целые между exp(H_m) и exp(H_{m+1})

[maxal]

Назовем число $m$ "хорошим", если между $e^{H_m}$ и $e^{H_{m+1}}$ лежит ровно одно целое число.
Здесь $H_m = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{m}$ - это m-ное гармоническое число.

Докажите или опровергните, что n-ное "хорошее" число равно

$$\left\lfloor \frac{n}{2 - e^{\gamma}} + \frac{e^{\gamma}}{24n} - \frac{1}{2}\right\rfloor,$$

где

$$\gamma = \lim_{m\to\infty} H_m - \ln m$$

- постоянная Эйлера-Машерони.

[Руст]

maxal писал(а):

Назовем число $m$ "хорошим", если между $e^{H_m}$ и $e^{H_{m+1}}$ лежит ровно одно целое число.
Докажите или опровергните, что $n$-ное "хорошее" число равно

$$\left\lfloor \frac{n}{2 - e^{\gamma}} + \frac{e^{\gamma}}{24n} - \frac{1}{2}\right\rfloor,$$

[/url].

Вначале надо показать, что
$e^{H_{m+1}}-e^{H_m}<(m+1)e^{\gamma+\frac{1}{2(m+1)}}-me^{\gamma+\frac{1}{2(m+1)}=e^{\gamma+\frac{1}{2(m+1)}<2$ так как $\gamma+\frac{1}{2(m+1)}<\ln 2$ при $m>3$.
Проверяя, что в таких интервалах при $m\leq 3$ не больше 2 целых числа (длина интервала больше 1), убедимся, что в интервале всегда находится или одно или два целых числа.
Поэтому, число хороших чисел не превосходящих $m$ находится по формуле $2m+2-[e^{H_{m+1}}]$ при $m>3$. На самом деле эта формула верна и при $m\leq 3$. Это показывает, что главный член в формуле правильный. Однако колебания с константой, в особенности вначале велики. Поэтому, у меня есть сомнения в том, существует универсальная постоянная с, такая что $n$- oe число есть

$$\left\lfloor\frac{n}{2-e^{\gamma}}+c\right\rfloor .$$

Можно доказать существование такой константы, что это формула верна при всех $n>N$.

Добавлено спустя 2 часа 47 минут 2 секунды:

Точнее вычислил. Получается, что $n$-ое число, равно $m$, где $m$ определяется из условия:
$\frac{n}{2-e^{\gamma}}-\frac 32+\frac{c(m+1)}{2-e^{\gamma}}<m<\frac{n}{2-e^{\gamma}}-\frac 12 +\frac{c(m)}{2-e^{\gamma}}$, где
$c(m)=e^{H_m}-me^{\gamma}-\frac 12 e^{\gamma}=e^{\gamma}(\frac{1}{24m}-\frac{1}{48m^2}+O(m^{-3}))=\frac{e^{\gamma}}{24(m+\frac 12 }+O(m^{-3}).$
Поэтому, твоя формула практически точная
$[\frac{n}{2-e^{\gamma}}-\frac 12+\frac{e^{\gamma}}{24n}+O(n^{-3})].$
Сказать, всегда ли точна эта формула без последнего малого члена по видимому можно. Однако это достаточно сложный вопрос.

[Руст]

У меня возникла уверенность, что твоя формула иногда врёт. Однако для нахождения контрпримера надо разложить число $\alpha=\frac{2}{2-e^{\gamma}}$ в непрерывную дробь и ecли найдётся приближение $\frac{P_k}{Q_k}, Q_{k+1}=q_kQ_k+Q_{k-1}$, что $P(k)$ нечётное, $Q(k)$ чётное, $q(k)\geq 8$ и это приближение сверху, то ваша формула даст результат на 1 больше при $n=Q(k)/2$.

[maxal]

Руст писал(а):

У меня возникла уверенность, что твоя формула иногда врёт. Однако для нахождения контрпримера надо разложить число $\alpha=\frac{2}{2-e^{\gamma}}$ в непрерывную дробь и ecли найдётся приближение $\frac{P_k}{Q_k}, Q_{k+1}=q_kQ_k+Q_{k-1}$, что P(k) нечётное, Q(k) чётное, q(k)>=8 и это приближение сверху, то ваша формула даст результат на 1 больше при n=Q(k)/2.

Для k=57 такое выполняется первый раз: $q_k=10$ и
$\frac{P_{k+1}}{Q_{k+1}} = \frac{37883218266373329388585767830}{4146840686903338388534174681},$
$\frac{P_k}{Q_k} = \frac{3618355126044824717019818541}{396078869298882934638022774},$
$\frac{P_{k-1}}{Q_{k-1}} = \frac{1699667005925082218387582420}{186051993914509042153946941}.$
Но для $n=\frac{Q_k}{2} = 198039434649441467319011387$ формула дает правильное значение $904588781511206179254954634$.

[Руст]

Если $P(k)/Q(k)$ хорошее приближение и $n=Q(k)/2$, то
$\frac{n}{2-e^{\gamma}}-\frac 12-\frac{e^{\gamma}}{24n}=\frac{P_k-1}{2}-\frac{e^{\gamma}}{12Q_k}+\frac{\theta}{2Q_{k+1}}$, то дробная часть в моей формуле отрицательная, а в твоей положительная. Или неправильно проверил (требуется большая точность вычислений и возможна ошибка точности) или моя формула не верна.

[maxal]

Конечно:

$$\frac{P_k}{Q_k} > \frac{2}{2-e^{\gamma}}$$

У меня нумерация с 1, но сути это не меняет.

[Руст]

maxal писал(а):

Конечно:

$$\frac{P_k}{Q_k} > \frac{2}{2-e^{\gamma}}$$

У меня нумерация с 1, но сути это не меняет.

Эти неравенства противоречат друг другу. Если нумерация с 1, то нечётные номера являются приближениями снизу.

Добавлено спустя 1 час 9 минут 45 секунд:

Я исправил ошибку. Это у меня во втором коэффициенте была ошибка знака и поэтому думаю она всегда верна.

[Руст]

В принципе не так сложно доказать, что эта формула [(an^2n/2+c)/n] работает без ограничений, Можно найти ещё точные формулы типа [(an^2+c)/(n+b)] или [n(an+c)/(n+b)].

[maxal]

Руст писал(а):

maxal писал(а):

Конечно:

$$\frac{P_k}{Q_k} > \frac{2}{2-e^{\gamma}}$$

У меня нумерация с 1, но сути это не меняет.

Эти неравенства противоречат друг другу. Если нумерация с 1, то нечётные номера являются приближениями снизу.

Это потому, что в твоей формуле $Q_{k+1}=q_kQ_k+Q_{k-1}$ у $q$ неправильный индекс. Обычно пишут $Q_{k+1}=q_{k+1}Q_k+Q_{k-1}$. Соответственно, у меня $q_{k+1}=10$ и т.д.
Но какие там индексы не суть важно - я привел три последовательных подходящих дроби, так что средняя является приближением сверху, а коэффициент $q$ для получения следующей $\geq 8.$

Добавлено спустя 59 секунд:

Руст писал(а):

В принципе не так сложно доказать, что эта формула [(an^2n/2+c)/n] работает без ограничений, Можно найти ещё точные формулы типа [(an^2+c)/(n+b)] или [n(an+c)/(n+b)].

Ну и как найти соответствующие константы в этих формулах?

[Руст]

Maxal. Я уже написал, что нашёл ошибку в знаке для второго члена в разложении, соответственно моя формула совпала с твоей. И даже написал, что могу доказать, что эта формула работает всегда без ограничений и не так сложно это доказать, просто несколько громоздко.

[maxal]

Руст писал(а):

Maxal. Я уже написал, что нашёл ошибку в знаке для второго члена в разложении, соответственно моя формула совпала с твоей. И даже написал, что могу доказать, что эта формула работает всегда без ограничений и не так сложно это доказать, просто несколько громоздко.

Ну собственно исходный вопрос и был про доказательство. Приведи хотя бы набросок.

[Руст]

Умножим на 2 и заметим, что если формула ошибочна, то она ошибочна для некоторого n, являющейся знаменателем подходящей дроби для числа $\alpha=\frac{2}{2-e^{\gamma}},\frac{P_k}{Q_k}$ c нечётным P(k). Соответственно ошибка может возникнет только, когда при добавлении неучтённых очень маленьких составляющих выражение $\frac{e^{\gamma}}{12Q_k}+\frac{\theta}{Q_{k+1}}$ изменит знак. Если Q(k+1)=q(k)Q(k)+Q(k-1) и q(k)>=8 малые члены не могут изменит знак. При q(k)<8 это сложнее проверять. Сводится к тому, что для некоторой квадратичной иррациональности от alpha ,будет слишком хорошее приближение с порядком приближения больше 1/Q(k)^3. Для чисел вида $e^{\gamma}$ можно показать отсутствие таких очень точных приближений из первоначального представления e^{H(m)}.

[maxal]

Руст писал(а):

Сводится к тому, что для некоторой квадратичной иррациональности от alpha ,будет слишком хорошее приближение с порядком приближения больше 1/Q(k)^3. Для чисел вида $e^{\gamma}$ можно показать отсутствие таких очень точных приближений из первоначального представления e^{H(m)}.

То есть ты утверждаешь в частности, что мера иррациональности числа $e^{\gamma}$ не превосходит 3 ? Можешь показать, как именно это следует из разложения $e^{H(m)}$ ?

[Руст]

Лиувиловская мера не причём. Я хотел сказать, что существует константа С>0, что для любого рационального приближения $x=e^{\gamma}, \ |x-\frac pq|>\frac{C}{q^3}$. Это свойство распространяется и на дробные иррациональности (ax+b)/(cx+d) с целыми a,b,c,d разве,что с изменением константы C. В приведённой ссылке Лиувилловская мера определяется без константы и поэтому при указанных дробных преобразованиях мера не сохраняется и она менее удобна.

[maxal]

Руст писал(а):

Лиувиловская мера не причём. Я хотел сказать, что существует константа С>0, что для любого рационального приближения $x=e^{\gamma}, \ |x-\frac pq|>\frac{C}{q^3}$. Это свойство распространяется и на дробные иррациональности (ax+b)/(cx+d) с целыми a,b,c,d разве,что с изменением константы C. В приведённой ссылке Лиувилловская мера определяется без константы и поэтому при указанных дробных преобразованиях мера не сохраняется и она менее удобна.

Для определения меры иррациональности константа несущественна:
Если для любого рационального приближения $x=e^{\gamma}, \ |x-\frac pq|>\frac{C}{q^3}$, то для любого $\epsilon>0$ неравенство

$$|x-\frac pq|<\frac{1}{q^{3+\epsilon}}$$

имеет лишь конечное число решений. Откуда следует, что мера иррациональности $\mu(e^{\gamma})\leq 3+\epsilon$, а, значит, и $\mu(e^{\gamma})\leq 3$.