Дьявольские магические квадраты из простых чисел

[Nataly-Mak]

dimkadimon в сообщении #740938 писал(а):

Нет это новый метод, о котором я расскажу позже.

Pavlovsky в сообщении #740936 писал(а):

Преобразование Россера точно работает для порядков равных простому числу и составных чисел не кратных 2,3.

Ничего не понимаю!
Если работает преобразование Россера для N=25 (и прочих составных порядков не кратных 2,3), тогда какой же это новый метод?
Строим примитивный квадрат и применяем к нему преобразование Россера. Где новый метод?

-- Чт июн 27, 2013 09:12:16 --

Вообще-то преобразование Россера работает и для порядков кратных 2
Только это преобразование имеет не такой вид, как преобразование для квадратов простых порядков.

svb в сообщении #322155 писал(а):

Скорее всего не просто переставить, а примитивный квадрат должен быть специальным. Россер доказывает, что каждый d.s. 4-го порядка регулярный, но это не значит, что из каждого примитивного квадрата можно получить пандиагональный квадрат. Возьмем устройство p.s.
$$\left[ {\begin{array}{*{20}c} a & b & c & d \\ e & * & * & * \\ f & * & * & * \\ g & * & * & * \\ \end{array}} \right]$ $- выбрав любые 7 чисел можно получить примитивный квадрат, но размерность пространства d.s. 4 порядка равна 5, т.е. явно нужны еще 2 ограничения. У Россера я пока не разобрался, но условия эти нашел (они, в общем-то, давно известны): необходимо, чтобы выполнялось
$$a + f = e + g$ $ и $$a + c = b + d$ $
Преобразование, которое работает в этом случае у Россера приведено:$$\left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array}} \right|$ $

Кроме того, как верно заметил svb, примитивный квадрат в этом случае должен удовлетворять дополнительным условиям.

-- Чт июн 27, 2013 09:19:49 --

Так кто-нибудь скажет, какой вид имеет преобразование для N=25 или самой надо статью Россера читать?
Или у Россера нет такого преобразования и его изобрёл dimkadimon?

[Pavlovsky]

Преобразование
$$\left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{array}} \right|$ $
Удовлетворяет теореме 3.1 для любых N не кратных 2,3

[Nataly-Mak]

Спасибо, сейчас проверю.

[Nataly-Mak]

Pavlovsky в сообщении #740943 писал(а):

Преобразование
$$\left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{array}} \right|$ $
Удовлетворяет теореме 3.1 для любых N не кратных 2,3

Если это преобразование надо понимать как

$A(i,j)=B(i+2j,3i+j)$

то у меня ничего не получилось для N=25.

$A(1,16)=B(8,19)$
$A(6,1)=B(8,19)$

В одну и ту же ячейку попадают два числа.

Имеем два варианта: либо приведено неверное преобразование, либо я его неправильно понимаю.

-- Чт июн 27, 2013 11:30:51 --

Так и пришлось самой лезть в статью Россера

Pavlovsky
может, преобразование надо так записать:

$$\left| {\begin{array}{*{20}c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \\ \end{array}} \right|$ $


-- Чт июн 27, 2013 11:40:50 --

Цитата:

1 15.00 Jarek Wroblewski Wroclaw, Poland 27 Jun 2013 07:21
2 7.70 Wes Sampson La Jolla, California, United States 27 Jun 2013 01:56

Два конкурсанта работают

Jarek продолжает улучшать решения.
Очевидное - невероятное!

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #740959 писал(а):

может, преобразование надо так записать:

$$\left| {\begin{array}{*{20}c} 3 & 2 \\ 1 & 1 \\ \end{array}} \right|$ $

Да, именно так надо записать преобразование.
Это примитивный квадрат 25-го порядка из произвольных натуральных чисел:

(Оффтоп)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156
157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182
183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208
209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234
235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260
261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286
287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312
339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364
365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390
391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416
417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442
443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468
469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494
495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520
521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546
547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572
573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598
599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624
625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650
651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676

Полученный из этого квадрата с помощью данного преобразования пандиагональный квадрат:

(Оффтоп)

626 577 528 479 431 382 307 258 183 134 85 36 664 615 566 517 468 393 344 269 220 172 123 74 25
651 602 553 504 456 407 358 283 234 159 110 61 12 640 591 542 493 418 369 294 245 197 148 99 50
26 627 578 529 480 432 383 308 259 184 135 86 37 665 616 567 518 443 394 345 270 222 173 124 75
51 652 603 554 505 457 408 359 284 209 160 111 62 14 641 592 543 494 419 370 295 246 198 149 100
76 1 628 579 530 482 433 384 309 260 185 136 87 38 666 617 568 519 444 395 346 271 223 174 125
101 52 653 604 555 506 458 409 360 285 210 161 112 63 15 642 593 544 469 420 371 296 248 199 150
126 77 2 629 580 531 483 434 385 310 235 186 137 88 40 667 618 569 520 445 396 347 272 224 175
151 102 27 654 605 556 508 459 410 361 286 211 162 113 64 16 643 594 545 470 421 372 297 249 200
176 127 78 3 630 581 532 484 435 386 311 236 187 138 89 41 668 619 570 495 446 397 348 274 225
201 152 103 28 655 606 557 509 460 411 362 261 212 163 114 66 17 644 595 546 471 422 373 298 250
226 177 128 53 4 631 582 534 485 436 387 312 237 188 139 90 42 669 620 571 496 447 398 349 275
251 202 153 104 29 656 607 558 510 461 412 363 262 213 164 115 67 18 645 596 521 472 423 374 300
276 227 178 129 54 5 632 583 535 486 437 388 287 238 189 140 92 43 670 621 572 497 448 399 350
301 252 203 154 79 30 657 608 560 511 462 413 364 263 214 165 116 68 19 646 597 522 473 424 375
352 277 228 179 130 55 6 633 584 536 487 438 389 288 239 190 141 93 44 671 622 547 498 449 400
376 302 253 204 155 80 31 658 609 561 512 463 414 339 264 215 166 118 69 20 647 598 523 474 425
401 353 278 229 180 105 56 7 634 586 537 488 439 390 289 240 191 142 94 45 672 623 548 499 450
426 378 303 254 205 156 81 32 659 610 562 513 464 415 340 265 216 167 119 70 21 648 573 524 475
451 402 354 279 230 181 106 57 8 635 587 538 489 440 365 290 241 192 144 95 46 673 624 549 500
476 427 379 304 255 206 131 82 33 660 612 563 514 465 416 341 266 217 168 120 71 22 649 574 525
501 452 404 355 280 231 182 107 58 9 636 588 539 490 441 366 291 242 193 145 96 47 674 599 550
526 477 428 380 305 256 207 132 83 34 661 613 564 515 466 391 342 267 218 170 121 72 23 650 575
551 502 453 405 356 281 232 157 108 59 10 638 589 540 491 442 367 292 243 194 146 97 48 675 600
576 527 478 430 381 306 257 208 133 84 35 662 614 565 516 467 392 343 268 219 171 122 73 24 625
601 552 503 454 406 357 282 233 158 109 60 11 639 590 541 492 417 368 293 244 196 147 98 49 676

Как я уже сказала, построить примитивный квадрат 25-го порядка из различных простых чисел очень трудно.
А может, и не трудно --- для тех, кто умеет

[Pavlovsky]

Известное всем (наверняка Jarek Wroblewski известно другое) решение для N=9 имеет магическую константу 24237. С другой стороны есть примитивный квадрат (9,5837): (11,23,47,131,173,557,593,641,1607) + (0,6,20,50,60,216,270,326,1106). Может поискать преобразование для этого квадрата?

-- Чт июн 27, 2013 15:30:02 --

1   15.00   Jarek Wroblewski   Wroclaw, Poland   27 Jun 2013 10:09
2   7.55   Wes Sampson   La Jolla, California, United States   27 Jun 2013 01:56

Это уже какой то беспредел. Jarek Wroblewski активно умножает на ноль результаты других участников.

[Nataly-Mak]

Pavlovsky в сообщении #741015 писал(а):

Это уже какой то беспредел. Jarek Wroblewski активно умножает на ноль результаты других участников.

Если б были достойные решения у других участников. А где они?
Какие-то мизерные улучшения у двух конкурсантов. Остальные ограничились вводом известных решений. Не грех эти решения умножить на ноль

-- Чт июн 27, 2013 14:47:51 --

Pavlovsky в сообщении #741015 писал(а):

Известное всем (наверняка Jarek Wroblewski известно другое) решение для N=9 имеет магическую константу 24237.

Этот квадрат идеальный (автор alexBlack), поэтому он имеет такую большую константу.
Пандиагональный квадрат, не обладающий свойством ассоциативности, наверняка будет иметь меньшую константу.
Однако вспоминаю, как шёл процесс разработки алгоритма построения нетрадиционного пандиагонального квадрата 9-го порядка. Это очень тяжёлый случай. В статье Россера есть построение только классического пандиагонального квадрата 9-го порядка.
В конкурсе, проведённом мной на этом форуме, alexBlack представил пандиагональный квадрат 9-го порядка из простых чисел, но... с огромной магической константой! Уже после конкурса ему удалось построить идеальный квадрат с магической константой 24237.

Цитата:

С другой стороны есть примитивный квадрат (9,5837): (11,23,47,131,173,557,593,641,1607) + (0,6,20,50,60,216,270,326,1106). Может поискать преобразование для этого квадрата?

Вряд ли получится. Этот примитивный квадрат не обладает теми свойствами, какие нужны, чтобы примитивный квадрат превратился в пандиагональный.

[Nataly-Mak]

Вспоминаю конкурс, связанный с магическими квадратами, там такая картина была:

(Оффтоп)

1 24.9924 Walter Trump Nuremberg, Germany 12 Jun 2010 15:59
2 24.9916 Hermann Jurksch Recklinghausen, Germany 11 Jun 2010 20:35
3 24.9766 James J Youlton Jr Victorville, California, United States 28 Apr 2010 00:52
4 24.9709 Garr Godfrey Seattle, Washington, United States 8 May 2010 17:52
5 24.9635 Albert Graells Rovira Zürich, Switzerland 8 Jun 2010 13:08
6 24.9626 Frédéric van der Plancke Brussels, Belgium 11 Jun 2010 22:41
7 24.9610 Marcin Mucha Warszawa, Poland 2 Jun 2010 16:42
8 24.9494 Wes Sampson La Jolla, California, United States 14 May 2010 03:31
9 24.8665 Dmitry Kamenetsky Adelaide, Australia 11 Jun 2010 08:02
10 24.8599 Neil Brewer Richmond, Kentucky, United States 28 May 2010 20:25
11 24.8436 Michael Steinau Sierksdorf, Germany 11 Jun 2010 12:20
12 24.7969 Cyrus Rea San Antonio, Texas, United States 30 Apr 2010 13:11
13 24.4883 Wladimir Leite Sao Paulo, Brazil 9 Apr 2010 19:12
14 24.4543 Klaus Müller Koblenz, Germany 14 Apr 2010 14:29
15 24.4492 Dieter Gehrke Tilst, Denmark 3 Jun 2010 11:26
16 24.4181 Markus Sigg Freiburg, Germany 20 Apr 2010 08:04
17 24.2226 Vladimir V. Kalashnikov Kharkov, Ukraine 10 Jun 2010 12:34
18 24.1353 Natalia Makarova Saratov, Russia 11 Jun 2010 19:51
19 24.0273 René van de Veerdonk Fremont, California, United States 9 Jun 2010 15:41

19 человек имеют 24+
Почти все лидеры Все умели строить нужные магические квадраты.

[dimkadimon]

Nataly-Mak в сообщении #741018 писал(а):

Какие-то мизерные улучшения у двух конкурсантов.

Ну вообще то я улучшил бывшое решение для N=13 в 11 раз, а Wes наверно в 15 раз. Просто лидер имеет слишком хорошие решения и все наши старания проходят незаметно. С таким человеком трудно соревноваться...

[Nataly-Mak]

dimkadimon
это была шутка. Ваши улучшения, конечно, хорошие.

Огорчает другое: участники вообще замолчали, кроме вас и Wes.
Возникает такая мысль, что они просто подавлены результатами лидера и прекратили решать задачу.
Ну, пусть сильный лидер. Так что мешает решать задачу и выкладывать свои решения? Но я не вижу новых решений ни у кого, кроме вас двоих.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #740940 писал(а):

Вообще-то преобразование Россера работает и для порядков кратных 2
Только это преобразование имеет не такой вид, как преобразование для квадратов простых порядков.

Продолжу...

Для N=8 преобразование Россера тоже работает.
Оно имеет вид:

$A(i,j) = B(2i - j, -3i + 2j)$

При этом исходный примитивный квадрат 8х8 должен удовлетворять дополнительным условиям, аналогичным условиям для примитивного квадрата 4х4, приведённым в цитированном сообщении svb чуть выше. То есть из любого примитивного квадрата 8х8 вы не получите с помощью данного преобразования пандиагональный квадрат.
Между прочим, строить примитивный квадрат с дополнительными условиями проще, чем без всяких условий. Дополнительные условия уменьшают количество свободных переменных.
Так что, это хороший алгоритм (подробно описан здесь).

И вот пример. Это исходный примитивный квадрат из (различных) произвольных натуральных чисел, удовлетворяющий нужным условиям:

11 23 53 101 233 221 191 143
19 31 61 109 241 229 199 151
37 49 79 127 259 247 217 169
73 85 115 163 295 283 253 205
145 157 187 235 367 355 325 277
137 149 179 227 359 347 317 269
119 131 161 209 341 329 299 251
83 95 125 173 305 293 263 215

Применяем указанное преобразование Россера и получаем такой пандиагональный квадрат 8-го порядка:

259 253 145 179 341 263 11 61
277 149 209 293 143 31 127 283
161 305 191 19 79 295 325 137
221 151 49 163 355 269 131 173
37 115 367 317 119 125 233 199
235 347 251 95 101 229 169 85
299 83 53 241 217 73 187 359
23 109 247 205 157 227 329 215

Я получила своё решение для N=8 (S=1584) по другому алгоритму. Это моё лучшее решение. А похуже решения получила построением по решёткам.

Таким образом, имеем как минимум три алгоритма построения нетрадиционного пандиагонального квадрата 8-го порядка.
Выбирайте на свой вкус

[Nataly-Mak]

Цитата:

1 15.00 Jarek Wroblewski Wroclaw, Poland 28 Jun 2013 03:28
2 7.18 Wes Sampson La Jolla, California, United States 27 Jun 2013 01:56

Разница почти 8 баллов!
3 балла - за решения для N=14,17,19 и почти 5 баллов получены улучшением известных результатов. Грандиозно!

(Оффтоп)

В чём секрет такого успеха? Думаю, формула успеха простая: "ум+опыт (знания)+трудолюбие+техника".
Наберите в поиске "Jarek Wroblewski magic square", многое станет понятно.

Когда была опубликована головоломка о квадратах Стенли, я сразу же получила письмо от Wroblewski, в котором он сообщил о своих замечательных арифметических прогрессиях. Понятно, что из этих прогрессий можно построить квадраты Стенли порядков 17,19, что и было сделано (а из квадратов Стенли получаются пандиагональные квадраты).
Его сообщение заинтересовало и автора сайта Carlos Rivera и следом появилась вторая головоломка о квадратах Стенли - #682.

Этот пример очень показателен: Wroblewski всегда в курсе новых результатов, новых публикаций по интересующим его темам. Он читает, вникает, анализирует, применяет в своих работах, делится своими результатами с авторами публикаций. Это самая важная составляющая его успехов.

Я подробно рассказывала о головоломке #681 в теме "Антимагические квадраты", более того, Pavlovsky принял участие в превращении построенных мной (из арифметических прогрессий Wroblewski) квадратов Стенли в пандиагональные квадраты.
Поэтому я была очень удивлена, что этот источник (головоломка #681) был найден Pavlovsky не сразу.

В конкурсе "Магический квадраты - ёмкости для воды" Wroblewski не занял высокого места, но им получено несколько рекордных результатов для больших N. Это значит, что он придумал эффективный алгоритм решения задачи для больших N.

Так что, успех в текущем конкурсе вполне закономерен.

"Знай и умей!"

P.S. В своей теме "Магические квадраты" я частенько нахожу сообщения "Мне тема квадратов неинтересна." И сегодня нашла такое сообщение. Это многое объясняет. Могут ли авторы подобных сообщений вообще хоть как-то, хоть с какой-нибудь стороны принять участие в конкурсе, связанном с магическими квадратами? Риторический вопрос.
Для иностранцев тема тяжела (они не могут читать по-русски), для русских тема неинтересна...
Но кто-то её всё-таки читает, количество просмотров растёт.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #741069 писал(а):

Огорчает другое: участники вообще замолчали, кроме вас и Wes.
Возникает такая мысль, что они просто подавлены результатами лидера и прекратили решать задачу.
Ну, пусть сильный лидер. Так что мешает решать задачу и выкладывать свои решения? Но я не вижу новых решений ни у кого, кроме вас двоих.

Не знаю как другие, я работаю как обычно. Неспешно исследую задачу, в соответсвии с планом исследований.

1) Поиск регулярных решений для N=13,17,19
2) Поиск решений, где возможны решетки (N=12,14,15,16,18,20).
3) Поиск решения для N=9
4) Поиск нерегулярных решений.

По пункту 1 ожидаю результатов в ближайшее время.

[Nataly-Mak]

Pavlovsky в сообщении #741202 писал(а):

Не знаю как другие, я работаю как обычно. Неспешно исследую задачу, в соответсвии с планом исследований.

Это радует.

Цитата:

1) Поиск регулярных решений для N=13,17,19

Почему пропущено N=11? Это решение тоже хорошо поддаётся улучшению.
А, поняла: вы включили этот порядок в пункт 4. Наверное, это правильно.
Если верить J. K. Andersen, минимальное регулярное решение имеет магическую константу 18191. Тут уже нечего искать.

Цитата:

2) Поиск решений, где возможны решетки (N=12,14,15,16,18,20).

Да, по этому пункту у вас есть замечательное авторское решение для N=10, полученное задолго до конкурса.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #741203 писал(а):

Почему пропущено N=11? Это решение тоже хорошо поддаётся улучшению.

http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_681.htm

Цитата:

This is probably minimal for 11 but has not been fully proven:
(11,18191): (23,89,163,179,331,569,613,859,1153,2063,2531)
+ (0,18,48,78,270,378,1128,1140,1698,2220,2640)

Цитата:

(11,18191) has been proved minimal for d=11.

Минимальность регулярного решения (11,18191) доказана?

-- Пт июн 28, 2013 10:13:07 --

Nataly-Mak в сообщении #741203 писал(а):

А, поняла: вы включили этот порядок в пункт 4.

Скорее всего до пункта 4 я не доберусь. Там надо очень много кодить, практически с нуля, с минимальными шансами на успех.