Диофантовые уравнения и тригонометрия.

[Shadow]

nnosipov в сообщении #733073 писал(а):

Параметризация $x=2t/(1+t^2)$, $y=(1-t^2)/(1+t^2)$ не позволяет получить только одну рациональную точку --- $(x,y)=(0,-1)$.

Потому что секущие проводят через нее и $(t,0)$. А нельзя ли сказать (условно), что она получается как предельная при $t\to \infty$? ...касательная к окружности.

[Коровьев]

sergei1961 в сообщении #733153 писал(а):

Жаль, что не видно применений этого семейства к диофантовым уравнениям. Мы в эту сторону и не думали. Или можно что-то придумать?

Неисповедимы пути математики

Продолжу.
4.Соотношения эквивалентности.
Обозначим множество всех квадратов рациональных чисел через $\mathbb{M}$
Примем, два рациональных числа эквивалентны, $a \sim b$,
если их отношение, $$\frac{a}{b} \in \mathbb{M}$
Некоторые соотношения.
$$S\left( {T_k } \right) = \frac{{2T_k }}{{1 + T_k ^2 }} = 2T_k C_k ^2 \sim 2T_k $
$$\begin{array}{l} T\left( {C_k } \right) \sim 2C_k \\ T\left( {S_k } \right) \sim 2S_k \\ \end{array}$

Пример.
Серпинский в своей книге "О решении уравнений в целых числах" в параграфе 11 приводит задачу, которой занимался Эйлер - найти три натуральных числа для которых каждое из шести чисел $ x \pm y,x \pm z,y \pm z $ является квадратом натурального числа. Эйлер нашёл вспомогательное уравнение, целочисленные решения которого позволяют находить эти числа
$t^2=(b^4-a^4)(d^4-c^4)$
и нашёл два числовых решения.
Покажем сначала, что функции
$z^2=(1-x^4)(1-y^4)$ и $z^2=T_x T_y $ рационально эквивалентны. То есть, существуют рациональные преобразования переводящие рациональные точки первой кривой во вторую, и обратно.

$$\left( {1 - m^4 } \right)\left( {1 - n^4 } \right) \sim C_m C_n \sim T\left( {C_m } \right)T\left( {C_n } \right)$

$$T_t T_k \sim S\left( {T_t } \right)S\left( {T_k } \right) \sim C\left( {\frac{{1 - T_t }}{{1 + T_t }}} \right)C\left( {\frac{{1 - T_k }}{{1 + T_k }}} \right) \sim \left( {1 - \left( {\frac{{1 - T_t }}{{1 + T_t }}} \right)^4 } \right)\left( {1 - \left( {\frac{{1 - T_k }}{{1 + T_k }}} \right)^4 } \right)$

Выше я приводил формулу
$$T_x \cdot T\left( {S\left( {T_x } \right)} \right) = \left[ {\frac{{2S_x }}{{\left( {C_x ^2 - S_x ^2 } \right)}}} \right]^2 \in \mathbb{M} $
Отсюда

$$T_t \cdot T\left( {S\left( {T_k } \right)} \right) \sim \left( {1 - \left( {\frac{{1 - T_t }}{{1 + T_t }}} \right)^4 } \right)\left( {1 - \left( {\frac{{1 - T\left( {S\left( {T_k } \right)} \right)}}{{1 + T\left( {S\left( {T_k } \right)} \right)}}} \right)^4 } \right) \in \mathbb{M}$

То есть мы получили, довольно просто, параметрические решения уравнения $$z^2=(1-x^4)(1-y^4)$

$$x = \frac{{1 - T_k }}{{1 + T_k }},y = \frac{{1 - T\left( {S\left( {T_k } \right)} \right)}}{{1 + T\left( {S\left( {T_k } \right)} \right)}}$

Теперь самое страшное - приведём решения к нормальному виду.

$$x = \frac{{1 - \frac{{2t}}{{1 - t^2 }}}}{{1 + \frac{{2t}}{{1 - t^2 }}}} = \frac{{1 - 2t - t^2 }}{{1 + 2t - t^2 }}$


$$ y = \frac{{1 - \frac{{2S\left( {T_k } \right)}}{{1 - S^2 \left( {T_k } \right)}}}}{{1 + \frac{{2S\left( {T_k } \right)}}{{1 - S^2 \left( {T_k } \right)}}}} = \frac{{1 - 2S\left( {T_k } \right) - S^2 \left( {T_k } \right)}}{{1 + 2S\left( {T_k } \right) - S^2 \left( {T_k } \right)}} = \frac{{1 - 2\frac{{4k\left( {1 - k^2 } \right)}}{{\left( {1 + k^2 } \right)^2 }} - \left( {\frac{{4k\left( {1 - k^2 } \right)}}{{\left( {1 + k^2 } \right)^2 }}} \right)^2 }}{{1 + 2\frac{{4k\left( {1 - k^2 } \right)}}{{\left( {1 + k^2 } \right)^2 }} - \left( {\frac{{4k\left( {1 - k^2 } \right)}}{{\left( {1 + k^2 } \right)^2 }}} \right)^2 }} = $

$$ = \frac{{\left( {1 + k^2 } \right)^4 - 8k\left( {1 - k^2 } \right)\left( {1 + k^2 } \right)^2 - 16k^2 \left( {1 - k^2 } \right)^4 }}{{\left( {1 + k^2 } \right)^4 + 8k\left( {1 - k^2 } \right)\left( {1 + k^2 } \right)^2 - 16k^2 \left( {1 - k^2 } \right)^4 }}$

При $k=2$ получим

$x=-7,y=-1249/1151$

$(1-x^4)(1-y^4)=(40353600/1324801)^2$

[iifat]

Как-то странно, что $x$ зависит от $t$, а $y$ — от $k$, нет?

[Коровьев]

iifat в сообщении #733319 писал(а):

Как-то странно, что $x$ зависит от $t$, а $y$ — от $k$, нет?

Это моя невнимательность, спасибо.
Конечно всё зависит от одного аргумента $k$
$$x = \frac{{1 - \frac{{2k}}{{1 - k^2 }}}}{{1 + \frac{{2k}}{{1 - k^2 }}}} = \frac{{1 - 2k - k^2 }}{{1 + 2k - k^2 }}$

[Коровьев]

Приведу ещё несколько формул
1).Пусть $(x_0 ,y_0 )$ рациональная точка эллиптической кривой $y^2 = x^3 - h^2 x$
$$ y_0 ^2 = x_0 \left( {x_0 ^2 - h^2 } \right) $. Заменим $ x_0 = ht $
Тогда $$ y_0 ^2 = h^3 t\left( {t^2 - 1} \right) \sim \left( { - 2h} \right)\frac{{2t}}{{1 - t^2 }} = - 2hT_t $
Воспользовавшись эквивалентностью $T_t \sim T\left( {S\left( {T_t } \right)} \right)$
( то есть их отношение равно квадрату) получим $ y_0 ^2 \sim \left( { - 2h} \right)T\left( {S\left( {T_t } \right)} \right) $
Отсюда $ x_1 = hS\left( {T_t } \right) $ также является решением исходного эллиптического уравнения. Конечно, его можно получить и по формуле удвоения.

2).Приведу ещё одно параметрическое решения эллиптического уравнения

$$z^2 = T_x T_y = \frac{{2x}}{{1 - x^2 }} \cdot \frac{{2y}}{{1 - y^2 }}$

$$ x = \frac{{3 - C_k }}{{2C_k }},y = \frac{{3 + C_k }}{{2C_k }}$

3). Для рационального кубоида Эйлера со сторонами $a=T_x,b=T_y,c=1$
есть красивое параметрическое решение $ x=2S_t,y= 2C_t$

$$T^2 \left( {2S_k } \right) + T^2 \left( {2C_k } \right) = \left( {\frac{{T\left( {2S_k } \right)T\left( {2C_k } \right)}}{{4S_k C_k }}} \right)^2$

4).Если система

$$ \left\{ \begin{array}{l} a^2 + b^2 = m^2 \\ a^2 - b^2 = n^2 \\ \end{array} \right. $
не имеет нетривиальных рациональных решений, то система

$$ \left\{ \begin{array}{l} \left( {a^2 + b^2 } \right)\left( {c^2 + d^2 } \right) = m^2 \\ \left( {a^2 - b^2 } \right)\left( {c^2 - d^2 } \right) = n^2 \\ \end{array} \right.$

уже имеет даже параметрические решения

$$\begin{array}{l} a = C_k + S_k \\ b = C_k - S_k \\ c = C\left( {S\left( {T_k } \right)} \right) + S\left( {S\left( {T_k } \right)} \right) \\ d = C\left( {S\left( {T_k } \right)} \right) - S\left( {S\left( {T_k } \right)} \right) \\ \end{array}$

[Коровьев]

5. Применение к некоторым нелинейным рекуррентным последовательностям.

В самом начале мы ввели комплексную функцию

$$ E\left( x \right) = \frac{{1 - x^2 }}{{1 + x^2 }} + i\frac{{2x}}{{1 + x^2 }} = C_x + iS_x $

со свойством

$$ E\left( x \right)E\left( y \right) = E\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right) = C\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right) + iS\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right)$

Далее. Для двух чисел $ x,y $ введём коммутативную бинарную операцию

$$\left[ x \right]\left[ y \right] = \left[ {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right] $

Мы получили группу с коммутативной бинарной операцией, с единицей $ [0] $, с обратным элементом к [x] равным [-x]
$$ [x][y]=[y][x]$

$$ [x][0]=[x]$

Будем считать, что $$[x]^n=[x][x]...[x]$ - последовательное применение бинарной операции $n$ раз
В частности

$$ \[ \left[ x \right]^2 = \left[ {\frac{{2x}}{{1 - x^2 }}} \right] = \left[ { - i\frac{{\left( {1 + ix} \right)^2 - \left( {1 - ix} \right)^2 }}{{\left( {1 + ix} \right)^2 + \left( {1 - ix} \right)^2 }}} \right] \] $

Индукцией по $n$ доказывается формула

$$ \[ \left[ x \right]^n = \left[ { - i\frac{{\left( {1 + ix} \right)^n - \left( {1 - ix} \right)^n }}{{\left( {1 + ix} \right)^n + \left( {1 - ix} \right)^n }}} \right] \]$
1)Рассмотрим рекуррентное соотношение

$$x_n = \frac{{2x_{n - 1} }}{{1 - x_{n - 1}^2 }}$


Тогда
$$\left[ {x_n } \right] = \left[ {\frac{{2x_{n - 1} }}{{1 - x_{n - 1} ^2 }}} \right] = \left[ {x_{n - 1} } \right]^2 $

$$\left[ {x_n } \right] = \left[ {x_{n - 1} } \right]^2 = \left[ {x_{n - 2} } \right]^{2^2 } = \left[ {x_{n - 3} } \right]^{2^3 } = ... = \left[ {x_0 } \right]^{2^n } = \left[ { - i\frac{{\left( {1 + ix_0 } \right)^{2^n } - \left( {1 - ix_0 } \right)^{2^n } }}{{\left( {1 + ix_0 } \right)^{2^n } + \left( {1 - ix_0 } \right)^{2^n } }}} \right]$

$$x_n = - i\frac{{\left( {1 + ix_0 } \right)^{2^n } - \left( {1 - ix_0 } \right)^{2^n } }}{{\left( {1 + ix_0 } \right)^{2^n } + \left( {1 - ix_0 } \right)^{2^n } }}$

2)Сразу же можно получить решение следующей рекуррентной последовательности

$$x_n = \frac{{2x_{n - 1} }}{{1 + x_{n - 1} ^2 }} \to \left( {ix_n } \right) = \frac{{2\left( {ix_{n - 1} } \right)}}{{1 - \left( {ix_{n - 1} } \right)^2 }}$

$$ ix_n = - i\frac{{\left( {1 - x_0 } \right)^{2^n } - \left( {1 + x_0 } \right)^{2^n } }}{{\left( {1 - x_0 } \right)^{2^n } + \left( {1 + x_0 } \right)^{2^n } }} \to x_n = \frac{{\left( {1 + x_0 } \right)^{2^n } - \left( {1 - x_0 } \right)^{2^n } }}{{\left( {1 + x_0 } \right)^{2^n } + \left( {1 - x_0 } \right)^{2^n } }} $

3)Рассмотрим ещё одну рекуррентную последовательность

$$y_n = \frac{{a + by_{n - 1} }}{{c + dy_{n - 1} }}$

С помощью последовательных замен переменных её можно свести к виду

$$x_n = \frac{{h + x_{n - 1} }}{{1 - hx_{n - 1} }}$

Сначала заменой $ y_n = u_n + t$ и выбором

$$t = \frac{{b - d - 1}}{d}$

мы приводим к виду

$$u_n = \frac{{m + u_{n - 1} }}{{1 + ku_{n - 1} }}$

Затем заменой

$$ u_n \sqrt { - \frac{k}{m}} = x_n$

мы и приходим последовательность к нужному виду. Далее


$$x_n = \frac{{h + x_{n - 1} }}{{1 - hx_{n - 1} }} \to \left[ {x_n } \right] = \left[ {\frac{{h + x_{n - 1} }}{{1 - hx_{n - 1} }}} \right] = \left[ h \right]\left[ {x_{n - 1} } \right]$

$$\[ \left[ {x_n } \right] = \left[ h \right]\left[ {x_{n - 1} } \right] = \left[ h \right]^2 \left[ {x_{n - 2} } \right] = ... = \left[ h \right]^n \left[ {x_0 } \right] = \left[ { - i\frac{{\left( {1 + ih} \right)^n - \left( {1 - ih} \right)^n }}{{\left( {1 + ih} \right)^n + \left( {1 - ih} \right)^n }}} \right]\left[ {x_0 } \right] \] $

Окончательно

$$ \[ x_n = \frac{{x_0 - i\frac{{\left( {1 + ih} \right)^n - \left( {1 - ih} \right)^n }}{{\left( {1 + ih} \right)^n + \left( {1 - ih} \right)^n }}}}{{1 + x_0 i\frac{{\left( {1 + ih} \right)^n - \left( {1 - ih} \right)^n }}{{\left( {1 + ih} \right)^n + \left( {1 - ih} \right)^n }}}} = \frac{{x_0 \left( {\left( {1 + ih} \right)^n + \left( {1 - ih} \right)^n } \right) - i\left( {\left( {1 + ih} \right)^n - \left( {1 - ih} \right)^n } \right)}}{{x_0 \left( {\left( {1 + ih} \right)^n + \left( {1 - ih} \right)^n } \right) + i\left( {\left( {1 + ih} \right)^n - \left( {1 - ih} \right)^n } \right)}} \] $

[scwec]

Пусть $x,y$ - рациональные числа такие, что $S(x)\ne{S(y)}$. При каком наименьшем натуральном $k$ найдутся $x,y$ такие, что $S(x)=2^k{S(y)}$ ?

[scwec]

Ответ здесь $k=4$. $k=5$ тоже дает решение. (А $k=6$ уже не даёт)
Это ответ нетривиальный. Полагал, что развитый аппарат автора, возможно, может дать ответ. Но, насколько я понял, теория здесь молчит.
Тогда такой вопрос. При каком наименьшем $N>1$ - натуральном, возможно равенство $S(x)=NS(y)$

[Коровьев]

scwec в сообщении #741567 писал(а):

Пусть $x,y$ - рациональные числа такие, что $S(x)\ne{S(y)}$. При каком наименьшем натуральном $k$ найдутся $x,y$ такие, что $S(x)=2^k{S(y)}$ ?

scwec в сообщении #746465 писал(а):

Ответ здесь $k=4$. $k=5$ тоже дает решение. (А $k=6$ уже не даёт)
Это ответ нетривиальный. Полагал, что развитый аппарат автора, возможно, может дать ответ. Но, насколько я понял, теория здесь молчит.
Тогда такой вопрос. При каком наименьшем $N>1$ - натуральном, возможно равенство $S(x)=NS(y)$

Я уже отмечал ранее, что данный "аппарат" кроме существенного упрощения решений некоторых частных диофантовых задач, выявления интересных связей, ничего нового не даёт, ибо он не даёт никаких новых теорем. Единственное, что он ("аппарат") может сказать для данной задачи, что если для некоторых $x,y$ выполняется соотношение $S(x)=NS(y)$, то оно выполняется и для соотношения

$$S\left( {T_x C_y } \right) = N \cdot S\left( {T_y C_x } \right)$

что уже не очевидно при нахождении других решений обычными методами.
Да и вообще он больше "заточен" под рациональные числа, когда известно некоторое частное решение. Хотя некоторые задачи решаемы и без начальных частных решений. Примеры я приводил выше. Но вот выделение из них целочисленных решений ему не под силу. Слабоват.

[scwec]

Коровьев в сообщении #747442 писал(а):

если для некоторых $x,y$ выполняется соотношение $S(x)=NS(y)$, то оно выполняется и для соотношения $S(T_x{C_y})=N\cdot{S(T_y}{C_x})$

Вы уже удачно приводили эту формулу в другой теме. Я это помню.
Конечно, жаль, что находить начальные решения не стало проще. Может быть, позже я открою тему по поводу решения уравнения $S(x)=NS(y)$.
Вообще, Ваши построения мне понравились.

[grisania]

Коровьев в сообщении #733045 писал(а):

Во многих учебниках по теории чисел просто доказывается, что при взаимно простых целых числах $a,b$ уравнение
$$\left( {2ab} \right)^2 + \left( {a^2 - b^2 } \right)^2 = \left( {a^2 + b^2 } \right)^2$
Описывает все целочисленные пифагоровы треугольники.
---------------------

В книге Рибенбойма П. Последняя теорема Ферма для любителей, стр. 19-20. http://www.vixri.com/d/Ribenbojm%20P.%20_Poslednjaja%20teorema%20Ferma.pdf
есть другая целочисленная параметризация (автор Боттари, 1908 г., стр. 19-20):
$x=2^{2s-1}a^2+2^{s}ab$,
$y=b^2+2^{s}ab$,
$z=2^{2s-1}a^2+b^2+2^{s}ab$.
Тривиально, из неё получаем рациональные решения уравнения $z^2=x^2+y^2$.
Будет ли такая параметризация давать все рациональные решения этого уравнения?

[Коровьев]

6.Формула Герона.

Случайно вышел на интересное тригонометрическое тождество, полученное из формулы Герона.
Пусть
$$\[ \left\{ \begin{array}{l} a = \sin \left( \alpha \right) \\ b = \sin \left( \beta \right) \\ c = \sin \left( {\alpha + \beta } \right) \\ \end{array} \right. \]$
тогда
$$\[ 16S^2 = \left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right) = \left( {2\sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right)\sin \left( {\alpha + \beta } \right)} \right)^2 \]$
Заменив тригонометрические функции на их диофантовые аналоги
$$\[ \left\{ \begin{array}{l} a= S\left( t \right) = \frac{{2t}}{{1 + t^2 }} \\ b = S\left( k \right) = \frac{{2k}}{{1 + k^2 }} \\ c = S\left( {\frac{{k + t}}{{1 - kt}}} \right) = \frac{{2\left( {\frac{{k + t}}{{1 - kt}}} \right)}}{{1 + \left( {\frac{{k + t}}{{1 - kt}}} \right)^2 }} = \frac{{2\left( {k + t} \right)\left( {1 - kt} \right)}}{{\left( {1 + k^2 } \right)\left( {1 + t^2 } \right)}} \\ \end{array} \right. \]$
получим параметризацию уравнения Герона.
$$\[ \left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right) = \left( {2S\left( k \right)S\left( t \right)S\left( {\frac{{k + t}}{{1 - kt}}} \right)} \right)^2 = \left( {\frac{{16kt\left( {k + t} \right)\left( {1 - kt} \right)}}{{\left( {1 + k^2 } \right)^2 \left( {1 + t^2 } \right)^2 }}} \right)^2 \]$
Покажем, что эта параметризация охватывает все рациональные решения для уравнения Герона с точностью до общего постоянного рационального множителя для $a,b,c$.
Возьмём треугольник с рациональными длинами сторон $a,b,c$ и рациональной площадью.
1)В треугольнике с рациональными длинами сторон любая высота делит основание на рациональные отрезки.
2)В треугольнике с рациональными длинами сторон и рациональной площадью все высоты рациональны.
3)Если для рациональных $a,b,c$ выполняется $a^2 + b^2 = c^2$, то существует такое рациональное $k$ что выполняются соотношения
$$\[ \left\{ \begin{array}{l} a = cS\left( k \right) = c\frac{{2k}}{{1 + k^2 }} \\ b = cC\left( k \right) = c\frac{{1 - k^2 }}{{1 + k^2 }} \\ \end{array} \right. \]$


В данном треугольнике высота $h$ опущенная на сторону $c$ делит её на рациональные отрезки $x,c-x$
тогда имеем
$$\[ \begin{array}{l} a^2 = x^2 + h^2 \\ \left\{ \begin{array}{l} x = aC_k \\ h = aS_k \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \]$

$$\[ \begin{array}{l} b^2 = \left( {c - x} \right)^2 + h^2 \\ \left\{ \begin{array}{l} c - x = bC_t \\ h = bS_t \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \]$

$$\[ b = a\frac{{S_k }}{{S_t }} \]$

$$\[ c = a\left( {C_k + \frac{{S_k }}{{S_t }}C_t } \right) = a\frac{{S_k C_t + S_t C_k }}{{S_t }} = a\frac{{S \left( {\frac{{k + t}}{{1 - kt}}} \right)}}{{S_t }} \]$
Домножив все стороны на ${S_t }$ получим треугольник со сторонами
$$\[ \left\{ \begin{array}{l} A = aS\left( t \right) = a\frac{{2t}}{{1 + t^2 }} \\ \\ B = aS\left( k \right) = a\frac{{2k}}{{1 + k^2 }} \\ \\ C = aS\left( {\frac{{k + t}}{{1 - kt}}} \right) = a\frac{{2\left( {k + t} \right)\left( {1 - kt} \right)}}{{\left( {1 + k^2 } \right)\left( {1 + t^2 } \right)}} \\ \end{array} \right. \]$

[Коровьев]

7. Обратные функции.

Наряду с диофантовыми аналогами тригонометрических функций можно рассмотреть и их обратные функции.
Правда, куда их приткнуть практически, я не нашёл. Но у них тоже есть аналоги с обратными тригонометрическими функциями.

Введём обозначения для обратных функций

$$ \[ AS\left( t \right) = \frac{{1 - \sqrt {1 - t^2 } }}{t},S\left( t \right) = \frac{{2t}}{{1 + t^2 }} \] $

$$ \[ AC\left( t \right) = \sqrt {\frac{{1 - t}}{{1 + t}}} ,C\left( t \right) = \frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }} \] $

$$ \[ AT\left( t \right) = \frac{{ - 1 + \sqrt {1 + t^2 } }}{t},T\left( t \right) = \frac{{2t}}{{1 - t^2 }} \] $

Есстественно выполняются соотношения

$$ \[ \begin{array}{l} AS\left( {S\left( t \right)} \right) = S\left( {AS\left( t \right)} \right) = t \\ AC\left( {C\left( t \right)} \right) = C\left( {AC\left( t \right)} \right) = t \\ AT\left( {T\left( t \right)} \right) = T\left( {AT\left( t \right)} \right) = t \\ \end{array} \] $

Но, что интересно, выполняются и соотношения, аналогичные соотношениям между обратными тригонометрическими функциями.

$$ \[ AS\left( x \right) = AC\left( {\sqrt {1 - x^2 } } \right) \to {\rm{\arcsin}}\left( x \right){\rm{ = \arccos}}\left( {\sqrt {1 - x^2 } } \right) \] $

$$ \[ AS\left( x \right) = AT\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 - x^2 } }}} \right) \to {\rm{\arcsin}}\left( x \right){\rm{ = \arctan}}\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 - x^2 } }}} \right) \] $

$$ \[ AT\left( x \right) = AS\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 - x^2 } }}} \right) \to {\rm{\arctan}}\left( x \right){\rm{ = \arcsin}}\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 - x^2 } }}} \right) \] $

$$ \[ AT\left( x \right) = AC\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 - x^2 } }}} \right) \to {\rm{\arctan}}\left( x \right){\rm{ = \arccos}}\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 - x^2 } }}} \right) \] $


Прослеживается и связь с тригонометрическим тождеством

$$ \[ {\rm{\arcsin}}\left( x \right) + {\rm{\arccos}}\left( x \right) \equiv \frac{\pi }{2} \to \sin \left( {{\rm{\arcsin}}\left( x \right) + {\rm{\arccos}}\left( x \right)} \right) \equiv 1 \] $

$$ \[ \frac{{AS\left( x \right) + AC\left( x \right)}}{{1 - AS\left( x \right) \cdot AC\left( x \right)}} \equiv 1 \to S\left( {\frac{{AS\left( x \right) + AC\left( x \right)}}{{1 - AS\left( x \right) \cdot AC\left( x \right)}}} \right) \equiv 1 \]$

Конечно, виды тождеств немного разняться, ввиду разного подхода к сложению аргументов, но если разложить

$$ \[ \sin \left( {{\rm{\arcsin}}\left( x \right) + {\rm{\arccos}}\left( x \right)} \right) \] $
и

$$ \[ S\left( {\frac{{AS\left( x \right) + AC\left( x \right)}}{{1 - AS\left( x \right) \cdot AC\left( x \right)}}} \right) \] $
по формулам разложения, то аналог будет полный.

[Коровьев]

8. Об обратной функции для E(x)

Ранее была введена функция E(x) со свойствами показательной функции

$$ \[ E\left( x \right) = C\left( x \right) + S\left( x \right)i = \frac{{1 - x^2 }}{{1 + x^2 }} + \frac{{2x}}{{1 + x^2 }}i \]$

аналогичная формуле Эйлера

$$ \[ e^{ix} = \cos x + i\sin x \] $

Найдём обратную функцию для функции $$\[x = E\left( y \right)\]$

$$ \[ E\left( y \right) = \frac{{1 - y^2 }}{{1 + y^2 }} + \frac{{2y}}{{1 + y^2 }}i = \frac{{\left( {1 + yi} \right)^2 }}{{\left( {1 - yi} \right)\left( {1 + yi} \right)}} = \frac{{1 + yi}}{{1 - yi}} = x \] $

И, следовательно обратная функция для функции $$\[x = E\left( y \right)\]$ равна

$$ \[ y = \frac{{1 - x}}{{1 + x}}i = L\left( x \right) \] $

Тогда

$$ \[ E\left( {L\left( x \right)} \right) = L\left( {E\left( x \right)} \right) = x \] $

Функция

$$ \[ L\left( x \right) = \frac{{1 - x}}{{1 + x}}i \] $

выступает почти как аналог логарифма.

$$ \[ E\left( \alpha \right) \cdot E\left( \beta \right) = E\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{{1 - \alpha \beta }}} \right) \] $


$$ \[ L\left( {E\left( \alpha \right) \cdot E\left( \beta \right)} \right) = L\left( {E\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{{1 - \alpha \beta }}} \right)} \right) = \frac{{\alpha + \beta }}{{1 - \alpha \beta }} \] $

[Коровьев]

9. О замене тригонометрических функций на их диофантовые аналоги в некоторых уравнениях

В разделе Олимпиадные задачи в задаче "Найти рациональные точки на кривой кардиоиде"

$ \left( {x^2 + y^2 - 1} \right)^2 = 4\left( {x - 1} \right)^2 + 4y^2 $

с её параметрическим выражением
$ \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2\cos \alpha - \cos 2\alpha \\ y = 2\sin \alpha - \sin 2\alpha \\ \end{array} \right. \] $

я заменил (без всяких на то оснований) в параметрических уравнениях тригонометрические функции на их диофантовые аналоги
$ \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2C\left( t \right) - C\left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right) \\ y = 2S\left( t \right) - S\left( {\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}} \right) \\ \end{array} \right. \]$

и получил чудесным образом верное решение исходного уравнения в рациональных числах.

Но такая замена имеет основание.
Если подставить параметрические выражения в исходное уравнение, то мы получим тождество

$$ \[ f\left( {\sin x,\cos x} \right) \equiv 0 \] $

верное для всех действительных $x$
Так как

$$ \[ \begin{array}{l} \left| {\sin x} \right| \le 1 \\ \left| {S\left( t \right)} \right| = \left| {\frac{{2t}}{{1 + t^2 }}} \right| \le 1 \\ \end{array} \] $

и обе ифункции непрерывны то для любого рационального $t$ найдётся такое действительное $x$ что будет выполняться равенство

$$ \[ \sin x = S\left( t \right) \] $

И мы получим тождество

$$ \[ f\left( {S\left( t \right),C\left( t \right)} \right) \equiv 0 \] $

верное для любых рациональных $t$

Для примера рассмотрим кривую

$$ \[ 2\left( {2 + x} \right)^3 = 27\left( {x^2 + y^2 } \right) \] $

имеющую параметризацию

$$ \[ x = \frac{{\sin 3h}}{{\sin ^3 h}} \] $

$$ \[ y = - \frac{{\cos 3h}}{{\sin ^3 h}} \] $

Подставив в уравнения параметризации аналоги

$$ \[ \sin h \Rightarrow S\left( t \right) \] $

$$ \[ \sin 3h \Rightarrow S\left( {\frac{{3t - t^3 }}{{1 - 3t^2 }}} \right) \] $

$$ \[ \cos 3h \Rightarrow C\left( {\frac{{3t - t^3 }}{{1 - 3t^2 }}} \right) \] $

получим параметрические рациональные решения исходного уравнения.

Конечно, исходные уравнения решаются довольно просто и без всякой параметризации с какой-то непонятной заменой. Кроме того, возникает вопрос - а все ли решения охватывает полученная параметризация? Для приведённых примеров охватывает все решения.