ для n = 3:

Многим известное тождество:

$ (a+b-c)^3 = 3(c-a)(c-b)(a+b) $ (1)

Путем несложных преобразований получаем другое тождество:

$ [(\frac{c-a}{b})^2+(\frac{c-a}{b})+1][(\frac{c-b}{a})^2+(\frac{c-b}{a})+1][(\frac{a+b}{c})^2+(\frac{a+b}{c})+1] = 9 $ (2)
Обозначим:
$ \frac{c-a}{b} = x $
$ \frac{c-b}{a} = y $
$ \frac{a+b}{c} = z $

Тогда тождество (2) приобретает вид:
$ (x^2+x+1)(y^2+y+1)(z^2+z+1) = 9 $

Поделив обе части на $ x^2y^2z^2 $,
получаем равенство:
$ \frac{(x^2+x+1)}{x^2}\frac{(y^2+y+1)}{y^2}\frac{(z^2+z+1)}{z^2} = \frac{9}{x^2y^2z^2} $ (3)

Имея в виду то, что:
$ \frac{x^2+x+1}{x^2} = \frac{x^3-1}{x^2(x-1)} < \frac{x^3}{x^2(x-1)} = \frac{x}{x-1} $
$ \frac{y^2+y+1}{y^2} = \frac{y^3-1}{y^2(y-1)} < \frac{y^3}{y^2(y-1)} = \frac{y}{y-1} $ (4)
$ \frac{z^2+z+1}{z^2} = \frac{z^3-1}{z^2(z-1)} < \frac{z^3}{z^2(z-1)} = \frac{z}{z-1} $,
можно составить неравенство:
$ \frac{x}{(x-1)}\frac{y}{(y-1)}\frac{z}{(z-1)} > \frac{9}{x^2y^2z^2} $ (5)

Вернув прежние обозначения, после некоторых преобразований получаем:
$ \frac{(c-a)^3}{a^2}\frac{(c-b)^3}{b^2}\frac{(a+b)^3}{c^2} > 9(a+b-c)^3 $
$ (c-a)^2(c-b)^2(a+b)^2> 27a^2b^2c^2 $
$ (\frac{c-a}{b})^2(\frac{c-b}{a})^2(\frac{a+b}{c})^2 > 27 $
$ (\frac{c-a}{b})(\frac{c-b}{a})(\frac{a+b}{c}) > \sqrt{27} $ (6)

Имея в виду, что
$ (\frac{c-a}{b}) < 1$
$ (\frac{c-b}{a}) < 1 $
$ (\frac{a+b}{c}) < 4^{\frac{1}{3} $,
делаем вывод, что неравенство (6) не может выполняться и, следовательно, БТФ для n = 3 не имеет решений.

А с другой стороны, я ни разу не упоминул о целочисленности чисел.
Выходит, что БТФ не выполняется и для дробных чисел?

Где-то я смухлевал :?: :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.08.2007, 11:06 


05/08/07
206
В.Сорокин писал(а):
P.S. В случае с $abc$ не кратным $n$ для противоречия достаточно рассмотреть разницу - например $a_2-b_2$ - лишь для четного числа $c$, которое обязано делиться на $b_1-a_1$, а кроме того - на $4$ и на $n$ БЕЗ учета других сомножителей числа $c_1$.

Еще одно подтверждение гипотезы:

При n=3, a=180 и b=200
a_2-b_2=11,79, а (b_1-a_1)4n=14,844.
Понятно, со сближением значений a и b значения чисел
a_2-b_2 и (b_1-a_1)4n также будут сближаться.
Численные примеры явились бы убедительным свидетельством верности ГИПОТЕЗЫ для Someone, но, к сожалению, он отстранился от просмотры этой темы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.08.2007, 11:18 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Батороев
:offtopic3:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.08.2007, 11:20 


05/08/07
206
Батороев писал(а):
Где-то я смухлевал :?: :D

Неравенства (6) и предыдущее НЕ эквивалентны.

В своем примере Вы оперируете неравенствами. Я же - нет, я лишь вычисляю их, вернее не их, а приближенные значения чисел для опровержения теоретического факта:
a_2-b_2 > (b_1-a_1)4n,
ибо, с другой стороны, "на практике" a_2-b_2 < (b_1-a_1)4n,

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.08.2007, 11:21 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
В.Сорокин писал(а):
Численные примеры явились бы убедительным свидетельством верности ГИПОТЕЗЫ для Someone, но, к сожалению, он отстранился от просмотры этой темы.

Давайте не будем решать за Someone, явились ли бы для него численные примеры убедительным свидетельством каких-то выводов или нет. Все равно это не заменяет строгого доказательства, верно? :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.08.2007, 15:44 


05/08/07
206
PAV писал(а):
Давайте не будем решать за Someone, явились ли бы для него численные примеры убедительным свидетельством каких-то выводов или нет. Все равно это не заменяет строгого доказательства, верно? :wink:

Разумеется. Я просто сожалею о том, что Someone оказался в стороне от доказательства ВТФ в самый интересный момент, когда его принцип теорию подвергать проверке на конкретных примерах дает великолепные результаты.
+++++++++
Кстати, из формулы 7° следует, что (8°) g = a_2 - b_2$ делится на 4n(a_1 - b_1)$, но - как показывают расчеты на конкретных числах - (8°) g = a_2 - b_2 < 4n(a_1 - b_1)$. В этом и состоит ПРОТИВОРЕЧИЕ равенства Ферма.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.08.2007, 15:36 


05/08/07
206
В.Сорокин писал(а):
3. Давным давно я выдвинул такую гипотезу:
так как число $P-Q$ делится на $A-B$ и, кроме того, на общий делитель чисел $C и $A+B$, то в числе $P-Q= a''^n -b''^n =$ именно сомножитель $a''-b''$ делится и на $a' -b'$, и на $4n$. Но доказать это мне все не удается.
Итак, постепенно приступаю к простым расчетам.

Промежуточные итоги

Как показывают расчеты на конкретных числах, в любом раенстве
$a^n+b^n = c^n$ с простым $n > 2$ и положительными действительными числами $a, b, c$, где $0 < b/a <1$,
число $h= \frac{a_2-b_2}{4n(b_1-a_1)}$ является ПРАВИЛЬНОЙ дробью.
А в случае целочисленного равенства $a^n+b^n = c^n$, в котором целое число кратно $4$, а два других числа нечетны, число $h$, что следует из формулы 7°, является ЦЕЛЫМ числом, что противоречит первому факту.
Это фундаментальное противоречие равенства Ферма является, насколько мне известно, единственным.
Представляется, что вычислить значение действительного числа $h$ проще всего методами математического анализа, что я предоставляю специалистам в этой области.
Я же попытась вычислить число $h$ с помощью приближенных вычислений.
====================
Несколько соображений (25 авг.).
1. Удобно рассматривать действительное число $h= \frac{a_2-b_2}{4n(b_1-a_1)}$ как НЕПРЕРЫВНУЮ функцию от $t= \frac{b}{a}$ на открытом интервале $0 < t < 1$ при $c=Const.$ (например, при $c=1000$.
2. Не исключено, что приближенные вычисления $h$ могут вызвать затруднения в граничных точках интервала $t$. И для их преодоления П.Ферма должен был владеть дифференциальным исчислением.
3. Интересно сравнить графики для $h$ при $n=3$ и $n=5$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.08.2007, 01:08 


05/08/07
206
Нескучный анализ чисел в равенстве Ферма

Казалось бы, при фиксированном значении c наименьшее из трех чисел - b может принимать значения от b=1 до b=a-1, а среднее из чисел - a может принимать значения от a=b+1 до a=c-1. Однако уже из a=c-1 следует, что b > (na^{n-1})^{\frac{1}{n}}. И это уже большое продвижение от значения b=1.
Это обстоятельство порождает следующую идею доказательства: искать последующие значения нижней границы числа b. И если мы покажем, что на следующем шаге значение числа b возрастает хотя бы на единицу, то тем самым рано или поздно мы придем к равенству b=a, при котором равенство Ферма невозможно.
Эту идею подкрепляет тот факт, что числа P и Q – как видно из формул для этих многочленов, - довольно близки друг к другу по значению и различаются не более чем в n раз. А сами их основания - числа a_2 и b_2 – различаются уже не более чем в n^{\frac{1}{n}} раз. Таким образом, min(b_2) = (c^{n-1})^{\frac{1}{n}}, а min(b) = b_1^nc^{n-1})^{\frac{1}{n}}, где b_1>1.
Затем мы переходим к новому значению a, от которого, в свою очередь, снова переходим к возросшему значению b, и так далее до b=a либо до b>a.

А вот интересная мысль в отношении числа $g= a_2 - b_2 = \frac{(a+b)(b_1-a_1) + (a_1+b_1)(a-b)}{2a_1b_1}$, или $g= a_2 - b_2 = \frac{(a-b)(a_1+b_1) - (a+b)(a_1-b_1)}{2a_1b_1}$, или
$g= a_2 - b_2 = \frac{(a_1a_2-b_1b_2)(a_1+b_1) - (a_1a_2+b_1b_2)(a_1-b_1)}{2a_1b_1}$.
Ведь если положить числа a_2 и b_2 почти равными, то, очевидно, g < 1. Но числа a_2 и b_2 и в самом деле весьма близки по значению: они различаются, как мы видели выше, не более чем в n^{\frac{1}{n}} раз. И по интуитивному ощущению, дополнительное деление числа g на 4n(a_1-b_1) должно «аннигилировать» мешающий «сомножитель» n^{\frac{1}{n}}, оставив в результате для значения числа h простую дробь ВМЕСТО целого числа, как следует из формулы 7° и свойств числа P-Q.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.08.2007, 23:04 


05/08/07
206
Отклонение в доказательстве после формулы 7°.

====================================
Напомню основные свойства равенства Ферма

(1°) $a^n+b^n = c^n$, где простое $n > 2$ и $a, b, c$ взаимопростые.
И пусть пока число $abc$ не кратно $n$. Тогда:
(2°) $c^n-b^n=(c-b)P$, где $c-b=a_1^n, P=a_2^n$,
$c^n-a^n=(c-a)Q$, где $c-a=b_1^n, Q=b_2^n$,
$a^n+b^n=(a+b)R$, где $a+b=c_1^n, R=c_2^n$,
[это следует из простой леммы: если числа $A$ и $B$ взимопростые и число $A+B$ не кратно $n$, то числа $A+B$ и $R = \frac{A^n+B^n}{A+B}$ являются взаимопростыми (ибо $R=(A+B)^2D+nAB)$];
(3°) числа $a_1, a_2,  b_1, b_2, c_1, c_2$ попарно взаимопростые,
числа $P, Q, R$ и $a_2,  b_2, c_2$ нечетны;
(4°) $a=a_1a_2, b=b_1b_2, b=c_1c_2$.
(5°) Из анализа разности многочленов $P$ и $Q$ в их стандартной (школьной) форме видно, что число $P-Q$ делится на $a-b$.
(6°) Важные равенства:
$c_1^n - b_1^n = 2a_1a_2 - a_1^n= 2a - (c-b)$,
$c_1^n - a_1^n = 2b_1b_2 - b_1^n = 2b - (c-a)$,
$a_1^n + b_1^n = 2c_1c_2 - c_1^ n =2c - (a+b)$,
откуда находим формулу числа g=a_2 - b_2$, лежащую в основе данного доказательства ВТФ:
(7°) $g= a_2 - b_2 = \frac{(a+b)(b_1-a_1) + (a_1+b_1)( a_1^n-b_1^n)}{2a_1b_1}$, откуда видно, что число $g=a_2-b_2$ делится на $a_1-b_1$.
==========================================
А дальше мы сделаем вот что: запишем числа $P-Q$ и $a-b$ в виде:
(8°) $P-Q= a_2^n-b_2^n=(a_2-b_2)W$ и
(9°) $a-b= a_1^n-b_1^n=(a_1-b_1)V$.
И теперь, сравнивая их сомножители по (5°) и (7°), можно сделать интересный вывод:
число $ a_2^n-b_2^n=(a_2-b_2)W$ делится на $a_1^n-b_1^n(a_1-b_1)V $,
а число $a_2-b_2$ делится лишь на $a_1-b_1$.
Следовательно, число $W$ делится на $V$.

Однако представляется, что при взаимопростых числах $a_1, b_1, a_2, b_2$ (что следует из 2°) числа $W$ и $V$ являются ВЗАИМОПРОСТЫМИ (без учета, конечно, сомножителя $n$).

***
(Не исключено, что данное утверждение представляет собою известную теорему из теории дискретных чисел. Кто-то из участников обсуждения моего предыдущего доказательства ВТФ показал глубокое знание в этой узком вопросе. И если эта лемма-теорема науке известна, то элементарное доказательство ВТФ налицо. Жаль только, что школьных знаний недостаточно для доказательства леммы-теоремы.)

Очевидно, что если одно из чисел $c, c-b, c-a$ кратно n, то все рассуждения остаются в силе.

Числовой пример к лемме-теореме. Пусть $n=3, a=1, b=4, c=2, d=3, a+b=5, c+d=5$, $a+b$ делится на $c+d$, но $\frac{a^n+b^n}{a+b}=13$ НЕ делится на $\frac{c^n+c^n}{c+c}=7$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.08.2007, 23:02 


05/08/07
206
В.Сорокин писал(а):
Не исключено, что данное утверждение представляет собою известную теорему из теории дискретных чисел. Кто-то из участников обсуждения моего предыдущего доказательства ВТФ показал глубокое знание в этой узком вопросе. И если эта лемма-теорема науке известна, то элементарное доказательство ВТФ налицо. Жаль только, что школьных знаний недостаточно для доказательства леммы-теоремы.

Итак, как видно из предыдущего поста, сама ВТФ «выеденного яйца» не стоит. «Яйца стоит» заключительная лемма-теорема.
Возможно, кто-либо из форумчан даст ссылку на ее публикацию.
Возможно, кто-то сможет привести ее – судя по аналогичным теоремам – простое доказательство.
Ну а нет – придется искать доказательство самому.
Первый (предыдущий) числовой пример иллюстрирует суть теоремы.
А вот более сильный пример для взаимопростых $ a, b, c, d$.
Пусть $c+d$ делится на $a^n+b^n$.
Тогда $c+d$ делится и на $a+b$.
Но $\frac{c^n+d^n}{c+d}$ и $c+d$ являются взимопростыми (см. примеч. к 2°). Следовательно, $\frac{c^n+d^n}{c+d}$ НЕ делится на $\frac{a^n+b^n}{a+b}$, т.е. $W$ НЕ делится на $V$.
Для доказательства леммы-теоремы в общем виде может пригодиться тот факт, что в условиях ВТФ числа $a_2$ и $b_2$ мало отличаются друг от друга. Имеется много и других соображений.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.08.2007, 21:40 


05/08/07
206
В.Сорокин писал(а):
Для доказательства леммы-теоремы в общем виде может пригодиться тот факт, что в условиях ВТФ числа $a_2$ и $b_2$ мало отличаются друг от друга. Имеется много и других соображений.


Лемма-теорема (следовательно и ВТФ) может быть сведена к разным простым теоремам. Вот одна из них:
Числа $\frac{a^n-b^n}{a-b}$ и $\frac{(a+1)^n-(b+1)^n}{a-b}$, где $a-b$ не кратно $n$ и $a$ и $b$ взаимопростые, являются взаимопростыми.
Что скажут по этому поводу специалисты в теории чисел?
И …что скажут школьники о – по существу пятистрочном – доказательстве ВТФ (или сведении ее к лемме-теореме) в 8°-9°?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.09.2007, 00:00 


05/08/07
206
В.Сорокин писал(а):
Что скажут по этому поводу специалисты в теории чисел?

В поход за леммой!
Я пока не нашел простое доказательство леммы.
Но вот одна из идей ее доказательства в условиях ВТФ.
Создается впечатление, что остаток от деления числа $a_2$ на $V$ меньше $a_1$, а остаток от деления числа $b_2$ на $V$ меньше $b_1$. ЕСЛИ это так, то верность леммы очевидна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.09.2007, 02:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17194
Москва
В.Сорокин писал(а):
В поход за леммой!
Я пока не нашел простое доказательство леммы.


В.Сорокин писал(а):
Лемма-теорема (следовательно и ВТФ) может быть сведена к разным простым теоремам. Вот одна из них:
Числа $\frac{a^n-b^n}{a-b}$ и $\frac{(a+1)^n-(b+1)^n}{a-b}$, где $a-b$ не кратно $n$ и $a$ и $b$ взаимопростые, являются взаимопростыми.


$a=16$ и $b=9$ взаимно простые, $a-b=7$ не кратно $n=3$, $\frac{a^n-b^n}{a-b}=481=13\cdot 37$, $\frac{(a+1)^n-(b+1)^n}{a-b}=559=13\cdot 43$.

$a=16$ и $b=11$ взаимно простые, $a-b=5$ не кратно $n=3$, $\frac{a^n-b^n}{a-b}=553=7\cdot 79$, $\frac{(a+1)^n-(b+1)^n}{a-b}=637=7^2\cdot 13$.

$a=67$ и $b=30$ взаимно простые, $a-b=37$ не кратно $n=3$, $\frac{a^n-b^n}{a-b}=7399=7^2\cdot 151$, $\frac{(a+1)^n-(b+1)^n}{a-b}=7693=7^2\cdot 157$.

$a=100$ и $b=81$ взаимно простые, $a-b=19$ не кратно $n=3$, $\frac{a^n-b^n}{a-b}=24661=7\cdot 13\cdot 271$, $\frac{(a+1)^n-(b+1)^n}{a-b}=25207=7\cdot 13\cdot 277$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 466 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 32  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group