Непрерывная биекция на n-мерный куб (условия существования)

[Mikhail Sokolov]

К сожалению, незнаком с топологией, поэтому, видимо, простой вопрос.
Пусть $A \subseteq \mathbb{R}^n$ - некоторое множество. Как узнать существует ли непрерывная биекция $A$ на множество $[0,1)^n$?

Спасибо.

[Таня Тайс]

Da, eсли существует непрерывная биекция между $A\cap{\mathbb{R}\ и [0,1).
[0,1)- не компактное множество. Известно ли что-нибудь про А?
Например, связно оно или нет, или хаусдорфово?

[Mikhail Sokolov]

Таня Тайс
Спасибо за ответ. Забыл сказать, что требуется, чтобы и обратное отображение было непрерывно, то есть гомеоморфизм.
А что значит $A \cap \mathbb{R}$? Ведь элементы этих множеств разной размерности.
Про $A$, к сожалению, ничего не известно. Но хочется иметь критерий, позволяющий определять существует ли такой гомеоморфизм. Мне кажется, таким критерием может являться связность $A$ и то, что $A$ не является ни открытым, ни замкнутым множеством.

[Someone]

Mikhail Sokolov писал(а):

Забыл сказать, что требуется, чтобы и обратное отображение было непрерывно, то есть гомеоморфизм.

С этого надо было начать. То, что Вы сформулировали сначала, называется уплотнением.

Mikhail Sokolov писал(а):

Про $A$, к сожалению, ничего не известно. Но хочется иметь критерий, позволяющий определять существует ли такой гомеоморфизм.

Боюсь, в ситуации, когда ничего неизвестно, и сказать ничего нельзя будет.

Mikhail Sokolov писал(а):

Мне кажется, таким критерием может являться связность $A$ и то, что $A$ не является ни открытым, ни замкнутым множеством.

Нет, не пройдёт. Требуются гораздо более жёсткие условия. И я затрудняюсь их сформулировать.

[Руст]

Необходимыми условиями являются инвариантыю Например топологическая размерность (см. в книге Александрова), локальная связность вдобавок к связности. Затрудняюсь ответить будут ли эти условия достаточными.

[Someone]

Руст писал(а):

Например топологическая размерность (см. в книге Александрова), локальная связность вдобавок к связности. Затрудняюсь ответить будут ли эти условия достаточными.

Да нет, конечно. Там всякие гомологии или когомологии вылезут, гомотопические группы и всякая всячина. Даже если напрямую потребовать, чтобы множество внутренних точек множества $A$ было гомеоморфно $(0,1)^n$, а множество граничных точек - $(0,1)^{n-1}$, всё равно не получается. И мне не ясно, будет ли достаточно, если ещё дополнительно потребовать, чтобы каждая граничная точка $x\in A$ имела в $\mathbb R^n$ окрестность, пересечение которой с $A$ гомеоморфную $(0,1)^{n-1}\times[0,1)$. Боюсь, какая-нибудь дикая сфера всё испортит.

К тому же автор вопроса не сказал, в каких терминах он хочет получить ответ.

[Mikhail Sokolov]

Someone писал(а):

К тому же автор вопроса не сказал, в каких терминах он хочет получить ответ.

Честно говоря, сам не знаю (просто не знаком с этой областью). М.б. посоветуете литературу по теме.
Я так понимаю здесь все портит незамкнутость/неоткрытость множества $[0,1)^n$. Существенно ли упростится вопрос, если искать гомеоморфизмы $A$ на $(0,1)^n$?

[Руст]

Someone писал(а):

Руст писал(а):

Например топологическая размерность (см. в книге Александрова), локальная связность вдобавок к связности. Затрудняюсь ответить будут ли эти условия достаточными.

Да нет, конечно. Там всякие гомологии или когомологии вылезут, гомотопические группы и всякая всячина. Даже если напрямую потребовать, чтобы множество внутренних точек множества $A$ было гомеоморфно $(0,1)^n$, а множество граничных точек - $(0,1)^{n-1}$, всё равно не получается. И мне не ясно, будет ли достаточно, если ещё дополнительно потребовать, чтобы каждая граничная точка $x\in A$ имела в $\mathbb R^n$ окрестность, пересечение которой с $A$ гомеоморфную $(0,1)^{n-1}\times[0,1)$. Боюсь, какая-нибудь дикая сфера всё испортит.

К тому же автор вопроса не сказал, в каких терминах он хочет получить ответ.

Someone, я говорю не вообще об гомеоморфности двух подмножеств из R^n, а о гомеоморфности к конкретному (топологический достаточно простому множеству). Когомологий здесь не дадут ничего нового в таком простом случае.

[Таня Тайс]

Mikhail Sokolov писал(а):

А что значит $A\cap\mathbb{R}$? Ведь элементы этих множеств разной размерности.

Я хотела немножко упростить задачу- если мы рассматриваем пересечение с $\mathbb{R}^n$ , то с какими-то $\mathbb{R}$это ваше A должно пересекаться.. и по-моему, их можно рассматривать по-отдельности. Проекция по всем координатам.
Если не ошибаюсь, от того, что Вы заменяете [0,1) на (0,1), вопрос не упрощается, на него невозможно ответить , ведь может быть всё что угодно.
Хотя тема очень интересная и трудная для людей без геометрической интуиции, вроде меня.

[Руст]

Координатные проекции на разные подмножества координат вообще говоря не будут изоморфными даже для множества гомеоморфного интервалу.

[Таня Тайс]

Если $A \times B$ гомеоморфно $X \times Y$ ,
то A гомеоморфноX ,
B гомеоморфно Y ,
или нет ?

[Руст]

Не обязательно. Можно привести контрпример. Т.е. гомеоморфность вообще говоря не сокращается.

[Таня Тайс]

Если можно, приведите пример. Для меня это было всегда само собой очевидно.

[Someone]

Руст писал(а):

Someone, я говорю не вообще об гомеоморфности двух подмножеств из R^n, а о гомеоморфности к конкретному (топологический достаточно простому множеству). Когомологий здесь не дадут ничего нового в таком простом случае.

Ну, это не важно. У одного из множеств группы тривиальные, но про другое-то тоже это нужно знать. Вообще, я всё-таки затрудняюсь сформулировать какие-нибудь простые достаточные условия, если про множество $A$ ничего не известно, кроме того, что это подмножество $\mathbb R^n$. Поскольку $(0,1)^n\subset[0,1)^n$ гомеоморфно открытому подмножеству $\mathbb R^n$, отсюда следует, что множество внутренних точек $A$ (относительно $\mathbb R^n$) должно быть гомеоморфно $(0,1)^n$, а множество граничных точек $A$, принадлежащих этому множеству, должно быть гомеоморфно множеству граничных точек множества (многообразия) $[0,1)^n$ (это следует из теоремы об инвариантности области: при гомеоморфизме двух подмножеств $\mathbb R^n$ внутренние точки переходят во внутренние, а граничные - в граничные). И, конечно, множество $A$ должно быть многообразием (с краем, некомпактным), так как второе множество им является. Так что эти условия необходимые, но, скорее всего, недостаточные. И, вдобавок, они сводят гомеоморфизм двух пространств к гомеоморфизму их частей, что вряд ли следует рассматривать как решение поставленной задачи.

Добавлено спустя 21 минуту 7 секунд:

Таня Тайс писал(а):

Если можно, приведите пример. Для меня это было всегда само собой очевидно.

Тривиальный пример: если $X$ не гомеоморфно $Y$, то $X\times Y$ всё равно гомеоморфно $Y\times X$.
Менее тривиальный, но тоже малоинтересный: $I^2\times I^2$ гомеоморфно $I\times I^3$, где $I=[0,1]$ - отрезок.

Более интересный пример: пусть

$$X=\{(x,y)\in\mathbb R^2:2^2\leqslant x^2+y^2\leqslant3^2\}\cup\{(x,0)\in\mathbb R^2:1\leqslant x\leqslant 2\}\cup\{(x,0)\in\mathbb R^2:3\leqslant x\leqslant 4\}\text{,}$$

$$Y=\{(x,y)\in\mathbb R^2:2^2\leqslant x^2+y^2\leqslant3^2\}\cup\{(x,0)\in\mathbb R^2:1\leqslant x\leqslant 2\}\cup\{(x,0)\in\mathbb R^2:-2\leqslant x\leqslant -1\}\text{;}$$

тогда $X$ не гомеоморфно $Y$, но $X\times I$ гомеоморфно $Y\times I$.

[незваный гость]

Еще один тривиальный пример $ A \times X $ гомеоморфно $ B \times X $, $A$ не гомеоморфно $B$: рассмотрим $X$ — пустое множество.