2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Риманово пространство
Сообщение10.11.2006, 17:06 
Заслуженный участник


13/12/05
4621
Может ли быть компактное риманово пространство размерности >=2 c нулевым тензором кривизны, т.е. локально изометричное евклидову?

На олимпиадную не тянет, конечно. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Риманово пространство
Сообщение10.11.2006, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
Padawan писал(а):
Может ли быть компактное риманово пространство размерности >=2 c нулевым тензором кривизны, т.е. локально изометричное евклидову?


Плоский тор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Риманово пространство
Сообщение10.11.2006, 18:52 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Someone писал(а):
Плоский тор.

Что из себя представляет компактный (многообразие без границ ) плоский тор?

 Профиль  
                  
 
 Re: Риманово пространство
Сообщение10.11.2006, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
Руст писал(а):
Someone писал(а):
Плоский тор.

Что из себя представляет компактный (многообразие без границ ) плоский тор?


Берём $n$-мерный куб и склеиваем противоположные гранани. Риманову метрику сохраняем ту, которая была в $\mathbb R^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Риманово пространство
Сообщение10.11.2006, 19:30 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Someone писал(а):
Берём $n$-мерный куб и склеиваем противоположные гранани. Риманову метрику сохраняем ту, которая была в $\mathbb R^n$.

Но это обычный тор, топологический $S^n$, где S окружность. Разве можно там ввести гладкую метрику (для подсчёта кривизны нужна дважды дифференцируемость), чтобы кривизна была равна нулю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Риманово пространство
Сообщение10.11.2006, 20:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
Руст писал(а):
Но это обычный тор, топологический $S^n$, где S окружность. Разве можно там ввести гладкую метрику (для подсчёта кривизны нужна дважды дифференцируемость), чтобы кривизна была равна нулю?


Да просто $ds^2=\sum\limits_{k=1}^ndx_k^2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.11.2006, 20:21 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Действительно просто. У меня ассоцировалась ощущение невозможности из-за того, что вырезая велосипедную камеру не удается уложить на полу (плоскости).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.11.2006, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18005
Москва
$n$-мерный тор $T^n$ с плоской метрикой можно реализовать в $\mathbb R^{2n}$. Если считать, что точки тора имеют координаты $0\leqslant x_k<\pi$, $k=1,2,\dots,n$, то вложение в $\mathbb R^{2n}$ с координатами $u_k,v_k$, $k=1,2,\dots,n$, даётся формулами $u_k=\cos x_k$, $v_k=\sin x_k$, $k=1,2,\dots,n$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.11.2006, 21:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Говоря простыми словами, произведение (ой, или это не так называется? всё забыл.) n окружностей, лежащих каждая в своём двумерном пространстве.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 15:59 
Заслуженный участник


13/12/05
4621
Someone писал(а):
$n$-мерный тор $T^n$ с плоской метрикой можно реализовать в $\mathbb R^{2n}$.


А двумерный в R^3 можно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.11.2006, 16:33 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
По видимому можно вложить только гладким отображением, но нельзя вложить изометрический, о чём я говорил на примере с камерой.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group