В ОТО нет уже обратимого времени

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Цитата:

откуда получено выражение со ступенькой

$$h_{\delta }=h(r)\Theta (r-a-\delta )$$

?

Evil or Very Mad Под горизонтом тоже есть кусок метрики. Регуляризация строится таким образом чтобы в пределе когда

$$\delta \to0 $$

сумма обоих кусков давала всего Шварцшильда.

В окрестности горизонта мы имеем такую метрику (такие метрики) :

При $r\to a_{+}$ :

$$ds^2=(1-\frac{a}{r})dt^2-\frac{dr^2}{(1-\frac{a}{r})}-r^2d\sigma ^2$$

, $r\geqslant a$.

При $r\to a_{-}$ :

$$ds^2=\frac{dt^2}{(\frac{a}{t}-1)}-(\frac{a}{t}-1)dr^2-t^2d\sigma ^2$$

, $0\leqslant t\leqslant a$.

Учитывает ли даная регуляризация это обстоятельство? Ведь, согласно ей, вроде бы получается, что при $0<r<a+\delta $ обобщенная функция $h_{\delta }(r)$ равна нулю?

[Котофеич]

Под горизонтом другая ступенька:

$$h_{\delta }=h(r)[1-\Theta (r-a+\delta )]$$

.
Потом под горизонтом нет необходимости менять местами пространство и время. Так конечно можно но это уже не будет Шварцшильдом. Это будет ЧД Муму-Шварцнегера или ЧД Новикова.

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Evil or Very Mad Под горизонтом другая ступенька:

$$h_{\delta }=h(r)\Theta (r-a+\delta )$$

.
Потом под горизонтом нет необходимости менять местами пространство и время. Так конечно можно но это уже не будет Шварцшильдом. Это будет ЧД Муму-Шварцнегера или ЧД Новикова.

Нет такая необходимость замены $t\to r$,$r\to t$ обязательно появляется, если требовать сохранение сигнатуры, скажем, $+---$ (или $-+++)$ : при $r>a$ сигнатура меняется на $-+--$ (либо на $+-++$). Поэтому, если она все же должна сохраняться, координаты $t,r$ должны меняться местами, т.е. под сферой Шварцшильда будет нестационарный, живущий конечное время однородный в пространстве мир.

Как быть в таком случае?

[Котофеич]

Это фантазии Новикова. У настоящего Шварцшильда сигнатура на горизонте поменяется.
Ну если Вам это очень нужно то можно иметь и второй вариант. Посчмтайте все для этого случая, а я буду наблюдать из норы.

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Evil or Very Mad Это фантазии Новикова. У настоящего Шварцшильда сигнатура на горизонте поменяется.
Ну если Вам это очень нужно то можно иметь и второй вариант.

А если всё же не менять сигнатуру, то, может, сингулярность исчезнет с горизонта?

Потом, что для нас очень существенно : исследование метрики внутреннего мира электрического заряда показывает, что именно при сохранении сигнатуры пространство-время в несопутствующих системах отсчета разбивается на несвязанные причинно ячейки (R- и Т- области Новикова). Т.е. становится дискретным. А это неплохо, не так ли.

[Котофеич]

Не надейтесь. Можете посчитать если не верите.Сингулярность никуда не денется. Для Ваших целей можно забить Леметра. Ведь сингулярность Шварцшильда его не касается. Леметр это тоже неплохая черная дыра.

[Котофеич]

Котофеич писал(а):

:evil: Не надейтесь. Можете посчитать если не верите.Сингулярность никуда не денется. Для Ваших целей можно забить Леметра. Ведь сингулярность Шварцшильда его не касается. Леметр это тоже неплохая черная дыра.

Не следует думать что сингулярность на горизонте есть просто следствие негладкой
регуляризации. Можно пользоваться и гладкой регуляризацией, например такой

$$h^{-1}_{\delta }(r)=\frac{r}{r-a+i \delta }$$

.

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Evil or Very Mad Не следует думать что сингулярность на горизонте есть просто следствие негладкой регуляризации.

Как раз такие мысли и приходят : ей-ей, непонятно, зачем в малой окрестности горизонта потребовалась ступенчатая функция :
при $r>a$ :

$$h_{\delta}=\frac{a}{r}\Theta (r-a-\delta )$$

,
при $r<a$ :

$$h_{\delta}=\frac{a}{r}\Theta (r-a+\delta )$$

***.
Да, $r=a$ - граница между R- и T- областями : на ней $g_{00}=g_{11}^{-1}=0$ и при переходе меняет знак. Да, в координатах кривизн в покоящейся относительно поля системе отсчета граница непроницаема для света (за угол издали не заглянешь). Но на ней сферические координаты не вырождены : $det g_{\mu \nu }\neq 0$. И ни один из инвариантов поля не рвется.

***Кстати, извините, если уж исключать точку $r=a$ слева, при $r<a$, то, может, надо использовать ступеньку $\Theta (a-\delta -r)$, т.е. поменять знак аргумента $\Theta $-функции на противоположный?

[Котофеич]

pc20b писал(а):

Котофеич

Цитата:

Evil or Very Mad Не следует думать что сингулярность на горизонте есть просто следствие негладкой регуляризации.

Как раз такие мысли и приходят : ей-ей, непонятно, зачем в малой окрестности горизонта потребовалась ступенчатая функция :
при $r>a$ :

$$h_{\delta}=\frac{a}{r}\Theta (r-a-\delta )$$

,
при $r<a$ :

$$h_{\delta}=\frac{a}{r}\Theta (r-a+\delta )$$

***.

Во первых я писал
при $r<a$ :

$$h_{\delta}=\frac{a}{r}[1-\Theta (r-a+\delta )]$$

.
Во вторых возьмем для начала обычного "глобального" Шварцшильда

$$ds^2=(1-\frac{a}{r})dt^2-\frac{dr^2}{(1-\frac{a}{r})}-r^2d\sigma ^2$$

и перепишем его в виде

$$ds^2=h(r)dt^2-{dr^2}{h^{-1}(r)}-r^2d\sigma ^2$$

Это выражение полностью лишено малейшего математического смысла как глобальная метрика на многообразии, потомуй что на горизонте, проклятая функция

$$h^{-1}(r)$$

принимает бесконечное значение. Для того чтобы предать строгий математический смысл такой метрике, т.е. глобализовать ее в каком либо строгом математическом смысле, эту функцию можно заменить обобщенной функцией

$$h^{-1}(r)=\frac{r}{r-a+i 0 }$$

. Только после этого можно говорить в серьез, что Шварцшильд это некоторое обобщенное решение уравнений гравполя с неким сингулярным источником.
Различные типы регуляризаций, это только чисто техническая сторона проблемы.
Гладкую регуляризацию

$$h^{-1}_{\delta }(r)=\frac{r}{r-a+i \delta }$$

.
допускает только компонента метрического тензора

$$h^{-1}(r)=\frac{r}{r-a+i 0 }$$

.
У Шварцшильда есть одна неприятная особенность - Шварцшильд это на самом деле не риманов объект
Из за того что на горизонте метрический тензор вырождается, связность Леви-Чевитта на горизонте не определена В любом случае компонента

$$h(r)=\frac{r-a}{r}$$

должна быть регуляризована таким образом чтобы у нее исчез ноль на горизонте. Так что для этой компоненты регуляризация вводится всегда с одной целью-сделать связность конечной во всех точках. Так что при снятии непрерывной регуляризации, скачок восстановится, а вместе с ним появится и дельта-функция. Поэтому сразу можно взять разрвывную регуляризацию.

pc20b писал(а):

Да, $r=a$ - граница между R- и T- областями : на ней $g_{00}=g_{11}^{-1}=0$ и при переходе меняет знак. Да, в координатах кривизн в покоящейся относительно поля системе отсчета граница непроницаема для света (за угол издали не заглянешь). Но на ней сферические координаты не вырождены : $det g_{\mu \nu }\neq 0$. И ни один из инвариантов поля не рвется.

Это не имеет значения, потому что там проблема со связностью Леви-чевитта, о которой я говорил выше.

pc20b писал(а):

***Кстати, извините, если уж исключать точку $r=a$ слева, при $r<a$, то, может, надо использовать ступеньку $\Theta (a-\delta -r)$, т.е. поменять знак аргумента $\Theta $-функции на противоположный?

можно и так.

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

У Шварцшильда есть одна неприятная особенность - Шварцшильд это на самом деле не риманов объект Exclamation
Из за того что на горизонте метрический тензор вырождается, связность Леви-Чевитта на горизонте не определена

Да, связность вырождена, её как бы нет : никаким причинно допустимым путем не проникнешь в данной системе отсчета (Шварцшильда) за одноименный радиус. Ну и что? Казалось бы, нормальный, честный эффект. Если хочешь узнать, что "там, за горизонтом", слетай туда (в конгруенции наблюдателей. скажем, Леметра). Только на особенность (которой, вообще-то говоря, как показано в случае, когда масса покоя $m_0$ имеет ещё и электрический заряд $e$, на самом деле нет, а есть, очевидно, горловина, на которой все инварианты конечны) падать не надо.

Да, геометрия, строго говоря, не риманова, в смысле взаимной однозначности. Но ведь это тоже можно считать физически оправданным. Или не так?

[Котофеич]

В конгруэнции Леметра, т.е. падая на сингулярного Шварцшильда Вы никуда дальше горизонта не слетаете
Связность не может вырождаться. От римановой геометрии можно отказаться, а почему бы и нет. Но тогда Вы все равно должны будете ввести другую невырожденную и разумеется уже не риманову связность. На этом пути возникает симбиоз обычного и сингулярного Шварцшильда. Ну грубо говоря горизонт под воздействием малых внешних возмущений то открыт то закрыт

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Evil or Very Mad В конгруэнции Леметра, т.е. падая на сингулярного Шварцшильда Вы никуда дальше горизонта не слетаете Exclamation

Это как раз и самое любопытное. В классике - долетим до точки, $r=0$, а если, выходит, находиться в классе обобщенных функций, то можем не свалиться в дырочку. Обязательно проделаем это взаправду. Пока можно вопрос : зависит ли результат от способа регуляризации.

P.S. ОТО в принципе не связана связностью Леви-Чивита : метрика не обязательно общековариантно постоянна.

P.P.S. Имелось в виду, что в системе отсчета Шварцшильда эти две области $r>a$ и $r<a$ не связаны : не существует непространственно подобной кривой, которая бы соединила две какие-нибудь точки, одна из котороых принадлежит R-области, другая Т-области.

[Котофеич]

pc20b писал(а):

Котофеич

Цитата:

Evil or Very Mad В конгруэнции Леметра, т.е. падая на сингулярного Шварцшильда Вы никуда дальше горизонта не слетаете Exclamation

Это как раз и самое любопытное. В классике - долетим до точки, $r=0$, а если, выходит, находиться в классе обобщенных функций, то можем не свалиться в дырочку. Обязательно проделаем это взаправду. Пока можно вопрос : зависит ли результат от способа регуляризации..

Практически не зависит. Имеется два максимум три типа таких обобщенных решений, которые сильно отличаюся только в точке r=0.

pc20b писал(а):

P.S. ОТО в принципе не связана связностью Леви-Чивита : метрика не обязательно общековариантно постоянна.

P.P.S. Имелось в виду, что в системе отсчета Шварцшильда эти две области $r>a$ и $r<a$ не связаны : не существует непространственно подобной кривой, которая бы соединила две какие-нибудь точки, одна из котороых принадлежит R-области, другая Т-области.

Связность должна быть согласована с метрикой в достаточно сильном смысле, иначе
класс обобщенных решений может быть очень широким. На наличие сингулярности горизонта это принципиально не влияет.

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

класс обобщенных решений может быть очень широким. На наличие сингулярности горизонта это принципиально не влияет.

Извините за непонятливость, но пока с самого начала непонятна полностью процедура обнаружения сингулярности на горизонте :
Сингулярность $r=0$ обусловлена уже самой центральной симметрией в метризованном пространстве :

$$_{,}\theta =0, g(\theta +2\pi )=g(\theta ); _{,}\varphi =0, g(\varphi +2\pi )=g(\varphi )$$

.
Связность в этой же точке тоже не определена по этой же причине вырождения сферической системы координат в ней уже в плоском пространстве :

$$\Gamma ^2_{21}|_{r\to 0}\to \infty $$

. Далее берется не решение сингулярных уравнений Эйнштейна

$$G_{\mu \nu }=\kappa m_0c^2\delta _{\mu }^0\delta _{\nu }^0\delta ^{(3)}(x)/4\pi r^2$$

в классе обобщенных функций, что было бы, казалось бы, естественно, а просто метрика Шварцшильда, как решение несингулярного уравнения

$$R_{\mu \nu }=0$$

,

подвергается, ввиду наличия особенностей в ней в точках $r=0$ (сингулярность) и $r=a$ (неопределенность как в метрике,

$$g_{11}|_{r\to a}\to -\infty $$

, так и в связности,

$$\Gamma ^1_{11}|_{r\to a}\to -\infty $$

), "регуляризации" (вырезанию окрестностей : $\epsilon $ - окрестности точки $r=0$ и $\delta $ - окрестности точки $r=a$) с помощью обобщенных функций Хевисайда (ступенек) и аппроксимации стремящихся к бесконечности величин обычными функциями), затем вычислению "по новой" инварианта Кречмана, - и вот уже после этого оказывается, что, во-первых, характер сингулярности $r=0$ изменяется (с этим можно интуитивно согласиться), а также (с чем сходу согласиться тяжелее) появляется новая сингулярность уже на горизонте Шварцшильда (новый сингулярный источник поля при $r=a$).

Нельзя ли как-то кратко прокомментировать обоснованность данной процедуры и отсутствие попытки найти прямое решение сингулярного уравнения (аналог функции Грина в линейных задачах).

[Котофеич]

pc20b писал(а):

Котофеич

Цитата:

класс обобщенных решений может быть очень широким. На наличие сингулярности горизонта это принципиально не влияет.

Извините за непонятливость, но пока с самого начала непонятна полностью процедура обнаружения сингулярности на горизонте :
Сингулярность $r=0$ обусловлена уже самой центральной симметрией в метризованном пространстве :

$$_{,}\theta =0, g(\theta +2\pi )=g(\theta ); _{,}\varphi =0, g(\varphi +2\pi )=g(\varphi )$$

.
Связность в этой же точке тоже не определена по этой же причине вырождения сферической системы координат в ней уже в плоском пространстве :

$$\Gamma ^2_{21}|_{r\to 0}\to \infty $$

.

Все дело в том что не существует в природе никакой метрики Шварцшильда, а существует обобщенная квадратичная форма

$$ds^2=(1-\frac{a}{r})dt^2-\frac{dr^2}{(1-\frac{a}{r}+0i)}-r^2d\sigma ^2$$

Такие формы в геометрическом аспекте изучает сравнительно молодая область математики т.н. дистрибутивная дифференциальная (риманова геометрия). Проблематичность такой дифференциальной формы, связана не с тем обстояоельством, что у нее один из коэффициентов является сингулярной обобщенной функцией

$$\frac{1}{(1-\frac{a}{r}+0i)},$$

а в основном с тем, что первый член

$$(1-\frac{a}{r})dt^2$$

у этой формы вырождается в точке r=a Регуляризация нужна в первую очередь чтобы получить корректную связность Леви-Чевитта.
Как я понял Вас смущает разрывная регуляризация Потом я покажу что и при гладкой регуляризации ничего не меняется.

pc20b писал(а):

Далее берется не решение сингулярных уравнений Эйнштейна

$$G_{\mu \nu }=\kappa m_0c^2\delta _{\mu }^0\delta _{\nu }^0\delta ^{(3)}(x)/4\pi r^2+...$$

в классе обобщенных функций, что было бы, казалось бы, естественно, а просто метрика Шварцшильда, как решение несингулярного уравнения

$$R_{\mu \nu }=0$$

,

Не совсем так. Берется метрика Шварцшильда ( для примеру под горизонтом )
подвергается, ввиду наличия особенности в точке $r=0$ регуляризации (можно и гладкой без вырезаня окрестности точки $r=0$). Потом доказывается, что такая регуляризованная метрика, является решением сингулярных уравнений

$$G_{\mu \nu }=\kappa m_0c^2\delta _{\mu }^0\delta _{\nu }^0\delta ^{(3)}(x)/4\pi r^2+...$$

в смысле обобщенных функций. Другими словами пишите регуляризованные уравнения

$$G^{\varepsilon } _{\mu \nu }=\kappa m_0c^2\delta _{\mu }^0\delta _{\nu }^0\delta_{\varepsilon} ^{(3)}(x)/4\pi (r+\varepsilon)^2+O(\varepsilon})+...$$

и в этом уравнении переходите к пределу в смысле обобщенных функций.

pc20b писал(а):

подвергается, ввиду наличия особенностей в ней в точках $r=0$ (сингулярность) и $r=a$ (неопределенность как в метрике,

$$g_{11}|_{r\to a}\to -\infty $$

, так и в связности,

$$\Gamma ^1_{11}|_{r\to a}\to -\infty $$

), "регуляризации" (вырезанию окрестностей : $\epsilon $ - окрестности точки $r=0$ и $\delta $ - окрестности точки $r=a$) с помощью обобщенных функций Хевисайда (ступенек) и аппроксимации стремящихся к бесконечности величин обычными функциями), затем вычислению "по новой" инварианта Кречмана, - и вот уже после этого оказывается, что, во-первых, характер сингулярности $r=0$ изменяется (с этим можно интуитивно согласиться), а также (с чем сходу согласиться тяжелее) появляется новая сингулярность уже на горизонте Шварцшильда (новый сингулярный источник поля при $r=a$).

Нельзя ли как-то кратко прокомментировать обоснованность данной процедуры и отсутствие попытки найти прямое решение сингулярного уравнения (аналог функции Грина в линейных задачах).

С сингулярностью горизонта, "трудно" согласиться по той причине что в учебниках долго писали что она фиктивная. На самом деле никто никогда не видел чтобы что то там упало под горизонт. Потом дыры с проходимым горизонтом как известно вызывают массу проблем. Несовместимость ОТО и КМ есть не какая то научная проблема, а следствие ошибочных представлений о структуре ЧД.