Неустойчивое равновесие в школьной задачке.

[larkova_alina]

Задача из пятитомника Мякишева (10-11 классы).
На оси центробежной машины закреплена нить длиной $l=12,5$ см, на конце которой находится маленький шарик. Найдите угол $\alpha$ между нитью и вертикалью, если машина вращается с частотой $\nu_1=1$ Гц ($\nu_2=2$ Гц).
Ответ: Уравнение движения имеет два решения: $\alpha_1=0$ и $\alpha_2=\arccos \frac{g}{\omega^2l}$, где $\omega=2\pi\nu$. Во втором случае имеют место оба решения: $\alpha_1=0$ (при этом шарик находится в положении неустойчивого равновесия) и $\alpha_2=60^o$. В первом случае имеет место только решение $\alpha_1=0$.

Мое решение:
Уравнение движения: $\vec{N}+m\vec{g}=m\vec{a}_n \Leftrightarrow $ $ \begin{cases} N\sin\alpha=m\omega^2l\sin \alpha\\ N\cos\alpha-mg=0 \end{cases} \Leftrightarrow $ $\begin{bmatrix} \begin{cases} \alpha=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\\ N=mg \end{cases}\\\\ \begin{cases} N=m\omega^2l\\ \alpha=\arccos\frac{g}{\omega^2l} \end{cases} \end{.}$.
Очевидно, что в первом случае имеет место одно решение, а во втором — оба. Здесь мне все ясно.
Но в ответе еще написано о неустойчивом равновесии. То есть, предполагается, что учащийся 10 класса сам должен это установить. Но мы такого никогда не делали, да и в самом Мякишеве (профильный уровень) ничего не говорится про неустойчивые равновесия и о том как это показывать. Хотелось бы что бы кто-нибудь мне показал на примере данной задачки как подробно показать школьными методами неустойчивость равновесия $\alpha=0$ при достаточно большой частоте вращения центробежной машины. Меня интересует как оформлять данные выкладки. Заранее спасибо.

[Munin]

Я думаю, надо посмотреть, куда будет направлена возвращающая сила при малом отклонении от положения равновесия. Поскольку у нас тут вращающаяся система, а центробежной силы мы не проходим, то вместо этого надо сравнивать центростремительное ускорение с тем, которое необходимо для движения по окружности. Если центростремительное ускорение больше - тело приближается к оси вращения, если меньше - удаляется (при начальной скорости точно по касательной к окружности).

[larkova_alina]

Пусть, $\alpha '$ - это малый угол на который отклонился маятник от вертикали.
Тогда центростремительное ускорение, которое необходимо для движения по окружности равно $a_n=\omega^2l\sin\alpha '$.
А как найти фактическое ускорение шарика?

[ewert]

larkova_alina в сообщении #742333 писал(а):

На оси центробежной машины закреплена нить длиной $l=12,5$ см, на конце которой находится маленький шарик. Найдите угол $\alpha$ между нитью и вертикалью,

Мне вот уже это непонятно. Я уж не говорю о том, что не имею ни малейшего понятия о том, что такое "центробежная машина". И даже почему именно нить -- бог с ней, с нитью. Хуже другое: в какой именно момент угол-то?...

[Munin]

По закону Ньютона, вычисляя $\vec{N}+m\vec{g}.$

А, вижу проблему. Не хватает уравнения, задающего направление вектора ускорения.

Можно сказать, что при малом отклонении от положения равновесия траектория на начальном участке будет мало отличаться от движения по равновесной окружности, то есть будет лежать в плоскости, почти горизонтальной. А в какой плоскости лежит траектория, в той лежит и вектор ускорения. Поэтому, можно приближённо (для малых отклонений от положения равновесия) считать, что вектор ускорения горизонтален, как и в равновесном случае.

[larkova_alina]

ewert, видимо имеются в виду те углы, при которых сам этот угол меняться не будет.

[Munin]

ewert в сообщении #742411 писал(а):

Я уж не говорю о том, что не имею ни малейшего понятия о том, что такое "центробежная машина".

(Оффтоп)

Не имеете - не лезьте. Чего вам в разделе "Физика" неймётся?

"Центробежная машина" - это стандартная лабораторная работа, выглядит вот так:

ewert в сообщении #742411 писал(а):

Хуже другое: в какой именно момент угол-то?...

Безразлично в какой, подразумевается установившееся движение.

(Оффтоп)

Если вы не в курсе о том, что подразумевается, повторяю: не лезьте!

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #742418 писал(а):

"Центробежная машина" - это стандартная лабораторная работа, выглядит вот так:

Таких машин не бывает. Даже и никогда не бывало. Даже на лабах. Шарику на нитке в данной конструкции абсолютно плевать, к чему он там подвешен.

Munin в сообщении #742418 писал(а):

подразумевается установившееся движение.

Оно не может подразумеваться, т.к. не подразумевается никакой диссипации.

Даже физикам иногда полезнее жевать, чем говорить. Ибо процесс жевания допускает возможность немножко подумать; процесс же говорения -- ни разу.

[larkova_alina]

ewert, знаете, меня тоже не покидает стойкое чувство того, что шарик вообще должен висеть отвесно и неподвижно.

[ewert]

(Оффтоп)

larkova_alina в сообщении #742437 писал(а):

шарик вообще должен висеть отвесно и неподвижно.

Ну почему же. Он может даже и крутиться по более-менее эллипсу (в первом приближении). Но вот чего тут нет ни разу -- так это машины, пусть даже захудалой.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #742429 писал(а):

аких машин не бывает. Даже и никогда не бывало. Даже на лабах. Шарику на нитке в данной конструкции абсолютно плевать, к чему он там подвешен.

Очень жаль, что вы на лабах никогда не были. Даже в школе. Идеального положения точки подвеса на оси добиться невозможно (особенно при такой шаткой конструкции), и отклонения всегда будут заставлять шарик вращаться. Разумеется, за это отвечают более сложные эффекты, которыми школьников не "грузят" (как минимум, резонанс). Но ваше топорное вмешательство в тему с такими замечаниями совершенно не оправдано.

ewert в сообщении #742429 писал(а):

Оно не может подразумеваться, т.к. не подразумевается никакой диссипации.

Подразумевается, хотя бы в виде трения о воздух. Прекращайте свою диверсию. Не мешайте людям решать учебные задачи.

ewert в сообщении #742429 писал(а):

Даже физикам иногда полезнее жевать, чем говорить.

В данном случае, это полезнее вам.

larkova_alina в сообщении #742437 писал(а):

ewert, знаете, меня тоже не покидает стойкое чувство того, что шарик вообще должен висеть отвесно и неподвижно.

Отвлекитесь от математики и вспомните физику. В физике не бывает идеальных точек, точного совпадения и прочих идеальностей. В физике нить закручивается, шарик болтается, и т. д. и т. п.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #742418 писал(а):

Центробежная машина" - это стандартная лабораторная работа, выглядит вот так:

как видно из рисунка точка подвеса маятника находится на оси вращения платформы. Т.е. эта точка неподвижна. Это просто сферический маятник, вращение платформы на него влияния не оказывает. Напрасно спрашивать этого Munin-а причем здесь вращающаяся платформа.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #742677 писал(а):

Т.е. эта точка неподвижна.

Для математиков да, для физиков - нет.

Oleg Zubelevich в сообщении #742677 писал(а):

Напрасно спрашивать этого Munin-а причем здесь вращающаяся платформа.

Напрасно ждать от формалистических долдонов понимания, в чём состоит физическая задача.

-- 02.07.2013 22:55:33 --

(Оффтоп)

P. S. Замечу, в разделе есть физики, только и мечтающие, чтобы чем-нибудь посадить меня в лужу. Но они здесь не появились. А два математика - тут как тут.

[Утундрий]

larkova_alina в сообщении #742333 писал(а):

...во втором — оба. Здесь мне все ясно.
Но в ответе еще написано о неустойчивом равновесии. То есть, предполагается, что учащийся 10 класса сам должен это установить. Но мы такого никогда не делали, да и в самом Мякишеве (профильный уровень) ничего не говорится про неустойчивые равновесия и о том как это показывать. Хотелось бы что бы кто-нибудь мне показал на примере данной задачки как подробно показать школьными методами неустойчивость равновесия $\alpha=0$ при достаточно большой частоте вращения центробежной машины. Меня интересует как оформлять данные выкладки. Заранее спасибо.

Просто сравните энергии вариантов. Чья меньше, тот и прав устойчив.

[larkova_alina]

Утундрий, может оказать так, что два эти состояния есть локальные минимумы потенциальной энергии.