Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?

[Ktina]

Верно ли, что

$$f(x)\underset{\mathclap{x\to\infty}}{\longrightarrow}0\implies f'(x)\underset{\mathclap{x\to\infty}}{\longrightarrow}0\cyr ~ ?$$

Мне кажется, что в общем случае не верно, хотя мне не нравится мой контрпример:

$$f (x) = \begin{cases} \ \ \dfrac{1}{x}~, & x\in\mathbb Q~, \quad x\ne 0 \\ \ \ -\dfrac{1}{x}~, & x\notin\mathbb Q \\ ~~0~, & x =0 \end{cases}$$

Не нравится как минимум по трём причинам:

1. Идею я у Дирихле слизала.
2. Пример получился "с ифом".
3. И самое главное, куда девался вынутый грунт? у этой функции вообще нет производной, из чего следует бессмысленность постановки вопроса о стремлении этой самой производной к чему бы то ни было.

Пожалуйста, помогите решить.

P. S. Если я не ошиблась, у самой функции предел есть, так как она отвечает определению предела на бесконечности по Коши.

[Xaositect]

Если хотите, чтобы производная существовала, то придумайте что-нибудь, чтобы колебалось быстро туда-сюда.

[Ktina]

Xaositect в сообщении #752744 писал(а):

Если хотите, чтобы производная существовала, то придумайте что-нибудь, чтобы колебалось быстро туда-сюда.

Да уже нашла:

$$\dfrac{\sin{x^2}}{x}$$

-- 07.08.2013, 01:29 --

А какой лучше?

[Aritaborian]

Пока я четырьмя пальцами набирал... ;-)
Но зачем квадрат?

[Ktina]

Aritaborian в сообщении #752746 писал(а):

Пока я четырьмя пальцами набирал...
Но зачем квадрат?

А затем, что без него милиционер получится никак.

-- 07.08.2013, 01:34 --

Вычислите производную и убедитесь в этом самостоятельно.

[Aritaborian]

А просто $\frac{\sin x}{x}$?! Фигня, вы правы

[Ktina]

Aritaborian в сообщении #752748 писал(а):

А просто $\frac{\sin x}{x}$?! Фигня, вы правы

Можно было даже производную не вычислять, а просто провизуализировать, как это сделала я.

[Евгений Машеров]

$x\sin \frac 1 x$

[Oleg Zubelevich]

докажите, что если $f(x)\to const$ при $x\to\infty$ то найдется последовательность $x_k\to \infty$ такая что $f'(x_k)\to 0$

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #752788 писал(а):

докажите, что если

Не хватает собственно дифференцируемости.

[Someone]

Ktina в сообщении #752743 писал(а):

мне не нравится мой контрпример:

$$f (x) = \begin{cases} \ \ \dfrac{1}{x}~, & x\in\mathbb Q~, \quad x\ne 0 \\ \ \ -\dfrac{1}{x}~, & x\notin\mathbb Q \\ ~~0~, & x =0 \end{cases}$$

Правильно не нравится. Эта функция разрывная, следовательно, не дифференцируемая.

[cool.phenon]

Можно придумать как минимум 2 примера, один из них

$$f(x)=\frac{\sin x^2}{x} $$

(upd)
Aritaborian
Точно, плохо смотрел

[Aritaborian]

cool.phenon, см. выше ;-)

[Ktina]

cool.phenon в сообщении #752894 писал(а):

Можно придумать как минимум 2 примера, ...

Как минимум континуум.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Как миниум континиум ;-) Первое слово я так в детстве воспринимал, со вторым тоже ошибался поначалу. Я-то поначалу, а многие и не подозревают, что так говорить неправильно...