2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Производная
Сообщение03.07.2013, 20:34 
Пусть $L(E)$ - множество всех линейных непрерывных операторов на $E$ (конечномерное векторное пространство). Определим функцию $f:L(E)\to L(E)$ такую, что $$
f(A)=\begin{cases}
 A,&\text{если $A\in GL(E)$,}\\
 0,&\text{иначе;}
\end{cases}
$$
Я хочу найти что-то типа $f'(A_0)$. Можно ли это записать, как $f(A_0+H)-f(A_0)=f'(A_0)H, H\to 0$? Если да, то как найти производную? Где можно на эту тему что-то почитать?

 
 
 
 Re: Производная
Сообщение03.07.2013, 21:06 
Я не разбираюсь, но скажу.
Предполагаю, что $\operatorname{GL}(E)$ - это группа невырожденных линейных операторов над $E$.
Чтобы написать
vlad_light в сообщении #742965 писал(а):
$H\to 0$?
Надо ввести на множестве матриц норму, в крайнем случае - топологию. Они есть, но не очень очевидные. Вот надо искать что-то нормы матриц и там читать. Потом еще удобную норму выбрать.

(Оффтоп)

Где-то там же должно быть что-нибудь про $\ln A$ и $\exp A$.


Вот такую тему про нормы матрицы: topic41046.html

 
 
 
 Re: Производная
Сообщение03.07.2013, 21:35 
Цитата:
группа невырожденных линейных операторов

да, она :-)
Цитата:
Надо ввести на множестве матриц норму

Такая норма сойдёт $\|A\|=\sup\limits _{\|x\|=1}\|Ax\|$? Сходимость будем понимать, например, сильную, т.е. $H\to O\Leftrightarrow \|H - O\|\to 0$.
А про $\exp A$ -- понятно, просто в ряд раскладывается.

 
 
 
 Re: Производная
Сообщение03.07.2013, 22:08 
vlad_light
Но Ваша функция даже непрерывна не везде. Вы хотите производную всюду посчитать?

 
 
 
 Re: Производная
Сообщение03.07.2013, 22:15 
А в смысле интегралов можно производную придумать?
Цитата:
Вы хотите производную всюду посчитать?

На соотв. подмножествах она будет равна $Id$ и $O$, верно?

 
 
 
 Re: Производная
Сообщение03.07.2013, 22:17 
Енто как?

 
 
 
 Re: Производная
Сообщение03.07.2013, 22:20 
Типа, для $A\in GL(E): f(A)=A\Rightarrow f'(A)=Id$. А на дополнении функция просто нулевая.

 
 
 
 Re: Производная
Сообщение03.07.2013, 22:20 
vlad_light в сообщении #743002 писал(а):
Цитата:
Вы хотите производную всюду посчитать?

На соотв. подмножествах она будет равна $Id$ и $O$, верно?

Для каждого вырожденного оператора $A_0$ $f$, как правило, не является непрерывной в этой точке. Что уж о производной.

Дело в том, что свойство оператора быть вырожденным неустойчиво относительно малых возмущений, и если Вы его немножко пошевелите (добавите невырожденный, например, пусть и малый по норме), то он запросто может оказаться невырожденным, что чаще всего и сделает.

 
 
 
 Re: Производная
Сообщение03.07.2013, 22:22 
Так она ж вроде тождественно равна нулю по определению?

 
 
 
 Re: Производная
Сообщение03.07.2013, 22:25 
vlad_light в сообщении #743008 писал(а):
Так она ж вроде тождественно равна нулю по определению?

Функция Дирихле тоже тождественно равна нулю во всех иррациональных точках.

 
 
 
 Re: Производная
Сообщение03.07.2013, 22:28 
Тогда согласен... Я думал, что ф-ция Дирихле непрерывна на мн. иррациональных чисел...
Так, а в терминах интегралов можно придумать?

 
 
 
 Re: Производная
Сообщение03.07.2013, 22:31 
vlad_light в сообщении #743011 писал(а):
Так, а в терминах интегралов можно придумать?

Ну кто знает, не зная, что Вам надо. ))

 
 
 
 Re: Производная
Сообщение03.07.2013, 22:36 
Действительно :D Я лучше подумаю, потом что-то напишу :oops:

 
 
 
 Re: Производная
Сообщение04.07.2013, 11:58 
Кстати, перечитал ещё раз определение непрерывности:
Цитата:
Пусть $D\subset \mathbb R$ и $f:D\to\mathbb R$. Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$, если $\forall \varepsilon >0\exists \delta >0\forall x\in D:|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$. Функция называется непрерывной на множестве $D$, если она непрерывна в каждой точке $D$.
Положим $D:=\mathbb R\setminus\mathbb Q,f:D\to \mathbb R,x\mapsto \mathbf 1_{\mathbb Q}(x)$. Тогда $\forall \varepsilon >0\forall x,y\in D:|f(x)-f(y)|=0<\varepsilon$ вне зависимости от $\delta$. Где я не прав?

 
 
 
 Re: Производная
Сообщение04.07.2013, 14:35 
Это разные вещи и разные функции.
Функция Дирихле (функция раз), действующая на всей вещественной прямой, разрывна в каждой точке области определения. В том числе и иррациональной.
Сужение функции Дирихле на множество иррациональных чисел (функция два) тождественно нулевая функция и действительно непрерывна на своей области определения, то есть в каждой иррациональной точке.
Так же и Ваша функция $f$ (я читаю внимательно ее определение) из $L(E)$ в себя - не будет непрерывной в точке $A_0\notin GL(E)$ (за исключением, по всей видимости, $A_0=0$).
Но если бы Вы задавали эту функцию сразу на множестве вырожденных операторов (или взяли ее сужение), то она была бы и будет тождественно нулевой и непрерывной в каждой точке.

Но это другая функция.

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group