maxal писал(а):
Назовем число

"хорошим", если между

и

лежит ровно одно целое число.
Докажите или опровергните, что

-ное "хорошее" число равно

[/url].
Вначале надо показать, что

так как

при

.
Проверяя, что в таких интервалах при

не больше 2 целых числа (длина интервала больше 1), убедимся, что в интервале всегда находится или одно или два целых числа.
Поэтому, число хороших чисел не превосходящих

находится по формуле
![$2m+2-[e^{H_{m+1}}]$ $2m+2-[e^{H_{m+1}}]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/a/81acd7f50937a3bc10c475a18c2ea55982.png)
при

. На самом деле эта формула верна и при

. Это показывает, что главный член в формуле правильный. Однако колебания с константой, в особенности вначале велики. Поэтому, у меня есть сомнения в том, существует универсальная постоянная с, такая что

- oe число есть

Можно доказать существование такой константы, что это формула верна при всех

.
Добавлено спустя 2 часа 47 минут 2 секунды:Точнее вычислил. Получается, что

-ое число, равно

, где

определяется из условия:

, где

Поэтому, твоя формула практически точная
![$[\frac{n}{2-e^{\gamma}}-\frac 12+\frac{e^{\gamma}}{24n}+O(n^{-3})].$ $[\frac{n}{2-e^{\gamma}}-\frac 12+\frac{e^{\gamma}}{24n}+O(n^{-3})].$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/4/9e4c3df9ca2ab38e490a1867f617982482.png)
Сказать, всегда ли точна эта формула без последнего малого члена по видимому можно. Однако это достаточно сложный вопрос.