Научите понимать косинус

[bigarcus]

Прошу помочь разобраться с тем, что такое косинус.

Во-первых, я понимаю его прежде всего как функцию, которая ставит в соответствие любому числу (углу в градусах) другое число (от -1 до +1 включительно).
Во-вторых я его понимаю как отношение сторон в прямоугольном треугольнике (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

Какая связь между этими двумя пониманиями?
В чём состоит мотивация введения такой функции?

[mihailm]

(Оффтоп)

Так как работе большинство знают что я исходно математик, имею возможность с умным видом рассказывать всякий бред.
Про косинус у меня такая история: "А знаете ли вы, что косинус это косой синус? нет? ужасно, как вы вообще в школе учились??? Это даже эксель знает, если вы напишете синус косым шрифтом (курсивом), то он поменяется на косинус автоматически. И ведь ВСЕ верят!

[bigarcus]

mihailm, я бы говорил, что это "сдвинутый" синус (что было бы правдой). Соответственно, в Excel использовать tab.

[Munin]

bigarcus в сообщении #748123 писал(а):

Какая связь между этими двумя пониманиями?

Почитайте про определение косинуса через единичную окружность. Это и даст вам искомую связь.

[_hum_]

bigarcus в сообщении #748123 писал(а):

Во-первых, я понимаю его прежде всего как функцию, которая ставит в соответствие любому числу (углу в градусах) другое число (от -1 до +1 включительно).

Есть бесконечное множество функций, которые ставят числу (углу в градусах) другое число из [-1,1]. Вы которую из них называете "функцией косинуса"? ;)

[bigarcus]

Где почитать советуете?

И все-таки, в чем мотивация, чтобы прям так специально целую функцию заводить. Откуда её естественность следует?

[venco]

Если по единичной окружности с единичной скоростью движется по кругу точка, то если посмотреть слева - получится синус, а если снизу - косинус.

А вообще, синус и косинус - два ортонормированных решения уравнения $\ddot y+y=0$

[bigarcus]

venco в сообщении #748145 писал(а):

Если по единичной окружности с единичной скоростью движется по кругу точка, то если посмотреть слева - получится синус, а если снизу - косинус.

Понятно. Только не слева, а сбоку. Всё равно с какого: правого или левого.

venco в сообщении #748145 писал(а):

А вообще, синус и косинус - два ортонормированных решения уравнения $\ddot y+y=0$

Непонятно.

[spyphy]

bigarcus в сообщении #748123 писал(а):

Во-первых, я понимаю его прежде всего как функцию, которая ставит в соответствие любому числу (углу в градусах) другое число (от -1 до +1 включительно).
Во-вторых я его понимаю как отношение сторон в прямоугольном треугольнике (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

$\mathrm{cos} x$ - это просто cокращенное обозначение для суммы $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $.
Можно конечно везде писать $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $, но $\mathrm{cos} x$ компактнее будет. В анализе эта сумма встречается на каждом углу, вот в тех же диффурах например, и в треугольнике - отношение катета к гипотенузе при угле $x$ как раз равно $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $.

[bigarcus]

spyphy, ваш случай - это когда формализм и алгебраизм во вред.
Ну или мне такой случай не подходит.

-- Пн июл 22, 2013 04:22:44 --

Где мотивация где косинуса?

[g______d]

Mopnex в сообщении #231701 писал(а):

Есть такая теорема .

Существует, и притом единственная пара функций $S(x)$ и $C(x)$, определённых на всей числовой прямой и удовлетворяющих следующим трём требованиям:

1. Для любых вещественных чисел $x$, $y$ , $z$ выполняются соотношения

$S(x+y) = S(x)C(y)+C(x)S(y)$
$C(x+y) = C(x)C(y)-S(x)S(y)$
$S^2(z)+C^2(z) = 1$

2. $ S(0) = 0$, $ C(0) = 1$
$ S(\pi/2) = 1 $, $C(\pi/2) = 0$



3. При $0<z<\pi/2 $ справедливы неравенства $0<S(z)<z$

Попутно доказывается, что эти функции непрерывны.

[provincialka]

вы же сами сказали - мотивация идет из треугольника. но если его нарисовать на координатной плоскости так, что катеты параллельны осям, то может захотеться рассмотреть и другие углы, не только острые.

Это было вначале. А потом косинус стал применяться во многих задачах. Некоторые здесь уже упомянуты. Еще одна - описание гармонических колебаний.

Кстати, вы почему-то не спрашиваете про синус. Его мотивация вам ясна ?

[Aritaborian]

Над топикстартером, вижу, каждый издевается как может. И ряды привлекли, и дифуры... Только Munin проявил сознательность и ответил чётко.

Munin в сообщении #748135 писал(а):

Почитайте про определение косинуса через единичную окружность. Это и даст вам искомую связь.

(Оффтоп)

Я бы написал именно так. Увы, опередили ;-)

[arseniiv]

Если начать раскапывать тригонометрическую окружность, для определения что такое угол поворота придётся искать гомоморфизм из $\langle\mathbb R, +\rangle$ в $SO(2)$ или $U(1)$ такой, что (уже отдельно от этого введённая) длина $\tau$ упоминаемой окружности отображалась бы в нейтральный элемент $SO(2)$ или $U(1)$, и чтобы $(0; \tau)$ в него не отображались. Потом надо определить, что такое проекция и напроецировать себе $\cos$ и $\sin$ на здоровье.

-- Пн июл 22, 2013 17:57:14 --

Даже если определять угол поворота через «соответствие» обычному углу между лучами (так и надо — он ведь его обобщением и получается интуитивно), надо будет вводить или меру того угла, или длину дуги окружности.

[Munin]

arseniiv в сообщении #748300 писал(а):

Если начать раскапывать тригонометрическую окружность, для определения что такое угол поворота придётся искать гомоморфизм из $\langle\mathbb R, +\rangle$ в $SO(2)$ или $U(1)$ такой, что (уже отдельно от этого введённая) длина $\tau$ упоминаемой окружности отображалась бы в нейтральный элемент $SO(2)$ или $U(1)$, и чтобы $(0; \tau)$ в него не отображались.

Да чё его искать, он очевиден, даже если не знать всех использованных вами терминов и обозначений (в переводе на русский, "придётся искать отображение числовой прямой на множество углов поворота единичной окружности", а $\tau\equiv 2\pi$).

Не пугайте детей, это нехорошо :-)