2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Непрерывная биекция на n-мерный куб (условия существования)
Сообщение23.08.2007, 12:50 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
К сожалению, незнаком с топологией, поэтому, видимо, простой вопрос.
Пусть $A \subseteq \mathbb{R}^n$ - некоторое множество. Как узнать существует ли непрерывная биекция $A$ на множество $[0,1)^n$?

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.08.2007, 16:37 
Аватара пользователя


19/03/07
597
Bielefeld
Da, eсли существует непрерывная биекция между $A\cap{\mathbb{R}\ и [0,1).
[0,1)- не компактное множество. Известно ли что-нибудь про А?
Например, связно оно или нет, или хаусдорфово?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.08.2007, 10:56 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
Таня Тайс
Спасибо за ответ. Забыл сказать, что требуется, чтобы и обратное отображение было непрерывно, то есть гомеоморфизм.
А что значит $A \cap \mathbb{R}$? Ведь элементы этих множеств разной размерности.
Про $A$, к сожалению, ничего не известно. Но хочется иметь критерий, позволяющий определять существует ли такой гомеоморфизм. Мне кажется, таким критерием может являться связность $A$ и то, что $A$ не является ни открытым, ни замкнутым множеством.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.08.2007, 11:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17986
Москва
Mikhail Sokolov писал(а):
Забыл сказать, что требуется, чтобы и обратное отображение было непрерывно, то есть гомеоморфизм.


С этого надо было начать. То, что Вы сформулировали сначала, называется уплотнением.

Mikhail Sokolov писал(а):
Про $A$, к сожалению, ничего не известно. Но хочется иметь критерий, позволяющий определять существует ли такой гомеоморфизм.


Боюсь, в ситуации, когда ничего неизвестно, и сказать ничего нельзя будет.

Mikhail Sokolov писал(а):
Мне кажется, таким критерием может являться связность $A$ и то, что $A$ не является ни открытым, ни замкнутым множеством.


Нет, не пройдёт. Требуются гораздо более жёсткие условия. И я затрудняюсь их сформулировать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.08.2007, 11:54 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Необходимыми условиями являются инвариантыю Например топологическая размерность (см. в книге Александрова), локальная связность вдобавок к связности. Затрудняюсь ответить будут ли эти условия достаточными.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.08.2007, 13:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17986
Москва
Руст писал(а):
Например топологическая размерность (см. в книге Александрова), локальная связность вдобавок к связности. Затрудняюсь ответить будут ли эти условия достаточными.


Да нет, конечно. Там всякие гомологии или когомологии вылезут, гомотопические группы и всякая всячина. Даже если напрямую потребовать, чтобы множество внутренних точек множества $A$ было гомеоморфно $(0,1)^n$, а множество граничных точек - $(0,1)^{n-1}$, всё равно не получается. И мне не ясно, будет ли достаточно, если ещё дополнительно потребовать, чтобы каждая граничная точка $x\in A$ имела в $\mathbb R^n$ окрестность, пересечение которой с $A$ гомеоморфную $(0,1)^{n-1}\times[0,1)$. Боюсь, какая-нибудь дикая сфера всё испортит.

К тому же автор вопроса не сказал, в каких терминах он хочет получить ответ.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.08.2007, 14:59 


10/01/07
285
Санкт-Петербург
Someone писал(а):
К тому же автор вопроса не сказал, в каких терминах он хочет получить ответ.

Честно говоря, сам не знаю (просто не знаком с этой областью). М.б. посоветуете литературу по теме.
Я так понимаю здесь все портит незамкнутость/неоткрытость множества $[0,1)^n$. Существенно ли упростится вопрос, если искать гомеоморфизмы $A$ на $(0,1)^n$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.08.2007, 15:10 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Someone писал(а):
Руст писал(а):
Например топологическая размерность (см. в книге Александрова), локальная связность вдобавок к связности. Затрудняюсь ответить будут ли эти условия достаточными.


Да нет, конечно. Там всякие гомологии или когомологии вылезут, гомотопические группы и всякая всячина. Даже если напрямую потребовать, чтобы множество внутренних точек множества $A$ было гомеоморфно $(0,1)^n$, а множество граничных точек - $(0,1)^{n-1}$, всё равно не получается. И мне не ясно, будет ли достаточно, если ещё дополнительно потребовать, чтобы каждая граничная точка $x\in A$ имела в $\mathbb R^n$ окрестность, пересечение которой с $A$ гомеоморфную $(0,1)^{n-1}\times[0,1)$. Боюсь, какая-нибудь дикая сфера всё испортит.

К тому же автор вопроса не сказал, в каких терминах он хочет получить ответ.

Someone, я говорю не вообще об гомеоморфности двух подмножеств из R^n, а о гомеоморфности к конкретному (топологический достаточно простому множеству). Когомологий здесь не дадут ничего нового в таком простом случае.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.08.2007, 21:05 
Аватара пользователя


19/03/07
597
Bielefeld
Mikhail Sokolov писал(а):
А что значит $A\cap\mathbb{R}$? Ведь элементы этих множеств разной размерности.

Я хотела немножко упростить задачу- если мы рассматриваем пересечение с $\mathbb{R}^n$ , то с какими-то $\mathbb{R}$это ваше A должно пересекаться.. и по-моему, их можно рассматривать по-отдельности. Проекция по всем координатам.
Если не ошибаюсь, от того, что Вы заменяете [0,1) на (0,1), вопрос не упрощается, на него невозможно ответить , ведь может быть всё что угодно.
Хотя тема очень интересная и трудная для людей без геометрической интуиции, вроде меня.
:)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.08.2007, 21:15 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Координатные проекции на разные подмножества координат вообще говоря не будут изоморфными даже для множества гомеоморфного интервалу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.08.2007, 21:55 
Аватара пользователя


19/03/07
597
Bielefeld
Если $A \times B$ гомеоморфно $X \times Y$ ,
то A гомеоморфноX ,
B гомеоморфно Y ,
или нет ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.08.2007, 22:02 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Не обязательно. Можно привести контрпример. Т.е. гомеоморфность вообще говоря не сокращается.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.08.2007, 22:07 
Аватара пользователя


19/03/07
597
Bielefeld
Если можно, приведите пример. Для меня это было всегда само собой очевидно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.08.2007, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17986
Москва
Руст писал(а):
Someone, я говорю не вообще об гомеоморфности двух подмножеств из R^n, а о гомеоморфности к конкретному (топологический достаточно простому множеству). Когомологий здесь не дадут ничего нового в таком простом случае.


Ну, это не важно. У одного из множеств группы тривиальные, но про другое-то тоже это нужно знать. Вообще, я всё-таки затрудняюсь сформулировать какие-нибудь простые достаточные условия, если про множество $A$ ничего не известно, кроме того, что это подмножество $\mathbb R^n$. Поскольку $(0,1)^n\subset[0,1)^n$ гомеоморфно открытому подмножеству $\mathbb R^n$, отсюда следует, что множество внутренних точек $A$ (относительно $\mathbb R^n$) должно быть гомеоморфно $(0,1)^n$, а множество граничных точек $A$, принадлежащих этому множеству, должно быть гомеоморфно множеству граничных точек множества (многообразия) $[0,1)^n$ (это следует из теоремы об инвариантности области: при гомеоморфизме двух подмножеств $\mathbb R^n$ внутренние точки переходят во внутренние, а граничные - в граничные). И, конечно, множество $A$ должно быть многообразием (с краем, некомпактным), так как второе множество им является. Так что эти условия необходимые, но, скорее всего, недостаточные. И, вдобавок, они сводят гомеоморфизм двух пространств к гомеоморфизму их частей, что вряд ли следует рассматривать как решение поставленной задачи.

Добавлено спустя 21 минуту 7 секунд:

Таня Тайс писал(а):
Если можно, приведите пример. Для меня это было всегда само собой очевидно.


Тривиальный пример: если $X$ не гомеоморфно $Y$, то $X\times Y$ всё равно гомеоморфно $Y\times X$.
Менее тривиальный, но тоже малоинтересный: $I^2\times I^2$ гомеоморфно $I\times I^3$, где $I=[0,1]$ - отрезок.

Более интересный пример: пусть
$$X=\{(x,y)\in\mathbb R^2:2^2\leqslant x^2+y^2\leqslant3^2\}\cup\{(x,0)\in\mathbb R^2:1\leqslant x\leqslant 2\}\cup\{(x,0)\in\mathbb R^2:3\leqslant x\leqslant 4\}\text{,}$$
$$Y=\{(x,y)\in\mathbb R^2:2^2\leqslant x^2+y^2\leqslant3^2\}\cup\{(x,0)\in\mathbb R^2:1\leqslant x\leqslant 2\}\cup\{(x,0)\in\mathbb R^2:-2\leqslant x\leqslant -1\}\text{;}$$
тогда $X$ не гомеоморфно $Y$, но $X\times I$ гомеоморфно $Y\times I$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.08.2007, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Еще один тривиальный пример $ A \times X $ гомеоморфно $ B \times X $, $A$ не гомеоморфно $B$: рассмотрим $X$ — пустое множество.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group