Доказать неравенство

[Ktina]

Доказать неравенство:

$$\forall x>0:\quad x^2\ge 2\ln {x}+1$$

У меня без производной пока не получается. А с ней, вроде, не так сложно:

$$(x^2-2\ln {x}-1)'=2x-\dfrac{2}{x}$$

При $0<x<1$ наша производная отрицательна, при $x=1$ она равна нулю и при $x>1$ она положительна.
Это говорит о том, что функция $y=x^2-2\ln {x}-1$ получает минимум в точке $x=1$. Но при $x=1$ наша функция обнуляется, из чего следует:

$$x^2-2\ln {x}-1\ge 0\quad\to\quad x^2\ge 2\ln {x}+1\quad\text{Ч. Т. Д.}$$

Так или нет?

А вот как школьными методами притти к тому же результату?

[nnosipov]

$x^2 \geqslant 2(x-1)+1 \geqslant 2\ln{x}+1$. Неравенство $x-1 \geqslant \ln{x}$ можно считать очевидным.

[Ktina]

nnosipov,
Спасибо!
В таком случае олимпиадностью и не пахнет
Я думала, школьными методами сложнее будет, чем "вышкой".

[TOTAL]

nnosipov в сообщении #749554 писал(а):

Неравенство $x-1 \geqslant \ln{x}$ можно считать очевидным.

Но именно это неравенство и надо доказать.

[Ktina]

TOTAL в сообщении #749558 писал(а):

nnosipov в сообщении #749554 писал(а):

Неравенство $x-1 \geqslant \ln{x}$ можно считать очевидным.

Но именно это неравенство и надо доказать.

Надо доказать $x^2\geqslant 2\ln {x}+1$, разве оно равносильно $x-1 \geqslant \ln{x}$?

[TOTAL]

Ktina в сообщении #749559 писал(а):

Надо доказать $x^2\geqslant 2\ln {x}+1$

Школьнику слабо внести двоечку под логарифм?

[Ktina]

TOTAL в сообщении #749561 писал(а):

Ktina в сообщении #749559 писал(а):

Надо доказать $x^2\geqslant 2\ln {x}+1$

Школьнику слабо внести двоечку под логарифм?

Точно...

[provincialka]

В каком-то виде предел или производная там должны быть. Как иначе связать многочлен и логарифм? А "очевидного" там ничего нет, ведь неравенство \ln x \le x-1$ выполняется только для логарифма по основанию $e$, так что доказательство должно опираться на свойства этого числа!

[nnosipov]

provincialka в сообщении #749679 писал(а):

ведь неравенство $\ln x \le x-1$ выполняется только для логарифма по основанию $e$

Оно выполняется для любой функции, график которой лежит ниже касательной. И потому очевидно.

[ewert]

nnosipov в сообщении #749685 писал(а):

график которой лежит ниже касательной. И потому очевидно.

Да, очевидно. Но только после производных, о чём и была речь.

Уточню. Конкретно в случае логарифма выпуклость есть и без производных, но. Во-первых, чудовищно и необоснованно занудно есть. А во-вторых, от определения числа $e$ никуда (как было метко замечено) не уйти.

[patzer2097]

О неравенстве $\ln x\leq x-1$.

Оно еще вот почему очевидно: если мы нарисуем график $y=1/t$, то площадь фигуры $S$, ограниченной этим графиком и $y=0$, $t=1$ и $t=x$ будет $\ln x$. А $x-1$ - это площадь прямоугольника, ограниченного $y=1$, $y=0$, $t=1$ и $t=x$ (очевидно, он содержит $S$).

Еще надо отметить, что это действительно важное неравенство с точки зрения начал анализа, и оно первичнее чем понятия производных и тем более выпуколсти. Я вот что имею в виду - удобно в качестве определения логарифма числа $x>0$ брать как раз полщадь фигуры $S$ из предыдущего абзаца. Тогда по тривиальным геометрическим соображениям получаем $\ln(xy)=\ln x+\ln y$ и $\frac{x-1}{x}\leq \ln x\leq x-1$. Подставляя в эти неравенства $x=1+1/N$ получаем $\frac{N}{N+1}\leq \ln\left(1+\frac{1}{N}\right)^N\leq 1$, откуда вытекает стандартное определение числа $e$ (которое в нашем случае определяется как решение уравнения $\ln e=1$).

Остается определить экспоненту как обратную для логарифма, и положить $a^x=e^{x\ln a}$, таким образом давая определения показательных функций, числа $e$ и логарифма на школьном языке. Что представляется довольно интересным, потому что (насколько я могу судить) способ введения этих определений в обычной школьной программе отличается отличается своей неадекватностью даже в сравнении с другими разделами этой программы.

[nnosipov]

ewert в сообщении #749703 писал(а):

Да, очевидно. Но только после производных, о чём и была речь.

Эти банальности все понимают.

-- Вс июл 28, 2013 13:56:43 --

patzer2097 в сообщении #749729 писал(а):

Я вот что имею в виду - удобно в качестве определения логарифма числа $x>0$ брать как раз полщадь фигуры $S$ из предыдущего абзаца.

Кажется, была брошюра для школьников "Площади и логарифмы" (серия "Популярные лекции по математике").

[provincialka]

Ну, знаете! Банальность - понятие относительное! Речь ведь шла о школьных методах (т.е. элементарных?). А в школе логарифм не вводят через площадь!
чтобы связать два определения нужно число $e$ и предел.

[patzer2097]

provincialka в сообщении #749795 писал(а):

чтобы связать два определения нужно число $e$ и предел.

прошу прощения, а какие можно дать два определения, что ни в одном из них ни предел не нужен, ни $e$?

provincialka в сообщении #749795 писал(а):

А в школе логарифм не вводят через площадь!

а зря

а что касается собственно этой задачи, то и в рамках обычной школьной программы можно написать $\int_{1}^{x}\,\frac{dt}{x}\leqslant \int_{1}^{x}\,\frac{dt}{t}\leqslant \int_{1}^{x}\,dt$, откуда и следует $\frac{x-1}{x}\leqslant \ln x\leqslant x-1$.

[provincialka]

Ну, дык,... Про то и речь. Интегралы там разные, производные, касательные. Без них такую задачу не решить.