Производная

[vlad_light]

Пусть $L(E)$ - множество всех линейных непрерывных операторов на $E$ (конечномерное векторное пространство). Определим функцию $f:L(E)\to L(E)$ такую, что

$$ f(A)=\begin{cases} A,&\text{если $A\in GL(E)$,}\\ 0,&\text{иначе;} \end{cases} $$

Я хочу найти что-то типа $f'(A_0)$. Можно ли это записать, как $f(A_0+H)-f(A_0)=f'(A_0)H, H\to 0$? Если да, то как найти производную? Где можно на эту тему что-то почитать?

[Sonic86]

Я не разбираюсь, но скажу.
Предполагаю, что $\operatorname{GL}(E)$ - это группа невырожденных линейных операторов над $E$.
Чтобы написать

vlad_light в сообщении #742965 писал(а):

$H\to 0$?

Надо ввести на множестве матриц норму, в крайнем случае - топологию. Они есть, но не очень очевидные. Вот надо искать что-то нормы матриц и там читать. Потом еще удобную норму выбрать.

(Оффтоп)

Где-то там же должно быть что-нибудь про $\ln A$ и $\exp A$.

Вот такую тему про нормы матрицы: topic41046.html

[vlad_light]

Цитата:

группа невырожденных линейных операторов

да, она

Цитата:

Надо ввести на множестве матриц норму

Такая норма сойдёт $\|A\|=\sup\limits _{\|x\|=1}\|Ax\|$? Сходимость будем понимать, например, сильную, т.е. $H\to O\Leftrightarrow \|H - O\|\to 0$.
А про $\exp A$ -- понятно, просто в ряд раскладывается.

[Otta]

vlad_light
Но Ваша функция даже непрерывна не везде. Вы хотите производную всюду посчитать?

[vlad_light]

А в смысле интегралов можно производную придумать?

Цитата:

Вы хотите производную всюду посчитать?

На соотв. подмножествах она будет равна $Id$ и $O$, верно?

[Otta]

Енто как?

[vlad_light]

Типа, для $A\in GL(E): f(A)=A\Rightarrow f'(A)=Id$. А на дополнении функция просто нулевая.

[Otta]

vlad_light в сообщении #743002 писал(а):

Цитата:

Вы хотите производную всюду посчитать?

На соотв. подмножествах она будет равна $Id$ и $O$, верно?

Для каждого вырожденного оператора $A_0$ $f$, как правило, не является непрерывной в этой точке. Что уж о производной.

Дело в том, что свойство оператора быть вырожденным неустойчиво относительно малых возмущений, и если Вы его немножко пошевелите (добавите невырожденный, например, пусть и малый по норме), то он запросто может оказаться невырожденным, что чаще всего и сделает.

[vlad_light]

Так она ж вроде тождественно равна нулю по определению?

[Otta]

vlad_light в сообщении #743008 писал(а):

Так она ж вроде тождественно равна нулю по определению?

Функция Дирихле тоже тождественно равна нулю во всех иррациональных точках.

[vlad_light]

Тогда согласен... Я думал, что ф-ция Дирихле непрерывна на мн. иррациональных чисел...
Так, а в терминах интегралов можно придумать?

[Otta]

vlad_light в сообщении #743011 писал(а):

Так, а в терминах интегралов можно придумать?

Ну кто знает, не зная, что Вам надо. ))

[vlad_light]

Действительно Я лучше подумаю, потом что-то напишу

[vlad_light]

Кстати, перечитал ещё раз определение непрерывности:

Цитата:

Пусть $D\subset \mathbb R$ и $f:D\to\mathbb R$. Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$, если $\forall \varepsilon >0\exists \delta >0\forall x\in D:|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$. Функция называется непрерывной на множестве $D$, если она непрерывна в каждой точке $D$.

Положим $D:=\mathbb R\setminus\mathbb Q,f:D\to \mathbb R,x\mapsto \mathbf 1_{\mathbb Q}(x)$. Тогда $\forall \varepsilon >0\forall x,y\in D:|f(x)-f(y)|=0<\varepsilon$ вне зависимости от $\delta$. Где я не прав?

[Otta]

Это разные вещи и разные функции.
Функция Дирихле (функция раз), действующая на всей вещественной прямой, разрывна в каждой точке области определения. В том числе и иррациональной.
Сужение функции Дирихле на множество иррациональных чисел (функция два) тождественно нулевая функция и действительно непрерывна на своей области определения, то есть в каждой иррациональной точке.
Так же и Ваша функция $f$ (я читаю внимательно ее определение) из $L(E)$ в себя - не будет непрерывной в точке $A_0\notin GL(E)$ (за исключением, по всей видимости, $A_0=0$).
Но если бы Вы задавали эту функцию сразу на множестве вырожденных операторов (или взяли ее сужение), то она была бы и будет тождественно нулевой и непрерывной в каждой точке.

Но это другая функция.