Решение уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика

[Helium]

espe в сообщении #736508 писал(а):

Я не понял какое решение и как Вы собрались проверять, но если из полной энергии вычесть потенциальную, то получится кинетическая или в релятивистском случае $mc^2/\sqrt{1-v^2/c^2}.$

Есть уравнение вида $\Delta \psi +\frac{1}{{\hbar}^{2}{c}^{2}}\left[{\left(E-U \right)}^{2}-{m}^{2}{c}^{4} \right]\psi =0 $ Вы утверждаете что $E=\frac{m{c}^{2}}{\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}}+U,$ если теперь подставим это значение в уравнение то $U$ сокращается $+U-U=0$

А для релятивистской кинетической энергии в учебниках пишут другую формулу $mc^2/\sqrt{1-v^2/c^2}-mc^2$ т.е. минус энергия покоя.

[espe]

Helium в сообщении #736511 писал(а):

Есть уравнение вида $\Delta \psi +\frac{1}{{\hbar}^{2}{c}^{2}}\left[{\left(E-U \right)}^{2}-{m}^{2}{c}^{4} \right]\psi =0 $ Вы утверждаете что $E=\frac{m{c}^{2}}{\sqrt{1-\frac{{v}^{2}}{{c}^{2}}}}+U,$ если теперь подставим это значение в уравнение то $U$ сокращается $+U-U=0$

И в чём вопрос? В нерелятивистском уравнении Шрёдингера тоже самое.

Helium в сообщении #736511 писал(а):

А для релятивистской кинетической энергии в учебниках пишут другую формулу $mc^2/\sqrt{1-v^2/c^2}-mc^2$ т.е. минус энергия покоя.

Правильно пишут. Только я для релятивстского случая слово кинетическая не написал.

[Helium]

Как будет выглядеть условие для связанных состоянии атома водорода для уравнения Клейна-Гордона? И закон сохранения полной средней энергии?

[espe]

Helium в сообщении #739010 писал(а):

Как будет выглядеть условие для связанных состоянии атома водорода для уравнения Клейна-Гордона?

Посмотрите Wachter A. Relativistic Quantum Mechanics, раздел 1.5.4., $E^2<m^2c^4$

Helium в сообщении #739010 писал(а):

И закон сохранения полной средней энергии?

$E=\operatorname{const}$

[Helium]

По поводу закона сохранения энергии я имел ввиду какую формулу нужно использовать? По аналогии с уравнением Шредингера для основного состояния

$E=<{E}_{kin}>+<U>$ $<{E}_{kin}>=13.6eV$ $<U>=-27.2eV$ получается полная энергия равна $E=-13.6eV$ и это значение интерпретируется как энергия связи.

Теперь для уравнения Клейна-Гордона можем записать? $E=\sqrt{<{P}^{2}>{c}^{2}+{m}^{2}{c}^{4}}+<U>$ и при этом энергия $E$ опять будет энергией связи?

[Munin]

Нет, разумеется, вы должны добавить $m_e c^2$ - это энергия электрона на бесконечности, от которой отсчитывается энергия связи.

[Lvov]

Цитата:

Lvov:
Стационарное УКГ для пространственной составляющей волновой функции в рассматриваемом случае вне потенциального ящика, где $U$ отлично от нуля, имеет вид

$$\psi'' - [(E-U)^2-m^2]\psi=0.$$

Helium:
Во многих местах уравнение приводится в виде

$$\Delta \psi +\frac{1}{{\hbar}^{2}{c}^{2}}\left[{\left(E-U \right)}^{2}-{m}^{2}{c}^{4} \right]\psi =0 $$

Какая форма верна со знаком "+" или со знаком "- " ?

espe:
Должно быть

$$\Delta\psi-m^2\psi+\ldots=0.$$

Так что в уравнении у Lvov точно есть по крайней мере одна опечатка.

Munin:
Обе верны, они отличаются только разными соглашениями о знаках.

Уважаемые участники форума. Во-первых, извиняюсь, что я долго не заглядывал в свою тему, считая ее завершенной, и поэтому упустил возобновление дебатов. Во-вторых, я действительно допустил грубую ошибку в формуле для одномерного уравнения Клейна-Гордона, поставив неверный знак "-" вместо знака "+" перед коэффициентом при $\psi$-функции. Но поверьте, - это моя описка, все расчеты я проводил с правильным знаком.
О волновых функциях и энергиях для микрочастицы в потенциальном ящике с высоким заграждающим потенциалом я напишу в следующем сообщении.
С уважением О.Львов

[Lvov]

Цитата:

Lvov:
О волновых функциях и энергиях для микрочастицы в потенциальном ящике с высоким заграждающим потенциалом я напишу в следующем сообщении.

Для упрощения формул полаем $\hbar = 1$ и $c=1$.
Вместо потенциального ящика сначала рассмотрим прямоугольный потенциальный барьер с заграждающим уровнем энергии $U$. Пусть в сторону барьера движется волна $\psi_1 = a_1 \exp( i E t - i p_1 x)$, за барьером же волновая функция имеет вид $\psi_2 = a_2 \exp( i E t - i p_2 x)$, где $E$ - полная релятивистская энергия частицы, а $p_1$ и $p_2$ - ее импульсы до и после прохождения барьера.
В соответствии с уравнением Клейна-Гордона до и после барьера выполняются равенства

$$E^2 - p_1^2 = m^2$$

и

$$(E-U)^2 - p_2^2 = m^2.$$

Из второго равенства вытекает следующая формула для $p_2$:

$$ p_2=+/-\sqrt{(E-U)^2-m^2}.$$

Анализ подкоренного выражения показывает, что оно положительно при $U < (E-m)$ и $U>(E+m)$.
То есть при сравнительно малом заграждающем потенциале и при весьма большом указанном потенциале существует волна, проникающая за барьер. Ее амплитуду и фазу можно выразить через показатели падающей волны, приравнивая на границе раздела функции $\psi_1$ и $\psi_ 2$ и их первые производные. Парадоксален тот факт, что при заданном уровне энергии и очень высоком заграждающем потенциале волна снова начинает проходить сквозь барьер.
При промежуточном значении заграждающего потенциала подкоренное значение отрицательно и величина $p_2$ получается мнимой. Т.е. в этом случае за барьером мы имеем дело с координатно-зависимой экспоненциальной функцией действительного аргумента. При этом из соображений физической реальности выбор знака перед корнем должен обеспечивать затухание волновой функции. Таким образом, в рассматриваемом случае промежуточного заграждающего уровня мы имеем дело с полным отражением частицы от заграждающего барьера.

Пусть теперь мы имеем дело с потенциальным ящиком с заграждающими потенциалами $U$. Здесь При удержании частицы внутри ящика бегает прямая и обратная $\psi$-волна, причем значение ее энергии зависит от размера ящика и уровня запирающего потенциала. Из вида вышеприведенного подкоренного выражения следует одно из условий удержания частицы внутри ящика $E>(U-m)$. Из этого условия следует парадоксальный факт: внутри любого ящика с очень высоким заграждающим потенциалом $U>2m$ невозможно удержание частицы с достаточно низкой энергией, но в то же время возможно удержание частицы с достаточно высокой энергией.

С уважением О.Львов

[Munin]

(Оффтоп)

Знак "плюс-минус" пишется \pm: $p_2=\pm\sqrt{(E-U)^2-m^2}.$

[Lvov]

Цитата:

Munin:
Знак "плюс-минус" пишется \pm: $p_2=\pm\sqrt{(E-U)^2-m^2}.$

Г. Munin, благодарю за подсказку по части Тех. Хуже, что у меня недостаточно точное изложение парадоксов, вытекающих из уравнения К-Г.

[Munin]

Да не вытекает из него парадоксов вообще. Уравнение как уравнение. Вытекают из него решения в разных гранусловиях, вот и всё.

[Lvov]

Цитата:

Munin:
Да не вытекает из него парадоксов вообще. Уравнение как уравнение. Вытекают из него решения в разных гранусловиях, вот и всё.

Все верно, вытекают разные решения. Но вот некоторым специалистам, например Клейну, определенные решения показались странными. Он обратил на них внимание ученых, и их назвали парадоксом Клейна.

[Munin]

Вот это и есть "парадокс Клейна" - в единственном числе, с именем, и в кавычках. А что вы произнесли:

Lvov в сообщении #739977 писал(а):

у меня недостаточно точное изложение парадоксов, вытекающих из уравнения К-Г.

- этого, повторяю, вообще в природе нет.

[Helium]

С этим уравнением все таки один неясный момент существует. Не знаю парадокс это или не парадокс. Речь идет о решениях для атома водорода в состояниях типа квазинейтрон или по другому называется гидрино. Эти решения отбрасываются с формулировкой не физичность. Не понятно почему?

[Munin]

Что это за решения? Ссылку, если можно.