Простой неопределенный интеграл

[Limit79]

Есть интеграл: $\int \sqrt{1+4 \sin(x)} \cos(x) dx$

Он находится заменой $t=1+4 \sin(x)$.

Вопрос в следующем: как правильно записать ответ: $\frac{1}{6} \cdot (1+4 \sin(x))^{\frac{3}{2}} + C$ или $\frac{1}{6} \cdot \sqrt{(1+4 \sin(x))^{3}} + C$

Заранее спасибо за ответы.

[Aritaborian]

А это разве не одно и то же?

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

бросьте монетку

[Limit79]

Aritaborian
Вроде как одно, но если вольфрамом взять производную от второго варианта, то ответ несколько другой. Но вольфрам пишет, что при $x>0$ будет как раз исходная подынтегральная функция.

Тут вроде с областью определения как-то связано, у меня всегда были проблемы с областью определения степенной функции с дробным показателем...

[Aritaborian]

Не морочьте себе голову. Пишите как Шива на душу положит.

[Limit79]

Смотрю примеры, и там в конце переходят к корням:

(Оффтоп)

Поэтому склоняюсь ко второму варианту, но вольфрам...

[TOTAL]

Limit79 в сообщении #756417 писал(а):

Aritaborian
Вроде как одно, но если вольфрамом взять производную от второго варианта, то ответ несколько другой. Но вольфрам пишет, что при $x>0$ будет как раз исходная подынтегральная функция.

Какие разные ответы вольфрама, покажите здесь.

[Limit79]

TOTAL

$\left [ \frac{1}{6} \cdot (1+4\sin(x))^{\frac{3}{2}} \right ]' = \sqrt{1+4 \sin(x)} \cos(x)$

$\left [ \frac{1}{6} \cdot \sqrt{(1+4\sin(x))^3} \right ]' = \frac{(4 \sin(x)+1)^2 \cos(x)}{\sqrt{(4 \sin(x)+1)^3}}$

[TOTAL]

Limit79 в сообщении #756423 писал(а):

TOTAL

$\left [ \frac{1}{6} \cdot (1+4\sin(x))^{\frac{3}{2}} \right ]' = \sqrt{1+4 \sin(x)} \cos(x)$

$\left [ \frac{1}{6} \cdot \sqrt{(1+4\sin(x))^3} \right ]' = \frac{(4 \sin(x)+1)^2 \cos(x)}{\sqrt{(4 \sin(x)+1)^3}}$

Вольфрам умеет неопределенные интегралы брать? От той и другой правой части пусть возьмет, что получится?

[Aritaborian]

Limit79, сколько будет, если из двух вычесть полтора? ;-D Альфа почему-то не до конца упростила. Бывает.

[Limit79]

TOTAL
Умеет.

$\int \sqrt{1+4 \sin(x)} \cos(x) dx = \frac{1}{6} \cdot (1+4\sin(x))^{\frac{3}{2}} + C $

$\int \frac{(4 \sin(x)+1)^2 \cos(x)}{\sqrt{(4 \sin(x)+1)^3}} dx = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{(1+4\sin(x))^3} + C $

-- 21.08.2013, 19:20 --

Я может сильно туплю, но, вроде, вопрос сводится к вопросу о равенстве $\sqrt{(1+4 \sin(x))^3} = (1+4\sin(x))^{\frac{3}{2}}$.

[TOTAL]

$ (1+4\sin(x))^{\frac{3}{2}} - \frac{(4 \sin(x)+1)^2 }{\sqrt{4 \sin(x)+1}} = ? $
А вот такую разность вольфрам найдет, что получится?

[Limit79]

TOTAL
Найдет, ноль получится.

[TOTAL]

Limit79 в сообщении #756430 писал(а):

TOTAL
Умеет.

$\int \sqrt{1+4 \sin(x)} \cos(x) dx = \frac{1}{6} \cdot (1+4\sin(x))^{\frac{3}{2}} + C $

$\int \frac{(4 \sin(x)+1)^2 \cos(x)}{\sqrt{(4 \sin(x)+1)^3}} dx = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{(1+4\sin(x))^3} + C $

Последний вопрос к вольфраму: чему равен интеграл от разности этих двух подынтегральных функций?

[Ms-dos4]

(Оффтоп)

вот до чего доводит "тупое" использование компьютера...
Напоследок - используйте функцию FullSimplify