2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 01:23 
Аватара пользователя
Верно ли, что $$f(x)\underset{\mathclap{x\to\infty}}{\longrightarrow}0\implies f'(x)\underset{\mathclap{x\to\infty}}{\longrightarrow}0\cyr ~ ?$$
Мне кажется, что в общем случае не верно, хотя мне не нравится мой контрпример:
$$f (x) = \begin{cases} \ \ \dfrac{1}{x}~, & x\in\mathbb Q~, \quad x\ne 0 \\ \ \ -\dfrac{1}{x}~, & x\notin\mathbb Q \\ ~~0~, & x =0 \end{cases}$$
Не нравится как минимум по трём причинам:

1. Идею я у Дирихле слизала.
2. Пример получился "с ифом".
3. И самое главное, куда девался вынутый грунт? у этой функции вообще нет производной, из чего следует бессмысленность постановки вопроса о стремлении этой самой производной к чему бы то ни было.

Пожалуйста, помогите решить.

P. S. Если я не ошиблась, у самой функции предел есть, так как она отвечает определению предела на бесконечности по Коши.

 
 
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 01:25 
Аватара пользователя
Если хотите, чтобы производная существовала, то придумайте что-нибудь, чтобы колебалось быстро туда-сюда.

 
 
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 01:27 
Аватара пользователя
Xaositect в сообщении #752744 писал(а):
Если хотите, чтобы производная существовала, то придумайте что-нибудь, чтобы колебалось быстро туда-сюда.

Да уже нашла: $$\dfrac{\sin{x^2}}{x}$$

-- 07.08.2013, 01:29 --

А какой лучше?

 
 
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 01:30 
Аватара пользователя
Пока я четырьмя пальцами набирал... ;-)
Но зачем квадрат?

 
 
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 01:33 
Аватара пользователя
Aritaborian в сообщении #752746 писал(а):
Пока я четырьмя пальцами набирал... ;-)
Но зачем квадрат?

А затем, что без него милиционер получится никак.

-- 07.08.2013, 01:34 --

Вычислите производную и убедитесь в этом самостоятельно.

 
 
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 01:36 
Аватара пользователя
А просто $\frac{\sin x}{x}$?! Фигня, вы правы :facepalm:

 
 
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 01:38 
Аватара пользователя
Aritaborian в сообщении #752748 писал(а):
А просто $\frac{\sin x}{x}$?! Фигня, вы правы :facepalm:

Можно было даже производную не вычислять, а просто провизуализировать, как это сделала я.

 
 
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 08:00 
Аватара пользователя
$x\sin \frac 1 x$

 
 
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 09:40 
докажите, что если $f(x)\to const$ при $x\to\infty$ то найдется последовательность $x_k\to \infty$ такая что $f'(x_k)\to 0$

 
 
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 10:09 
Аватара пользователя
Oleg Zubelevich в сообщении #752788 писал(а):
докажите, что если

Не хватает собственно дифференцируемости.

 
 
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 14:27 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #752743 писал(а):
мне не нравится мой контрпример:
$$f (x) = \begin{cases} \ \ \dfrac{1}{x}~, & x\in\mathbb Q~, \quad x\ne 0 \\ \ \ -\dfrac{1}{x}~, & x\notin\mathbb Q \\ ~~0~, & x =0 \end{cases}$$
Правильно не нравится. Эта функция разрывная, следовательно, не дифференцируемая.

 
 
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 15:42 
Аватара пользователя
Можно придумать как минимум 2 примера, один из них

$$f(x)=\frac{\sin x^2}{x} $$

(upd)
Aritaborian
Точно, плохо смотрел :?

 
 
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 15:50 
Аватара пользователя
cool.phenon, см. выше ;-)

 
 
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 16:12 
Аватара пользователя
cool.phenon в сообщении #752894 писал(а):
Можно придумать как минимум 2 примера, ...

Как минимум континуум.

 
 
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 16:40 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Как миниум континиум ;-) Первое слово я так в детстве воспринимал, со вторым тоже ошибался поначалу. Я-то поначалу, а многие и не подозревают, что так говорить неправильно...

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group