2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 
Сообщение30.07.2007, 15:39 
Заблокирован


26/03/07

2412
Котофеич
Цитата:
Цитата:
откуда получено выражение со ступенькой

$$h_{\delta }=h(r)\Theta (r-a-\delta )$$ ?


Evil or Very Mad Под горизонтом тоже есть кусок метрики. Регуляризация строится таким образом чтобы в пределе когда $$\delta \to0 $$ сумма обоих кусков давала всего Шварцшильда.


В окрестности горизонта мы имеем такую метрику (такие метрики) :

При $r\to a_{+}$ :

$$ds^2=(1-\frac{a}{r})dt^2-\frac{dr^2}{(1-\frac{a}{r})}-r^2d\sigma ^2$$, $r\geqslant a$.

При $r\to a_{-}$ :

$$ds^2=\frac{dt^2}{(\frac{a}{t}-1)}-(\frac{a}{t}-1)dr^2-t^2d\sigma ^2$$, $0\leqslant t\leqslant a$.

Учитывает ли даная регуляризация это обстоятельство? Ведь, согласно ей, вроде бы получается, что при $0<r<a+\delta $ обобщенная функция $h_{\delta }(r)$ равна нулю?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.07.2007, 15:47 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
:evil: Под горизонтом другая ступенька:
$$h_{\delta }=h(r)[1-\Theta (r-a+\delta )]$$.
Потом под горизонтом нет необходимости менять местами пространство и время. Так конечно можно но это уже не будет Шварцшильдом. Это будет ЧД Муму-Шварцнегера или ЧД Новикова.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.07.2007, 16:05 
Заблокирован


26/03/07

2412
Котофеич
Цитата:
Evil or Very Mad Под горизонтом другая ступенька:
$$h_{\delta }=h(r)\Theta (r-a+\delta )$$.
Потом под горизонтом нет необходимости менять местами пространство и время. Так конечно можно но это уже не будет Шварцшильдом. Это будет ЧД Муму-Шварцнегера или ЧД Новикова.

Нет такая необходимость замены $t\to r$,$r\to t$ обязательно появляется, если требовать сохранение сигнатуры, скажем, $+---$ (или $-+++)$ : при $r>a$ сигнатура меняется на $-+--$ (либо на $+-++$). Поэтому, если она все же должна сохраняться, координаты $t,r$ должны меняться местами, т.е. под сферой Шварцшильда будет нестационарный, живущий конечное время однородный в пространстве мир.

Как быть в таком случае?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.07.2007, 16:14 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
:evil: Это фантазии Новикова. У настоящего Шварцшильда сигнатура на горизонте поменяется.
Ну если Вам это очень нужно то можно иметь и второй вариант. Посчмтайте все для этого случая, а я буду наблюдать из норы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.07.2007, 16:26 
Заблокирован


26/03/07

2412
Котофеич
Цитата:
Evil or Very Mad Это фантазии Новикова. У настоящего Шварцшильда сигнатура на горизонте поменяется.
Ну если Вам это очень нужно то можно иметь и второй вариант.

А если всё же не менять сигнатуру, то, может, сингулярность исчезнет с горизонта?

Потом, что для нас очень существенно : исследование метрики внутреннего мира электрического заряда показывает, что именно при сохранении сигнатуры пространство-время в несопутствующих системах отсчета разбивается на несвязанные причинно ячейки (R- и Т- области Новикова). Т.е. становится дискретным. А это неплохо, не так ли.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.07.2007, 16:43 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
:evil: Не надейтесь. Можете посчитать если не верите.Сингулярность никуда не денется. Для Ваших целей можно забить Леметра. Ведь сингулярность Шварцшильда его не касается. Леметр это тоже неплохая черная дыра.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.07.2007, 15:42 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
Котофеич писал(а):
:evil: Не надейтесь. Можете посчитать если не верите.Сингулярность никуда не денется. Для Ваших целей можно забить Леметра. Ведь сингулярность Шварцшильда его не касается. Леметр это тоже неплохая черная дыра.

:evil: Не следует думать что сингулярность на горизонте есть просто следствие негладкой
регуляризации. Можно пользоваться и гладкой регуляризацией, например такой
$$h^{-1}_{\delta }(r)=\frac{r}{r-a+i \delta }$$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2007, 07:01 
Заблокирован


26/03/07

2412
Котофеич
Цитата:
Evil or Very Mad Не следует думать что сингулярность на горизонте есть просто следствие негладкой регуляризации.

Как раз такие мысли и приходят : ей-ей, непонятно, зачем в малой окрестности горизонта потребовалась ступенчатая функция :
при $r>a$ : $$h_{\delta}=\frac{a}{r}\Theta (r-a-\delta )$$,
при $r<a$ : $$h_{\delta}=\frac{a}{r}\Theta (r-a+\delta )$$ ***.
Да, $r=a$ - граница между R- и T- областями : на ней $g_{00}=g_{11}^{-1}=0$ и при переходе меняет знак. Да, в координатах кривизн в покоящейся относительно поля системе отсчета граница непроницаема для света (за угол издали не заглянешь). Но на ней сферические координаты не вырождены : $det g_{\mu \nu }\neq 0$. И ни один из инвариантов поля не рвется.

***Кстати, извините, если уж исключать точку $r=a$ слева, при $r<a$, то, может, надо использовать ступеньку $\Theta (a-\delta -r)$, т.е. поменять знак аргумента $\Theta $-функции на противоположный?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2007, 12:33 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
pc20b писал(а):
Котофеич
Цитата:
Evil or Very Mad Не следует думать что сингулярность на горизонте есть просто следствие негладкой регуляризации.

Как раз такие мысли и приходят : ей-ей, непонятно, зачем в малой окрестности горизонта потребовалась ступенчатая функция :
при $r>a$ : $$h_{\delta}=\frac{a}{r}\Theta (r-a-\delta )$$,
при $r<a$ : $$h_{\delta}=\frac{a}{r}\Theta (r-a+\delta )$$ ***.

:evil: Во первых я писал
при $r<a$ : $$h_{\delta}=\frac{a}{r}[1-\Theta (r-a+\delta )]$$.
:evil: Во вторых возьмем для начала обычного "глобального" Шварцшильда
$$ds^2=(1-\frac{a}{r})dt^2-\frac{dr^2}{(1-\frac{a}{r})}-r^2d\sigma ^2$$
и перепишем его в виде
$$ds^2=h(r)dt^2-{dr^2}{h^{-1}(r)}-r^2d\sigma ^2$$
Это выражение полностью лишено малейшего математического смысла как глобальная метрика на многообразии, потомуй что на горизонте, проклятая функция $$h^{-1}(r)$$ принимает бесконечное значение. :!: Для того чтобы предать строгий математический смысл такой метрике, т.е. глобализовать ее в каком либо строгом математическом смысле, эту функцию можно заменить обобщенной функцией $$h^{-1}(r)=\frac{r}{r-a+i 0 }$$. Только после этого можно говорить в серьез, что Шварцшильд это некоторое обобщенное решение уравнений гравполя с неким сингулярным источником.
Различные типы регуляризаций, это только чисто техническая сторона проблемы.
Гладкую регуляризацию $$h^{-1}_{\delta }(r)=\frac{r}{r-a+i \delta }$$.
допускает только компонента метрического тензора $$h^{-1}(r)=\frac{r}{r-a+i 0 }$$.
У Шварцшильда есть одна неприятная особенность - Шварцшильд это на самом деле не риманов объект :!:
Из за того что на горизонте метрический тензор вырождается, связность Леви-Чевитта на горизонте не определена :!: В любом случае компонента $$h(r)=\frac{r-a}{r}$$ должна быть регуляризована таким образом чтобы у нее исчез ноль на горизонте. Так что для этой компоненты регуляризация вводится всегда с одной целью-сделать связность конечной во всех точках. Так что при снятии непрерывной регуляризации, скачок восстановится, а вместе с ним появится и дельта-функция. Поэтому сразу можно взять разрвывную регуляризацию.

pc20b писал(а):

Да, $r=a$ - граница между R- и T- областями : на ней $g_{00}=g_{11}^{-1}=0$ и при переходе меняет знак. Да, в координатах кривизн в покоящейся относительно поля системе отсчета граница непроницаема для света (за угол издали не заглянешь). Но на ней сферические координаты не вырождены : $det g_{\mu \nu }\neq 0$. И ни один из инвариантов поля не рвется.

:evil: Это не имеет значения, потому что там проблема со связностью Леви-чевитта, о которой я говорил выше.
pc20b писал(а):

***Кстати, извините, если уж исключать точку $r=a$ слева, при $r<a$, то, может, надо использовать ступеньку $\Theta (a-\delta -r)$, т.е. поменять знак аргумента $\Theta $-функции на противоположный?

:evil: можно и так.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2007, 13:29 
Заблокирован


26/03/07

2412
Котофеич
Цитата:
У Шварцшильда есть одна неприятная особенность - Шварцшильд это на самом деле не риманов объект Exclamation
Из за того что на горизонте метрический тензор вырождается, связность Леви-Чевитта на горизонте не определена

Да, связность вырождена, её как бы нет : никаким причинно допустимым путем не проникнешь в данной системе отсчета (Шварцшильда) за одноименный радиус. Ну и что? Казалось бы, нормальный, честный эффект. Если хочешь узнать, что "там, за горизонтом", слетай туда (в конгруенции наблюдателей. скажем, Леметра). Только на особенность (которой, вообще-то говоря, как показано в случае, когда масса покоя $m_0$ имеет ещё и электрический заряд $e$, на самом деле нет, а есть, очевидно, горловина, на которой все инварианты конечны) падать не надо.

Да, геометрия, строго говоря, не риманова, в смысле взаимной однозначности. Но ведь это тоже можно считать физически оправданным. Или не так?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2007, 13:46 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
:evil: В конгруэнции Леметра, т.е. падая на сингулярного Шварцшильда Вы никуда дальше горизонта не слетаете :!:
:evil: Связность не может вырождаться. От римановой геометрии можно отказаться, а почему бы и нет. Но тогда Вы все равно должны будете ввести другую невырожденную и разумеется уже не риманову связность. На этом пути возникает симбиоз обычного и сингулярного Шварцшильда. Ну грубо говоря горизонт под воздействием малых внешних возмущений то открыт то закрыт :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.08.2007, 14:44 
Заблокирован


26/03/07

2412
Котофеич
Цитата:
Evil or Very Mad В конгруэнции Леметра, т.е. падая на сингулярного Шварцшильда Вы никуда дальше горизонта не слетаете Exclamation

Это как раз и самое любопытное. В классике - долетим до точки, $r=0$, а если, выходит, находиться в классе обобщенных функций, то можем не свалиться в дырочку. Обязательно проделаем это взаправду. Пока можно вопрос : зависит ли результат от способа регуляризации.

P.S. ОТО в принципе не связана связностью Леви-Чивита : метрика не обязательно общековариантно постоянна.

P.P.S. Имелось в виду, что в системе отсчета Шварцшильда эти две области $r>a$ и $r<a$ не связаны : не существует непространственно подобной кривой, которая бы соединила две какие-нибудь точки, одна из котороых принадлежит R-области, другая Т-области.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.08.2007, 14:07 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
pc20b писал(а):
Котофеич
Цитата:
Evil or Very Mad В конгруэнции Леметра, т.е. падая на сингулярного Шварцшильда Вы никуда дальше горизонта не слетаете Exclamation

Это как раз и самое любопытное. В классике - долетим до точки, $r=0$, а если, выходит, находиться в классе обобщенных функций, то можем не свалиться в дырочку. Обязательно проделаем это взаправду. Пока можно вопрос : зависит ли результат от способа регуляризации..

:evil: Практически не зависит. Имеется два максимум три типа таких обобщенных решений, которые сильно отличаюся только в точке r=0.
pc20b писал(а):
P.S. ОТО в принципе не связана связностью Леви-Чивита : метрика не обязательно общековариантно постоянна.

P.P.S. Имелось в виду, что в системе отсчета Шварцшильда эти две области $r>a$ и $r<a$ не связаны : не существует непространственно подобной кривой, которая бы соединила две какие-нибудь точки, одна из котороых принадлежит R-области, другая Т-области.

:evil: Связность должна быть согласована с метрикой в достаточно сильном смысле, иначе
класс обобщенных решений может быть очень широким. На наличие сингулярности горизонта это принципиально не влияет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.08.2007, 10:35 
Заблокирован


26/03/07

2412
Котофеич
Цитата:
класс обобщенных решений может быть очень широким. На наличие сингулярности горизонта это принципиально не влияет.

Извините за непонятливость, но пока с самого начала непонятна полностью процедура обнаружения сингулярности на горизонте :
Сингулярность $r=0$ обусловлена уже самой центральной симметрией в метризованном пространстве : $$_{,}\theta =0, g(\theta +2\pi )=g(\theta ); _{,}\varphi =0, g(\varphi +2\pi )=g(\varphi )$$.
Связность в этой же точке тоже не определена по этой же причине вырождения сферической системы координат в ней уже в плоском пространстве : $$\Gamma ^2_{21}|_{r\to 0}\to \infty $$. Далее берется не решение сингулярных уравнений Эйнштейна

$$G_{\mu \nu }=\kappa m_0c^2\delta _{\mu }^0\delta _{\nu }^0\delta ^{(3)}(x)/4\pi r^2$$

в классе обобщенных функций, что было бы, казалось бы, естественно, а просто метрика Шварцшильда, как решение несингулярного уравнения

$$R_{\mu \nu }=0$$,

подвергается, ввиду наличия особенностей в ней в точках $r=0$ (сингулярность) и $r=a$ (неопределенность как в метрике, $$g_{11}|_{r\to a}\to -\infty $$, так и в связности, $$\Gamma ^1_{11}|_{r\to a}\to -\infty $$), "регуляризации" (вырезанию окрестностей : $\epsilon $ - окрестности точки $r=0$ и $\delta $ - окрестности точки $r=a$) с помощью обобщенных функций Хевисайда (ступенек) и аппроксимации стремящихся к бесконечности величин обычными функциями), затем вычислению "по новой" инварианта Кречмана, - и вот уже после этого оказывается, что, во-первых, характер сингулярности $r=0$ изменяется (с этим можно интуитивно согласиться), а также (с чем сходу согласиться тяжелее) появляется новая сингулярность уже на горизонте Шварцшильда (новый сингулярный источник поля при $r=a$).

Нельзя ли как-то кратко прокомментировать обоснованность данной процедуры и отсутствие попытки найти прямое решение сингулярного уравнения (аналог функции Грина в линейных задачах).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.08.2007, 13:59 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
pc20b писал(а):
Котофеич
Цитата:
класс обобщенных решений может быть очень широким. На наличие сингулярности горизонта это принципиально не влияет.

Извините за непонятливость, но пока с самого начала непонятна полностью процедура обнаружения сингулярности на горизонте :
Сингулярность $r=0$ обусловлена уже самой центральной симметрией в метризованном пространстве : $$_{,}\theta =0, g(\theta +2\pi )=g(\theta ); _{,}\varphi =0, g(\varphi +2\pi )=g(\varphi )$$.
Связность в этой же точке тоже не определена по этой же причине вырождения сферической системы координат в ней уже в плоском пространстве : $$\Gamma ^2_{21}|_{r\to 0}\to \infty $$.

:evil: Все дело в том что не существует в природе никакой метрики Шварцшильда, а существует обобщенная квадратичная форма
$$ds^2=(1-\frac{a}{r})dt^2-\frac{dr^2}{(1-\frac{a}{r}+0i)}-r^2d\sigma ^2$$
Такие формы в геометрическом аспекте изучает сравнительно молодая область математики т.н. дистрибутивная дифференциальная (риманова геометрия). Проблематичность такой дифференциальной формы, связана не с тем обстояоельством, что у нее один из коэффициентов является сингулярной обобщенной функцией
$$\frac{1}{(1-\frac{a}{r}+0i)},$$
а в основном с тем, что первый член
$$(1-\frac{a}{r})dt^2$$ у этой формы вырождается в точке r=a :!: Регуляризация нужна в первую очередь чтобы получить корректную связность Леви-Чевитта.
:evil: Как я понял Вас смущает разрывная регуляризация :?: Потом я покажу что и при гладкой регуляризации ничего не меняется.
pc20b писал(а):

Далее берется не решение сингулярных уравнений Эйнштейна

$$G_{\mu \nu }=\kappa m_0c^2\delta _{\mu }^0\delta _{\nu }^0\delta ^{(3)}(x)/4\pi r^2+...$$

в классе обобщенных функций, что было бы, казалось бы, естественно, а просто метрика Шварцшильда, как решение несингулярного уравнения

$$R_{\mu \nu }=0$$,

:evil: Не совсем так. Берется метрика Шварцшильда ( для примеру под горизонтом )
подвергается, ввиду наличия особенности в точке $r=0$ регуляризации (можно и гладкой без вырезаня окрестности точки $r=0$). Потом доказывается, что такая регуляризованная метрика, является решением сингулярных уравнений
$$G_{\mu \nu }=\kappa m_0c^2\delta _{\mu }^0\delta _{\nu }^0\delta ^{(3)}(x)/4\pi r^2+...$$
в смысле обобщенных функций. Другими словами пишите регуляризованные уравнения
$$G^{\varepsilon } _{\mu \nu }=\kappa m_0c^2\delta _{\mu }^0\delta _{\nu }^0\delta_{\varepsilon} ^{(3)}(x)/4\pi (r+\varepsilon)^2+O(\varepsilon})+...$$ и в этом уравнении переходите к пределу в смысле обобщенных функций.
pc20b писал(а):

подвергается, ввиду наличия особенностей в ней в точках $r=0$ (сингулярность) и $r=a$ (неопределенность как в метрике, $$g_{11}|_{r\to a}\to -\infty $$, так и в связности, $$\Gamma ^1_{11}|_{r\to a}\to -\infty $$), "регуляризации" (вырезанию окрестностей : $\epsilon $ - окрестности точки $r=0$ и $\delta $ - окрестности точки $r=a$) с помощью обобщенных функций Хевисайда (ступенек) и аппроксимации стремящихся к бесконечности величин обычными функциями), затем вычислению "по новой" инварианта Кречмана, - и вот уже после этого оказывается, что, во-первых, характер сингулярности $r=0$ изменяется (с этим можно интуитивно согласиться), а также (с чем сходу согласиться тяжелее) появляется новая сингулярность уже на горизонте Шварцшильда (новый сингулярный источник поля при $r=a$).

Нельзя ли как-то кратко прокомментировать обоснованность данной процедуры и отсутствие попытки найти прямое решение сингулярного уравнения (аналог функции Грина в линейных задачах).

:evil: С сингулярностью горизонта, "трудно" согласиться по той причине что в учебниках долго писали что она фиктивная. На самом деле никто никогда не видел чтобы что то там упало под горизонт. Потом дыры с проходимым горизонтом как известно вызывают массу проблем. Несовместимость ОТО и КМ есть не какая то научная проблема, а следствие ошибочных представлений о структуре ЧД.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 120 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group