Асимптотическая плотность послед-ности и гипотезы о простых

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #743690 писал(а):

Что не верно конкретно?

Нет доказательства.
Если лень думать, вот формально:

vicvolf в сообщении #743266 писал(а):

Перед суммой с 2-мя простыми делителями стоит плюс, поэтому ошибка в этой сумме должна уменьшить общую ошибку выражения (5), поэтому посчитаем ее нулевой.

$x:=20, \sqrt{x}=4+\epsilon, M:=2\cdot 3=6, p_j\leqslant 3$
Тогда первая сумма равна
$\sum\limits_{p\mid 6}\left[\frac{x}{p}\right]=\left[\frac{20}{2}\right]+\left[\frac{20}{3}\right]=10+6=16$
Вторая сумма равна
$-\sum\limits_{pq\mid 6, p<q\leqslant 3}\left[\frac{x}{pq}\right]=-\left[\frac{20}{6}\right]=-3$
$16\neq 3$, а Вы говорите

vicvolf в сообщении #743266 писал(а):

Перед суммой с 2-мя простыми делителями стоит плюс, поэтому ошибка в этой сумме должна уменьшить общую ошибку выражения (5), поэтому посчитаем ее нулевой.

[vicvolf]

Данный пример х=20 не совсем подходит, так как я писал, что х-большое $(>10^8)$.
Реальная плотность определяется выражением:

$$\pi(x)/x = (\pi(\sqrt{x})-1)/x+[x]/x-\sum_{p_i|M}{[x/p_i]}/x+\sum_{p_i p_j|M}{[x/p_i p_j]}/x- ... -\sum_{p_1 p_2...p_r|M}{[x/p_1 p_2 ... p_r]}/x,(1)$$

где $M=2 \cdot 3...\cdot p_r$, а $p_r \leq \sqrt{x}$.
В нашем случае на основании формулы (1) получим:

$$\pi(20)/20 =(2-1)/20+1-\frac {[20/2]} {20}-\frac {[20/3]} {20}+\frac {[20/(2\cdot 3)]}{20}=1/20+1-10/20-6/20+3/20=8/20=0,4.(2)$$

Теперь определим плотность по исследуемой формуле:

$$P(f,2,x)= (\pi(\sqrt{x})-1)/x+1- \sum_{p_i|M}{1/p_i}+\sum_{p_i p_j|M}{1/p_i p_j}- ... -\sum_{p_1 p_2...p_r|M}{1/p_1 p_2 ... p_r}.(3)$$

Для нашего примера по формуле (3) получим:

$$P(f,2,x)=(2-1)/20+1-1/2-1/3+1/6=23/60=0,3833....(4)$$

Общая ошибка (2)-(4) 0,4-0,3833..=0,0166...Относительная ошибка - 4,17%.
В первой сумме (с одним простым делителем) вместо -10/20-6/20=-16/20=-4/5 по формуле (1) мы ставим -1/2-1/3=-5/6 по формуле (3), т.е. занижаем реальную плотность на 5/6-4/5=1/30.
Во второй сумме прибавляем вместо 3/20 число 1/6>3/20, т.е. уменьшаем ошибку на 1/6-3/20=1/60.
Поэтому, чтобы ошибка не гасилась я предложил считать ее нулевой, т.е. специально увеличивая величину общей ошибки.
Если, каждую нечетную сумму не считать нулевой, то величина общей ошибки будет меньше. Но считать каждую нечетную сумму по максимуму нельзя, так как это реально занизит ошибку.

[vicvolf]

Рассмотрим величину ошибки в указанном выше формуле для больших значений x.

Для х=1000.
Реальная плотность:
$\pi(1000)/1000=168/1000=0,168.$ (1)
Рассчитаем плотность по исследуемой формуле:
$\prod_{p< \sqrt{1000} }(1-1/p)=\frac {1} {2}\cdot \frac {2} {3} \cdot \frac {4} {5} \cdot ...\cdot \frac {30} {31} = 0,153.$ (2)
Рассчитаем:
$\frac {\pi(\sqrt{1000})-1} {1000}=0,01.$ (3)
Таким образом, используя (2), (3) получим:
$P(f,2,1000)=0,01+0,153=0,163.$ (4)
Сравнивая (2), (4) получаем ошибку 0,168-0,163=0,005, относительную ошибку - 2,98%.

Для $x=10^{10}$.
Реальная плотность равна:
$\pi(10^{10}) /10^{10}=455052512/10^{10}=0,0455052512.$ (5)
Рассчитаем плотность по исследуемой формуле:
$\prod_{p< \sqrt{10^{10}} }(1-1/p)= 0,04517.$ (6)
Рассчитаем:
$\frac {\pi(\sqrt{10^{10} })-1} {10^{10} }=9591/10^{10}=0,0000009591.$ (7)
Таким образом, используя (6), (7) получим:
$P(f,2,10^{10})=0,04517+0,0000009591=0,04517.$ (8)
Сравнивая (6), (8) получаем ошибку 0,0455052512-0,04517=0,00033, относительную ошибку - 0,73%.
Обратите внимание, что при $x=10^{10}$ величина $\frac {\pi(\sqrt{10^{10} })-1} {10^{10} }=9591/10^{10}=0,0000009591$ уже мала и не оказывает влияние на конечный результат, поэтому, как я писал выше, при больших х с высокой точностью: $P(f,2,x)=\prod_{p< \sqrt{x} }(1-1/p),$ (9) т.е остатки от деления натурального х на разные простые независимы.

[Sonic86]

Все еще проще: $\frac{1}{\ln x}\sim\frac{\pi(x)}{x}\not\sim\prod\limits_{p\leqslant\sqrt{x}}\left(1-\frac{1}{p}\right)\sim\frac{2e^{-\gamma}}{\ln x}$

[vicvolf]

Да. верно, но разница не такая большая:
$\prod\limits_{p\leqslant\sqrt{x}}\left(1-\frac{1}{p}\right)\sim\frac{2e^{ -\gamma}}{\ln x}=2 \cdot 0,56/\ln(x)=1,12/\ln(x).$
Кстати отсюда следует:
$\prod_{\sqrt{x}<p\leqslant x}(1-1/p) \sim \frac{e^{ -\gamma} \ln(x)}{\ln(x)2e^{-\gamma }}=1/2$

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #741098 писал(а):

На каком основании вы заключаете, что $C_k$ - константа? Пока вы это не доказали, надо писать так: $P(f,2,x) \sim C_k(x)/\ln^k x.$

Да, действительно $P(f,2,x) \sim C_k(x)/\ln^k x.$
На основании определения асимптотики:
$\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,2,x)}=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {C_k(x)} {\ln^k(x)} }=\frac {\lim \limits_{x \to \infty} {C_k(x)}} {\lim \limits_{x \to \infty} { \ln^k(x)}}.$ (1)
Ранее было показано:
$C_k(x)=\prod_{p\leq x}\frac {1-w_k(p)/p} {(1-1/p)^k}.$ (2)
Поэтому, на основании (2) получаем:
$\lim \limits_{x \to \infty} { C_k(x)}=\lim \limits_{x \to \infty} { \prod_{p<x} \frac {1-w_k(p)/p} {(1-1/p)^k}}=\prod_{p} \frac {1-w_k(p)/p} {(1-1/p)^k}.$ (3)
Следовательно, подставляя (3) в (1) получаем:
$\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,2,x)}=\frac {\prod_{p} \frac {1-w_k(p)/p} {(1-1/p)^k}} {\lim \limits_{x \to \infty} { \ln^k(x)}}.$ (4)
На основании (4) и определения асимптотики:
$P(f,2,x) \sim C_k/\ln^k(x),$ где $C_k=\prod_{p} \frac {1-w_k(p)/p} {(1-1/p)^k}.$ (5) ч.т.д.

[tolstopuz]

Sonic86 в сообщении #744279 писал(а):

Все еще проще: $\frac{1}{\ln x}\sim\frac{\pi(x)}{x}\not\sim\prod\limits_{p\leqslant\sqrt{x}}\left(1-\frac{1}{p}\right)\sim\frac{2e^{-\gamma}}{\ln x}$

А где почитать про правую часть?

-- Пн июл 08, 2013 15:43:09 --

vicvolf в сообщении #744339 писал(а):

Да. верно, но разница не такая большая:
$\prod\limits_{p\leqslant\sqrt{x}}\left(1-\frac{1}{p}\right)\sim\frac{2e^{ -\gamma}}{\ln x}=2 \cdot 0,56/\ln(x)=1,12/\ln(x).$

Все эти последовательности очень медленно сходятся к пределу - я дошел только до 6%, а асимптотика, оказывается, 12%.

Давайте следующую идею, раз эта тоже провалилась :)

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #744396 писал(а):

Sonic86 в сообщении #744279 писал(а):

Все еще проще: $\frac{1}{\ln x}\sim\frac{\pi(x)}{x}\not\sim\prod\limits_{p\leqslant\sqrt{x}}\left(1-\frac{1}{p}\right)\sim\frac{2e^{ -\gamma} }{\ln x}$

А где почитать про правую часть?

В формуле Мертенса подставить вместо х - $\sqrt{x}$ и получаем:
$\prod_{p<\sqrt{x}}(1-1/p) \sim e^{-\gamma}/\ln(\sqrt{x})=e^{-\gamma}/0,5\ln(x)=2e^{-\gamma}/\ln(x)$

-- 08.07.2013, 16:01 --

tolstopuz в сообщении #742123 писал(а):

Проблема в другом: вы вспоминаете о конечном $n$ только тогда, когда это вам удобно. Если же каждое ваше равенство записать не для волшебной страны с единорогами, а с реальной зависимостью от $n$, волшебный туман развеивается, и равенства превращаются в тыкву. Для математической сказки это приемлемо, но доказательством это не является ну просто ни разу. Вы ничего не "показывали", вы только рассказывали.

Как видите все корректно.

vicvolf в сообщении #744388 писал(а):

На основании определения асимптотики:
$\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,2,x)}=\lim \limits_{x \to \infty} { \frac {C_k(x)} {\ln^k(x)} }=\frac {\lim \limits_{x \to \infty} {C_k(x)}} {\lim \limits_{x \to \infty} { \ln^k(x)}}.$ (1)
Ранее было показано:
$C_k(x)=\prod_{p\leq x}\frac {1-w_k(p)/p} {(1-1/p)^k}.$ (2)
Поэтому, на основании (2) получаем:
$\lim \limits_{x \to \infty} { C_k(x)}=\lim \limits_{x \to \infty} { \prod_{p<x} \frac {1-w_k(p)/p} {(1-1/p)^k}}=\prod_{p} \frac {1-w_k(p)/p} {(1-1/p)^k}.$ (3)
Следовательно, подставляя (3) в (1) получаем:
$\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,2,x)}=\frac {\prod_{p} \frac {1-w_k(p)/p} {(1-1/p)^k}} {\lim \limits_{x \to \infty} { \ln^k(x)}}.$ (4)
На основании (4) и определения асимптотики:
$P(f,2,x) \sim C_k/\ln^k(x),$ где $C_k=\prod_{p} \frac {1-w_k(p)/p} {(1-1/p)^k}.$ (5) ч.т.д.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #744388 писал(а):

Ранее было показано:
$C_k(x)=\prod_{p\leq x}\frac {1-w_k(p)/p} {(1-1/p)^k}.$ (2)

Вы опять запутались. Давайте внимательнее посмотрим, где это было "показано":

vicvolf в сообщении #739173 писал(а):

Пояснение

Для фиксированного простого p разобьем натуральный ряд чисел на p непересекающихся классов: $pl-p+1, pl-p+2, ...pl-1, pl,$ где i - натуральное число. Простые числа могут находиться в p-1 классах кроме класса pl. Плотности простых чисел во всех последовательностях арифметических прогрессий: $pl-p+t, t \leq p-1$ одинаковы, поэтому равны и их количества на интервале натурального ряда от 2 до n. Учитывая это вероятность, что простое число p не является делителем натурального числа n равна $(p-1)/p=1-1/p$ (21).
Обозначим $B_1$ событие, что простое число p не является делителем натурального числа n, тогда на основании (21):
$Pr(B_1)=1-1/p$.
Обозначим $B_2$ событие, что простое число p натуральное число не является делителем натурального числа $n+2n_1$.
...
Обозначим $B_k$ событие, что простое число p натуральное число не является делителем натурального числа $n+2n_1+2n_2+...+2n_{k-1}$.
Так как n большое, то длина k-кортежа $2(l_1+l_2+...l_k)$ значительно меньше n, поэтому все вероятности:
$Pr(B_1),Pr(B_2),...Pr(B_k)$ принадлежат одной вероятностной мере то их можно сравнивать:
$Pr(B_1)=Pr(B_2)=...=Pr(B_k)=1-1/p,$ (22)
и для них справедлива формула вероятности произведения независимых событий:
$Pr(B_1 \cdot B_2...\cdot B_k)=Pr(B_1)Pr(B_2)...Pr(B_k)=(1-1/p)^k.$ (23)
Вероятность, что простое число p не является одновременно делителем всех k натуральных чисел кортежа: $n,n+2n_1,...n+2n_1+...+2n_{k-1}$ определяется по формуле:
$Pr(B_1 \cdot B_2...\cdot B_k)=1-w_k(p)/p,$ (24) где $w_k(p)$ число решений сравнения: $n(n+2n_1) ...(n+2n_1+...+2n_{k-1}) \equiv 0 (\mod p).$
Для каждого p на основании (23), (24) мы получаем коэффициент, учитывающий зависимость событий $B_i$:
$C_k(p)=Pr(B_1 \cdot B_2...\cdot B_k)/Pr(B_1)Pr(B_2)...Pr(B_k)=\frac {1-w_k(p)/p} {(1-1/p)^k}.$ (25)
На основании (25) и делая предположение автора гипотезы о независимости остатков при делении на простое число p получаем:
$C_k=\prod_{p<n}\frac {1-w_k(p)/p} {(1-1/p)^k}.$ (26)

А теперь возьмите любое конкретное значение $x$ и посчитайте реальные значения (для близнецов) $Pr(B_1)$, $Pr(B_2)$, $Pr(B_1\cdot B_2)$, $C_2$ в вероятностной мере $P(f, 2, x)$ и сравните результат с правой частью формулы (26).

Например, возьмите $x=10^{100}$, надеюсь, это число достаточно большое? Из формулы (22) видно, что для $p=3$ получается $Pr(B_1)=2/3$, но по определению вероятностной меры эта вероятность может быть только конечной десятичной дробью не более чем со 100 цифрами после запятой. Приходим к противоречию. Все это рассуждение возможно только в сказочном мире и не выдерживает столкновения с реальностью.

-- Пн июл 08, 2013 16:02:30 --

vicvolf в сообщении #744398 писал(а):

В формуле Мертенса подставить вместо х - $\sqrt{x}$

Да, туплю :)

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #744403 писал(а):

... по определению вероятностной меры эта вероятность может быть только конечной десятичной дробью не более чем со 100 цифрами после запятой.

Это почему вы так решили? У меня используется натуральный, а не десятичный логарифм.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #744411 писал(а):

tolstopuz в сообщении #744403 писал(а):

... по определению вероятностной меры эта вероятность может быть только конечной десятичной дробью не более чем со 100 цифрами после запятой.

Это почему вы так решили? У меня используется натуральный, а не десятичный логарифм.

Это не я так решил. Это вы так решили в первом сообщении темы:

vicvolf в сообщении #718887 писал(а):

Обозначим количество членов последовательности $f(n)$ на интервале [A,B) (B>A) натурального ряда $\pi(f,A,B)$ и рассмотрим плотность, как долю членов последовательности $f(n)$ в последовательности натурального ряда на интервале [A,B):
$P(f,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {B-A}.$(1)

И логарифм тут ни при чем.

Ну да, я забыл, что вы считаете от двух, так что можете взять $x=10^{100}+2$. В результате получается дробь со знаменателем $10^{100}$, то есть конечная десятичная дробь.

[vicvolf]

tolstopuz в сообщении #744403 писал(а):

А теперь возьмите любое конкретное значение $x$ и посчитайте реальные значения (для близнецов) $Pr(B_1)$, $Pr(B_2)$, $Pr(B_1\cdot B_2)$, $C_2$ в вероятностной мере $P(f, 2, x)$ и сравните результат с правой частью формулы (26).
Например, возьмите $x=10^{100}$, надеюсь, это число достаточно большое? Из формулы (22) видно, что для $p=3$ получается $Pr(B_1)=2/3$, но по определению вероятностной меры эта вероятность может быть только конечной десятичной дробью не более чем со 100 цифрами после запятой.

Вы говорите о вероятности. В следствии 2 я показал:
Следствие 2
Значением вероятностной меры на интервале от 2 до х - $P(2,x)$ для последовательности простых чисел $f(n)$ является плотность $P(f,2,x)$ равная:
$P(f,2,x) =1/ln(x)+o(1/ln(x)). $
Отсюда следует, что вероятность большого натурального х быть простым числом - 1/ln(x). Вот об этой вероятности мы и говорим.

[tolstopuz]

vicvolf в сообщении #744478 писал(а):

Отсюда следует, что вероятность большого натурального х быть простым числом - 1/ln(x). Вот об этой вероятности мы и говорим.

Сейчас я говорю о вероятности $Pr(B_1)$ для конкретного $x=10^{100}+2$ и конкретного $p=3$. Ваша формула (22) дает результат, не согласующийся с вашим определением вероятностной меры из первого сообщения темы, то есть формула (22) неверна. А это делает неверным и вывод формулы (26).

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #718887 писал(а):

Обозначим количество членов последовательности $f(n)$ на интервале [A,B) (B>A) натурального ряда $\pi(f,A,B)$ и рассмотрим плотность, как долю членов последовательности $f(n)$ в последовательности натурального ряда на интервале [A,B):
$P(f,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {B-A}.$(1)

На конечном интервале плотность является рациональным числом. Вероятность события, что большое натуральное число х является простым равна 1/ln(x) отличается от плотности на конечном большом интервале на o(1/ln(x)).

[vicvolf]

Вывод гипотезы Харди-Литлвуда для простых близнецов (без предположения о независимости остатков при делении на разные простые числа)

На основании следствия 2 вероятность, что натуральное число х является простым равна:
$1/\ln(x)+o(1/\ln(x)). (1)$
Используя формулу Мертенса можно записать:
$e^C \prod_{p<n} (1-1/p) \sim 1/\ln(n) ,$ где C-постоянная Эйлера.
Это эквивалентно:
$e^C \prod_{p<n} (1-1/p) =1/\ln(n) +o(1/\ln(x)).(2)$
Пусть $A_1$ - событие, что большое натуральное число n является простым.
Тогда на основании формул (1),(2):
$P(A_1)=e^C \prod_{p<n} (1-1/p).(3)$
Пусть $A_2$ - событие, что большое натуральное число n+2 является простым.
Так как число n значительно больше 2, то
$P(A_2)=e^C \prod_{p<n} (1-1/p).(4)$
Так как n является большим натуральным числом, то все вероятности: $P(A_1), P(A_2), P(A_2/A_1)$ принадлежат одной вероятностной мере, их можно сравниваить и для них выполняется формула вероятности произведения событий.
Покажем, что вероятность события, что большое натуральное число n+2 является простым при условии, что число n является простым равна:
$P(A_2/A_1)=e^C \prod_{p<n} \frac {p-2}{p-1}.(5)$
При большом n, если оно является простым числом, то обязательно нечетным, поэтому n+2 также является нечетным числом. Если n+2 является простым числом, то оно не должно делиться на простые числа:2, 3,5,7,...
Вероятность, что нечетное простое число n+2 не делится на 2 $q(2)=1$.
Определим вероятность, что нечетное простое число n+2 не делится на 3 при условии, что n является простым.
Разобьем натуральные числа на 3 непересекающихся класса:3k-2,3k-1,3k, где k-натуральное число. Простые числа находятся только среди двух классов: 3k-2,3k-1. Если простое число n принадлежит классу 3k-2, то простое число n+2 должно принадлежать классу 3k, но это не возможно. Если простое число n принадлежит классу 3k-1, то простое число n+2 должно принадлежать классу 3k+1, что возможно. Поскольку плотности простых чисел в классах 3k-2,3k-1, 3k+1 равны, то вероятность, что n+2 делится на 3 $q(3)=1/2$.
Определим вероятность, что нечетное простое число n+2 не делится на 5 при условии, что n является простым.
Разобьем натуральные числа на 5 непересекающихся класса:5k-4,5k-3,5k-2,5k-1,5k где k-натуральное число. Простые числа находятся только среди 4 классов: 5k-4,5k-3,5k-2,5k-1. Если простое число n принадлежит классу 5k-2,, то простое число n+2 должно принадлежать классу 5k, но это не возможно. В остальных 3 случаях простое число n+2 должно принадлежать классу 5k-2,5k-1,5k+1 что возможно. Поскольку плотности простых чисел в классах 5k-4.5k-2,5k-1,5k+1 равны, то вероятность, что n+2 делится на 5 $q(5)=3/4$ и.т.д.
Здесь я делаю единственное предположение при выводе гипотезы.
Я предполагаю, что остатки от деления натурального n на разные простые числа не зависят от того является ли n простым числом или нет, т.е коэффициент зависимости остатков сохраняется равным $e^C$, как в формуле (4).
Это моя гипотеза. Если кто-то считает, что она не справедлива, то тем самым он считает также, что не справедлива и сама гипотеза Харли-Литлвуда. Это станет ясным из дальнейшего вывода.
С учетом зависимости остатков $P(A_2/A_1)=e^C\prod_{2<p<n} q(p)=e^C\frac {1\cdot 3 \cdot 5 \cdot ...} {2\cdot 4 \cdot 6 \cdot ...}= e^C\prod_{2<p<n} \frac {p-2} {p-1}$
На основании формул (4), (5) определим отношение:
$C_2=P(A_2/A_1)/P(A_2)=2\prod_{2<p<n} \frac {p(p-2)}{(p-1)^2}.(6)$
На основании формулы (6) и формулы вероятности произведения событий можно записать:
$P(A_1 \cdot A_2)=P(A_1)\cdot P(A_2/A_1)=P(A_1)\cdot C_2 \cdot P(A_2).(7)$
Учитывая большое значение n:
$P(A_1)=P(A_2)=1/\ln(n).$
Поэтому (7) можно представить в виде:
$P(A_1 \cdot A_2)=P(A_1)\cdot P(A_2/A_1)=P(A_1)\cdot C_2 \cdot P(A_2)=C_2/\ln^2(n),(7)$
где $C_2$ определяется по формуле (6).
Формула (7) соответствует гипотезе Харди-Литлвуда для простых близнецов.