2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 01:23 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Верно ли, что $$f(x)\underset{\mathclap{x\to\infty}}{\longrightarrow}0\implies f'(x)\underset{\mathclap{x\to\infty}}{\longrightarrow}0\cyr ~ ?$$
Мне кажется, что в общем случае не верно, хотя мне не нравится мой контрпример:
$$f (x) = \begin{cases} \ \ \dfrac{1}{x}~, & x\in\mathbb Q~, \quad x\ne 0 \\ \ \ -\dfrac{1}{x}~, & x\notin\mathbb Q \\ ~~0~, & x =0 \end{cases}$$
Не нравится как минимум по трём причинам:

1. Идею я у Дирихле слизала.
2. Пример получился "с ифом".
3. И самое главное, куда девался вынутый грунт? у этой функции вообще нет производной, из чего следует бессмысленность постановки вопроса о стремлении этой самой производной к чему бы то ни было.

Пожалуйста, помогите решить.

P. S. Если я не ошиблась, у самой функции предел есть, так как она отвечает определению предела на бесконечности по Коши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 01:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Если хотите, чтобы производная существовала, то придумайте что-нибудь, чтобы колебалось быстро туда-сюда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 01:27 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Xaositect в сообщении #752744 писал(а):
Если хотите, чтобы производная существовала, то придумайте что-нибудь, чтобы колебалось быстро туда-сюда.

Да уже нашла: $$\dfrac{\sin{x^2}}{x}$$

-- 07.08.2013, 01:29 --

А какой лучше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 01:30 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Пока я четырьмя пальцами набирал... ;-)
Но зачем квадрат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 01:33 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Aritaborian в сообщении #752746 писал(а):
Пока я четырьмя пальцами набирал... ;-)
Но зачем квадрат?

А затем, что без него милиционер получится никак.

-- 07.08.2013, 01:34 --

Вычислите производную и убедитесь в этом самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 01:36 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
А просто $\frac{\sin x}{x}$?! Фигня, вы правы :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 01:38 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Aritaborian в сообщении #752748 писал(а):
А просто $\frac{\sin x}{x}$?! Фигня, вы правы :facepalm:

Можно было даже производную не вычислять, а просто провизуализировать, как это сделала я.

 Профиль  
                  
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 08:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9982
Москва
$x\sin \frac 1 x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 09:40 


10/02/11
6786
докажите, что если $f(x)\to const$ при $x\to\infty$ то найдется последовательность $x_k\to \infty$ такая что $f'(x_k)\to 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 10:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Oleg Zubelevich в сообщении #752788 писал(а):
докажите, что если

Не хватает собственно дифференцируемости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17991
Москва
Ktina в сообщении #752743 писал(а):
мне не нравится мой контрпример:
$$f (x) = \begin{cases} \ \ \dfrac{1}{x}~, & x\in\mathbb Q~, \quad x\ne 0 \\ \ \ -\dfrac{1}{x}~, & x\notin\mathbb Q \\ ~~0~, & x =0 \end{cases}$$
Правильно не нравится. Эта функция разрывная, следовательно, не дифференцируемая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 15:42 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Можно придумать как минимум 2 примера, один из них

$$f(x)=\frac{\sin x^2}{x} $$

(upd)
Aritaborian
Точно, плохо смотрел :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 15:50 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
cool.phenon, см. выше ;-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 16:12 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
cool.phenon в сообщении #752894 писал(а):
Можно придумать как минимум 2 примера, ...

Как минимум континуум.

 Профиль  
                  
 
 Re: Если функция стремится к нулю, то и её производная - тоже?
Сообщение07.08.2013, 16:40 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли

(Оффтоп)

Как миниум континиум ;-) Первое слово я так в детстве воспринимал, со вторым тоже ошибался поначалу. Я-то поначалу, а многие и не подозревают, что так говорить неправильно...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group