целые между exp(H_m) и exp(H_{m+1})

[Руст]

Да, я невнимательно прочёл. Тут роль константы заменяет условие конечности.

[maxal]

Руст писал(а):

Я хотел сказать, что существует константа С>0, что для любого рационального приближения $x=e^{\gamma}, \ |x-\frac pq|>\frac{C}{q^3}$. Это свойство распространяется и на дробные иррациональности (ax+b)/(cx+d) с целыми a,b,c,d разве,что с изменением константы C.

Можно увидеть доказательство сего утверждения?

[Руст]

На бумаге не писал. Вчера приходили мысли как это доказать из рассмотрения exp(Hm). Сейчас не уверен, смогу ли.

[juna]

Приведу свои размышления. Может как-то помогут.
Ясно, что $\lim\limits_{m\to\infty}\left (e^{H_{m+1}}-e^{H_m}\right )= e^{\gamma}$. Значит число $m$ будет "хорошим" тогда и только тогда, когда $\{e^{H_m}\}<2-e^{\gamma}$. Отсюда следует, что можно выражать следующее "хорошее" число из предыдущего, т.е. еcли $m$ - "хорошее" число, то следующее хорошее $n$ выражается:
$ \text{if } \{e^{H_m}\}>9-5\cdot e^{\gamma} \text{ then } n=m+5$
$n=m+4 \text{ otherwise}$
Кстати, n-е "хорошее" число под номером $700000000000000000000000000000000000000000000000000000001$ очень близко к тому, чтобы опровергнуть искомую формулу.

[Алексей К.]

maxal писал(а):

Назовем число $m$ "хорошим", если между $e^{H_m}$ и $e^{H_{m+1}}$ лежит ровно одно целое число.

Как только прочитал это, вспомнилось случившееся более 30 лет назад, на втором курсе. Надеюсь, maxal, Вы не будете возражать против этого комментария, а модераторы пропустят мимо глаз этот off-topic, который мне показался в-топик...

Матанализ был первой парой, я знал основы до поступления, задания решал сам, и потому лекции пропускал, хотя читал их весьма мною уважаемый В.Б.Лидский. А скорее всего, я пропускал их потому что увлёкся тогда преферансом и допоздна играл в карты.
Однажды друзья явились с лекции и сказали мне, уже проснувшемуся: "Зря ты не ходишь на матан. Сегодня Лидский такие интересные вещи рассказывал! Например, оказывается, что между 7 и 8 есть ещё одно целое число, оно равно эпсилон-минус-икс, и это особенность десятичной системы счисления."
В более зрелом возрасте я бы наверное, сразу сообразил, что это шутка, но тогда... Тогда я стал ходить на лекции. Кто придумал эту фразу --- мне осталось неизвестным.

[juna]

Из исходной формулы $n+1$-е хорошее число выражается: $\lfloor \frac{n}{2-e^{\gamma}}+\frac{e^{\gamma}}{24n}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2-e^{\gamma}}-\frac{e^{\gamma}}{24n(n+1)} \rfloor=\lfloor \frac{n}{2-e^{\gamma}}+\frac{e^{\gamma}}{24n}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2-e^{\gamma}} +O(\frac{1}{n^2})\rfloor$
Членом $O(\frac{1}{n^2})$ можно пренебречь, если число $\frac{n}{2-e^{\gamma}}+\frac{e^{\gamma}}{24n}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2-e^{\gamma}}$ не приближается к целому числу очень близко, практически $+0$. Отсюда следует еще один способ найти следующее хорошее число из предыдущего $m=\lfloor \frac{n}{2-e^{\gamma}}+\frac{e^{\gamma}}{24n}-\frac{1}{2}\rfloor$:
$\text{ if } \{\frac{n}{2-e^{\gamma}}+\frac{e^{\gamma}}{24n}-\frac{1}{2}\}>5-\frac{1}{2-e^{\gamma}} \text{ then following good number}=m+5 $
$m+4 \text { otherwise}$
Из предыдущего поста следует, что дробная часть $\{\frac{n}{2-e^{\gamma}}+\frac{e^{\gamma}}{24n}-\frac{1}{2}\}$ должна быть связана с дробной частью $\{e^{H_m}\}$. Экспериментально получается, что
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\{\frac{n}{2-e^{\gamma}}+\frac{e^{\gamma}}{24n}-\frac{1}{2}\}}{\{e^{H_m}\}}=\frac{5-\frac{1}{2-e^{\gamma}}}{9-5\cdot{e^{\gamma}}}=\frac{1}{2-e^{\gamma}}$, т.е. это эквивалентные друг другу гипотезы.
Можно также получить приближения для $n$-го числа из формулы, приведенной Рустом $n=2(m+1)-\lfloor e^{H_m}\rfloor$, которые иногда будут врать на -1:
$m=\left\lfloor \frac {n+2}{2-e^{\gamma-\frac{2-e^{\gamma}}{2(n+2)}}}-6\right\rfloor$