плотность вероятности

[AndreyL]

Друзья! Чего-то не могу сообразить, должно как-то просто решаться.

На проволоку длиной $L$ наносится покрытие толщиной $h=H(x)$, где $x$-расстояние от начала проволоки. Функция $H(x)$ известна. Нужно найти плотность вероятности толщины покрытия $f(h)$ на любом участке проволоки, т.е. при неизвестном $x$.

[gris]

Не монотонная ли функция? Тогда можно бы через обратную.

[AndreyL]

Функция не монотонная, к сожалению. Был вариант рассчитать первые четыре момента и аппроксимировать плотность кривой Пирсона - тоже плохо, поскольку эта плотность запросто может оказаться полимодальной.

[_hum_]

Кхм...А где здесь вообще случайность, чтобы говорить про вероятность?

[AndreyL]

Случайный выбор $x$. Наверное, можно переформулировать задачу как нахождение плотности вероятности функции $h=H(x)$ при известной функции $H(x)$ и $x$, распределенном равномерно на отрезке $[0,L]$

[type2b]

Чему равна вероятность найти толщину принадлежащей маленькой $\Delta h$-окрестности числа $h$? Вклад будет идти от точек кривой $H(x)$ где $H(x)=h$. Чему равен вклад одной такой точки?
Дальше ответ можно записать одной формулой с дельта-функцией.

[AndreyL]

Я так понимаю, что вероятность найти толщину принадлежащую маленькой $\Delta h$-окрестности числа $h$ будет $\sum_{x:H(x)=h} \frac{\Delta h}{L} \Big/\frac{d H(x)}{d x}$. А как дальше? И тут две проблемы: 1 - избавиться от $\Delta$, 2 - как проводить сложение, если $h$ непрерывная величина.

[_hum_]

AndreyL в сообщении #759768 писал(а):

Случайный выбор $x$. Наверное, можно переформулировать задачу как нахождение плотности вероятности функции $h=H(x)$ при известной функции $H(x)$ и $x$, распределенном равномерно на отрезке $[0,L]$

Вы наверное путаете плотность напыления $\rho = \rho(x)$ (пропорциональную высоте $h$) с плотностью распределения вероятностей значений $u$ этой плотности напыления $f = f(u)$. Если случайность у вас связана только с выбором точки $x$, то плотность распределения вероятностей значений плотности напыления в любой точке $x$ будет просто равна дельта-функции $f(u) = \delta(u - h(x))$ (фактически у вас эксперимент состоит в том, что на заготовке с фиксированным напылением вы случайным образом указываете точку $x$, в которой ищете значение плотности напыления).

[_hum_]

На всякий случай, если все же вам нужно найти плотность распределения вероятностей значений $ h $(эксперимент состоит просто в получении значения $h$ в результате случайного выбора точки, без привязки к конкретному значению $x$), то это классическая задача теории вероятностей (поиск распределения вероятностей с.в., являющейся функциональным преобразованием другой с.в.) с общим способом решения через функцию распределения:

$$f(u) = \frac{d}{du} F(u) = \frac{d}{du}\int_{\{x: \, H(x) < u\}}\frac{1}{L}\,dx$$

[type2b]

AndreyL, вы правильно написали. Теперь надо поделить на $\Delta h$, чтобы получить плотность вероятности. Полученная сумма равна интегралу от дельта-функции, как и указал предыдущий комментатор (чтобы преобразовать его формулу, надо переписать его интеграл как интеграл по всему промежутку со вставленной тета-функцией, и ее продифференцировать).

[AndreyL]

type2b в сообщении #760018 писал(а):

(чтобы преобразовать его формулу, надо переписать его интеграл как интеграл по всему промежутку со вставленной тета-функцией, и ее продифференцировать).

Вот это я слабо понимаю, как это сделать.
Для случая, когда функция $h=H(x)$ монотонная, там все понятно, плотность $f(h)=\frac{d H^{(-1)}}{d h}\Big/ L$, т.е через обратную функцию. А вот как "со вставленной тета-функцией"?

[_hum_]

AndreyL в сообщении #760680 писал(а):

Для случая, когда функция $h=H(x)$ монотонная, там все понятно

Ну, так что тогда мешает разбить область интегрирования на части, где функция оказывается монотонной?

(См., например, wiki/Probability_density_function, раздел Dependent variables and change of variables)

[AndreyL]

_hum_ в сообщении #760712 писал(а):

Ну, так что тогда мешает разбить область интегрирования на части, где функция оказывается монотонной?

Вот пока только к этому и пришел, только там по идее еще сумма с весами должна быть, поскольку промежутки монотонности могут быть разновеликие

[_hum_]

AndreyL в сообщении #760713 писал(а):

_hum_ в сообщении #760712 писал(а):

Ну, так что тогда мешает разбить область интегрирования на части, где функция оказывается монотонной?

Вот пока только к этому и пришел

А почему "пока только"? Не получается просто это сделать?

[AndreyL]

Реализация, конечно, не простая. Однако ответ получается. Всем большое СПАСИБО!