2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 29  След.
 
 Научите понимать косинус
Сообщение21.07.2013, 22:18 


25/03/10
590
Прошу помочь разобраться с тем, что такое косинус.

Во-первых, я понимаю его прежде всего как функцию, которая ставит в соответствие любому числу (углу в градусах) другое число (от -1 до +1 включительно).
Во-вторых я его понимаю как отношение сторон в прямоугольном треугольнике (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

Какая связь между этими двумя пониманиями?
В чём состоит мотивация введения такой функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение21.07.2013, 22:46 


19/05/10

3940
Россия

(Оффтоп)

Так как работе большинство знают что я исходно математик, имею возможность с умным видом рассказывать всякий бред.
Про косинус у меня такая история: "А знаете ли вы, что косинус это косой синус? нет? ужасно, как вы вообще в школе учились??? Это даже эксель знает, если вы напишете синус косым шрифтом (курсивом), то он поменяется на косинус автоматически. И ведь ВСЕ верят!

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение21.07.2013, 22:57 


25/03/10
590
mihailm, я бы говорил, что это "сдвинутый" синус (что было бы правдой). Соответственно, в Excel использовать tab. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение21.07.2013, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
bigarcus в сообщении #748123 писал(а):
Какая связь между этими двумя пониманиями?

Почитайте про определение косинуса через единичную окружность. Это и даст вам искомую связь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение21.07.2013, 23:20 


23/12/07
1763
bigarcus в сообщении #748123 писал(а):
Во-первых, я понимаю его прежде всего как функцию, которая ставит в соответствие любому числу (углу в градусах) другое число (от -1 до +1 включительно).

Есть бесконечное множество функций, которые ставят числу (углу в градусах) другое число из [-1,1]. Вы которую из них называете "функцией косинуса"? ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение21.07.2013, 23:49 


25/03/10
590
Где почитать советуете?

И все-таки, в чем мотивация, чтобы прям так специально целую функцию заводить. Откуда её естественность следует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение21.07.2013, 23:55 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
Если по единичной окружности с единичной скоростью движется по кругу точка, то если посмотреть слева - получится синус, а если снизу - косинус.

А вообще, синус и косинус - два ортонормированных решения уравнения $\ddot y+y=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение21.07.2013, 23:56 


25/03/10
590
venco в сообщении #748145 писал(а):
Если по единичной окружности с единичной скоростью движется по кругу точка, то если посмотреть слева - получится синус, а если снизу - косинус.

Понятно. Только не слева, а сбоку. Всё равно с какого: правого или левого.

venco в сообщении #748145 писал(а):
А вообще, синус и косинус - два ортонормированных решения уравнения $\ddot y+y=0$

Непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение22.07.2013, 03:11 


11/04/08
632
Марс
bigarcus в сообщении #748123 писал(а):
Во-первых, я понимаю его прежде всего как функцию, которая ставит в соответствие любому числу (углу в градусах) другое число (от -1 до +1 включительно).
Во-вторых я его понимаю как отношение сторон в прямоугольном треугольнике (отношение прилежащего катета к гипотенузе).


$\mathrm{cos} x$ - это просто cокращенное обозначение для суммы $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $.
Можно конечно везде писать $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $, но $\mathrm{cos} x$ компактнее будет. В анализе эта сумма встречается на каждом углу, вот в тех же диффурах например, и в треугольнике - отношение катета к гипотенузе при угле $x$ как раз равно $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение22.07.2013, 03:26 


25/03/10
590
spyphy, ваш случай - это когда формализм и алгебраизм во вред.
Ну или мне такой случай не подходит.

-- Пн июл 22, 2013 04:22:44 --

Где мотивация где косинуса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение22.07.2013, 04:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Mopnex в сообщении #231701 писал(а):
Есть такая теорема .

Существует, и притом единственная пара функций $S(x)$ и $C(x)$, определённых на всей числовой прямой и удовлетворяющих следующим трём требованиям:

1. Для любых вещественных чисел $x$, $y$ , $z$ выполняются соотношения

$S(x+y) = S(x)C(y)+C(x)S(y)$
$C(x+y) = C(x)C(y)-S(x)S(y)$
$S^2(z)+C^2(z) = 1$

2. $ S(0) = 0$, $ C(0) = 1$
$ S(\pi/2) = 1 $, $C(\pi/2) = 0$



3. При $0<z<\pi/2 $ справедливы неравенства $0<S(z)<z$

Попутно доказывается, что эти функции непрерывны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение22.07.2013, 05:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
вы же сами сказали - мотивация идет из треугольника. но если его нарисовать на координатной плоскости так, что катеты параллельны осям, то может захотеться рассмотреть и другие углы, не только острые.

Это было вначале. А потом косинус стал применяться во многих задачах. Некоторые здесь уже упомянуты. Еще одна - описание гармонических колебаний.

Кстати, вы почему-то не спрашиваете про синус. Его мотивация вам ясна ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение22.07.2013, 07:14 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Над топикстартером, вижу, каждый издевается как может. И ряды привлекли, и дифуры... Только Munin проявил сознательность и ответил чётко.
Munin в сообщении #748135 писал(а):
Почитайте про определение косинуса через единичную окружность. Это и даст вам искомую связь.

(Оффтоп)

Я бы написал именно так. Увы, опередили ;-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение22.07.2013, 14:54 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Если начать раскапывать тригонометрическую окружность, для определения что такое угол поворота придётся искать гомоморфизм из $\langle\mathbb R, +\rangle$ в $SO(2)$ или $U(1)$ такой, что (уже отдельно от этого введённая) длина $\tau$ упоминаемой окружности отображалась бы в нейтральный элемент $SO(2)$ или $U(1)$, и чтобы $(0; \tau)$ в него не отображались. Потом надо определить, что такое проекция и напроецировать себе $\cos$ и $\sin$ на здоровье.

-- Пн июл 22, 2013 17:57:14 --

Даже если определять угол поворота через «соответствие» обычному углу между лучами (так и надо — он ведь его обобщением и получается интуитивно), надо будет вводить или меру того угла, или длину дуги окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Научите понимать косинус
Сообщение22.07.2013, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
arseniiv в сообщении #748300 писал(а):
Если начать раскапывать тригонометрическую окружность, для определения что такое угол поворота придётся искать гомоморфизм из $\langle\mathbb R, +\rangle$ в $SO(2)$ или $U(1)$ такой, что (уже отдельно от этого введённая) длина $\tau$ упоминаемой окружности отображалась бы в нейтральный элемент $SO(2)$ или $U(1)$, и чтобы $(0; \tau)$ в него не отображались.

Да чё его искать, он очевиден, даже если не знать всех использованных вами терминов и обозначений (в переводе на русский, "придётся искать отображение числовой прямой на множество углов поворота единичной окружности", а $\tau\equiv 2\pi$).

Не пугайте детей, это нехорошо :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 435 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 29  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group