2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Простой неопределенный интеграл
Сообщение21.08.2013, 17:33 
Есть интеграл: $\int \sqrt{1+4 \sin(x)} \cos(x) dx$

Он находится заменой $t=1+4 \sin(x)$.

Вопрос в следующем: как правильно записать ответ: $\frac{1}{6} \cdot (1+4 \sin(x))^{\frac{3}{2}} + C$ или $\frac{1}{6} \cdot \sqrt{(1+4 \sin(x))^{3}} + C$

Заранее спасибо за ответы.

 
 
 
 Re: Простой неопределенный интеграл
Сообщение21.08.2013, 17:39 
Аватара пользователя
А это разве не одно и то же? :shock:

 
 
 
 Re: Простой неопределенный интеграл
Сообщение21.08.2013, 17:41 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

бросьте монетку

 
 
 
 Re: Простой неопределенный интеграл
Сообщение21.08.2013, 17:51 
Aritaborian
Вроде как одно, но если вольфрамом взять производную от второго варианта, то ответ несколько другой. Но вольфрам пишет, что при $x>0$ будет как раз исходная подынтегральная функция.

Тут вроде с областью определения как-то связано, у меня всегда были проблемы с областью определения степенной функции с дробным показателем...

 
 
 
 Re: Простой неопределенный интеграл
Сообщение21.08.2013, 17:53 
Аватара пользователя
Не морочьте себе голову. Пишите как Шива на душу положит.

 
 
 
 Re: Простой неопределенный интеграл
Сообщение21.08.2013, 17:53 
Смотрю примеры, и там в конце переходят к корням:

(Оффтоп)

Изображение


Поэтому склоняюсь ко второму варианту, но вольфрам...

 
 
 
 Re: Простой неопределенный интеграл
Сообщение21.08.2013, 17:54 
Аватара пользователя
Limit79 в сообщении #756417 писал(а):
Aritaborian
Вроде как одно, но если вольфрамом взять производную от второго варианта, то ответ несколько другой. Но вольфрам пишет, что при $x>0$ будет как раз исходная подынтегральная функция.
Какие разные ответы вольфрама, покажите здесь.

 
 
 
 Re: Простой неопределенный интеграл
Сообщение21.08.2013, 18:03 
TOTAL

$\left [ \frac{1}{6} \cdot (1+4\sin(x))^{\frac{3}{2}} \right ]' = \sqrt{1+4 \sin(x)} \cos(x)$

$\left [ \frac{1}{6} \cdot \sqrt{(1+4\sin(x))^3} \right ]' = \frac{(4 \sin(x)+1)^2 \cos(x)}{\sqrt{(4 \sin(x)+1)^3}}$

 
 
 
 Re: Простой неопределенный интеграл
Сообщение21.08.2013, 18:10 
Аватара пользователя
Limit79 в сообщении #756423 писал(а):
TOTAL

$\left [ \frac{1}{6} \cdot (1+4\sin(x))^{\frac{3}{2}} \right ]' = \sqrt{1+4 \sin(x)} \cos(x)$

$\left [ \frac{1}{6} \cdot \sqrt{(1+4\sin(x))^3} \right ]' = \frac{(4 \sin(x)+1)^2 \cos(x)}{\sqrt{(4 \sin(x)+1)^3}}$


Вольфрам умеет неопределенные интегралы брать? От той и другой правой части пусть возьмет, что получится?

 
 
 
 Re: Простой неопределенный интеграл
Сообщение21.08.2013, 18:13 
Аватара пользователя
Limit79, сколько будет, если из двух вычесть полтора? ;-D Альфа почему-то не до конца упростила. Бывает.

 
 
 
 Re: Простой неопределенный интеграл
Сообщение21.08.2013, 18:17 
TOTAL
Умеет.

$\int \sqrt{1+4 \sin(x)} \cos(x) dx =  \frac{1}{6} \cdot (1+4\sin(x))^{\frac{3}{2}} + C $

$\int \frac{(4 \sin(x)+1)^2 \cos(x)}{\sqrt{(4 \sin(x)+1)^3}} dx =  \frac{1}{6} \cdot \sqrt{(1+4\sin(x))^3} + C $

-- 21.08.2013, 19:20 --

Я может сильно туплю, но, вроде, вопрос сводится к вопросу о равенстве $\sqrt{(1+4 \sin(x))^3} = (1+4\sin(x))^{\frac{3}{2}}$.

 
 
 
 Re: Простой неопределенный интеграл
Сообщение21.08.2013, 18:23 
Аватара пользователя
$ (1+4\sin(x))^{\frac{3}{2}} -  \frac{(4 \sin(x)+1)^2 }{\sqrt{4 \sin(x)+1}} =  ? $
А вот такую разность вольфрам найдет, что получится?

 
 
 
 Re: Простой неопределенный интеграл
Сообщение21.08.2013, 18:26 
TOTAL
Найдет, ноль получится.

 
 
 
 Re: Простой неопределенный интеграл
Сообщение21.08.2013, 18:42 
Аватара пользователя
Limit79 в сообщении #756430 писал(а):
TOTAL
Умеет.

$\int \sqrt{1+4 \sin(x)} \cos(x) dx =  \frac{1}{6} \cdot (1+4\sin(x))^{\frac{3}{2}} + C $

$\int \frac{(4 \sin(x)+1)^2 \cos(x)}{\sqrt{(4 \sin(x)+1)^3}} dx =  \frac{1}{6} \cdot \sqrt{(1+4\sin(x))^3} + C $

Последний вопрос к вольфраму: чему равен интеграл от разности этих двух подынтегральных функций?

 
 
 
 Re: Простой неопределенный интеграл
Сообщение21.08.2013, 18:47 

(Оффтоп)

вот до чего доводит "тупое" использование компьютера...
Напоследок - используйте функцию FullSimplify

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group