Топология поверхностей

[Raphmn]

Если мы рассмотрим топологию двухмерной поверхности, то верно ли, что может не существовать такой поверхности трехмерного тела, топология которой совпадала бы с нашей поверхностью?
Вот пример-двухмерная плоскость с двумя циклическими координатами по перпендикулярным осям
поверхности какой фигуры она соответствует?

[AlexDem]

Raphmn в сообщении #746884 писал(а):

Если мы рассмотрим топологию двухмерной поверхности, то верно ли, что может не существовать такой поверхности трехмерного тела

Да, Теорема Уитни о вложении. Бутылка Клейна не вкладывается в 3D, только в 4D (хотя это вообще не поверхность тела, она ничего не ограничивает, но другой пример в голову не пришёл).

Raphmn в сообщении #746884 писал(а):

Вот пример-двухмерная плоскость с двумя циклическими координатами по перпендикулярным осям

Это тор.

[Raphmn]

Цитата:

Это тор.

я тоже так думал, но у тора разные внешний и внутренний диаметры, те если мы пройдем параллельно какой -то оси на одинаковое расстояние, а на торе этим направлениям будут соответствовать скажем внешний и внутренний диаметры, то сечение тора, перпендикулярное этим диаметрам сместиться не параллельно а как бы повернется, а на плоскости не так

У меня грубо вышло что-то вроде тора, но с бесконечно большим диаметром
да и к тому же тор нельзя развернуть в плоскость

[AlexDem]

Если Вы говорите о топологии, то там расстояния не важны. Иначе это геометрия.

А у плоскости и нет никаких циклических координат.

Посмотрите, например, книгу: В. В. Прасолов "Наглядная топология". Очень интересно и понятно для начинающего.

[Raphmn]

Цитата:

Если Вы говорите о топологии, то там расстояния не важны. Иначе это геометрия.

пусть будет геометрия
не знаю как назвать

Цитата:

А у плоскости и нет никаких циклических координат

а мы их ввести не можем?.

Цитата:

Посмотрите, например, книгу: В. В. Прасолов "Наглядная топология". Очень интересно и понятно для начинающего.]

спасибо

[AlexDem]

Raphmn в сообщении #746893 писал(а):

а мы их ввести не можем?.

Можем. Точки с одинаковыми координатами отождествляем, получаем поверхность. Это - точно не плоскость. Посмотрите рис. 9.8 у Прасолова, там дана развёртка тора. По-моему, это как раз то, что Вы хотите.

[Raphmn]

кажется, да
скажите, а развертка тора сохраняет локальные метрические отношения?

[AlexDem]

Здесь есть Someone, он знает даже про "плоский тор" . Этот тор метрику полностью сохраняет, погуглите.

[Raphmn]

вот нашел

Цитата:

Плоский тор - это фигура, топологически эквивалентная квадрату. Если представить себе квадрат и соединить его верхнюю границу с нижней, мы получим что-то вроде цилиндра. Если затем соединить края цилиндра друг с другом, то получится тор - фигура, похожая на бублик. Однако, если на исходный квадрат нанести вертикальные и горизонтальные линии, то вертикальные линии в ходе преобразования сохранят свою длину, в то время как горизонтальные окажутся растянутыми. Это происходит потому, что невозможно соединить края цилиндра, не растягивая его.

вот то что меня смутило

Цитата:

Нэш и Кейпер в середине пятидесятых годов прошлого века доказали существование такого тора в трехмерном пространстве, в котором ни горизонтальные, ни вертикальные линии не будут растянуты (в четырехмерном такой тор строится довольно просто)

а про четырехмерие я тоже думал-это правда?

[AlexDem]

Не понял вопрос, да и вряд ли смогу объяснить по тому материалу, что Вы привели, там - о геометрии. В топологии как раз всё соединяется нормально, вот, посмотрите ещё ссылку.

[Raphmn]

я тоже о геометрии
я топологию не знаю, так что мог с геометрией спутать