Решение уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика

[Lvov]

Хорошо известно решение уравнения Шредингера для одномерного потенциального ящика. При относительно малой высоте энергетических стенок ящика частица в ящике не локализуется. При высоте стенок большей некоторого порогового значения частица локализуется в ящике. Внутри ящика волновая функция имеет синусоидальный характер. Вне ящика она экспоненциально затухает: тем быстрее, чем выше запирающий потенциал $U$. Все логично и понятно.

Но вот в случае, казалось бы, более точного релятивистского уравнения Клейна-Гордона наблюдаются непонятные особенности решения. При относительно малых энергиях запирания частицы решение здесь подобно решению уравнения Шредингера. Но при очень высокоэнергетических потенциальных стенках, а именно, при $U>Eo+E$ (здесь $Eo$ - энергия покоя частицы и $E$ -ее полная энергия), частица вновь не локализуется в потенциальном ящике.

Скорость экспоненциального затухания волны вне ящика здесь определяется коэффициентом $g=\sqrt{Eo^2-(E-U)^2}$. Этот коэффициент имеет действительные значения в диапазоне изменения запирающего потенциала $(E-Eo)<U<(E+Eo)$. Он достигает максимума при $U=Eo$ и симметрично снижается при отклонении запирающего потенциала $U$ от этого значения в любую сторону.

Обращаюсь к просвещенным знатокам квантовой физики. В чем здесь дело? В доступной литературе и интернете я не нашел решения уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика и, естественно, ответа на мой вопрос.

С уважением, О.Львов

[Munin]

А это не то же самое, что парадокс Клейна, наиболее известный для уравнения Дирака?

[Утундрий]

Lvov в сообщении #724830 писал(а):

В чем здесь дело?

В ограниченности одночастичной интерпретации.

[ewert]

Lvov в сообщении #724830 писал(а):

Хорошо известно решение уравнения Шредингера для одномерного потенциального ящика. При относительно малой высоте энергетических стенок ящика частица в ящике не локализуется.

Локализуется.

[Lvov]

Сначала попрошу извинения за ошибку (описку) в моем утверждении, что кривая зависимости коэффициента затухания $g$ от высоты запрещающего барьера $U$ симметрична относительно точки $U=Eo$. На самом деле она симметрична относительно точки $U=E$.

Цитата:

Munin :
А это не то же самое, что парадокс Клейна, наиболее известный для уравнения Дирака?

Замечу, что в случае электронного уравнения Дирака все приведенные мною соотношения для поведения частицы в потенциальном ящике, полученные для уравнения Клейна-Гордона, остаются в силе. С парадоксом Клейна я не знаком. Спасибо за подсказку - буду искать в интернете.

Цитата:

Утундрий :
В ограниченности одночастичной интерпретации.

Если я Вас правильно понял, уравнения Клейна-Гордона (УКГ) и Дирака не пригодны для точного описания одиночной частицы?

Цитата:

ewert
Локализуется.

Насколько мне известно, из монографий по теоретической физике, например Ландау-Лифшица (том 3) и Левича (том 2), частица не локализуется в потенциальном ящике с низкими энергетическими стенками ввиду наличия относительно большой кинетической энергии и, соответственно, импульса в нижнем квантовом состоянии, что подтверждается анализом решения уравнения Шредингера для рассматриваемого случая, а также соотношением неопределенности Гейзенберга.
В рассматриваемом случае УКГ отсутствие связанного состояния частицы при относительно низком запирающем потенциале также подтверждается аналитически.


С подачи г. Munin'а быстро нашел в Википедии статью о Парадоксе Клейна, который заключается в легком прохождении электронов через потенциальный барьер произвольно большой высоты ввиду образования электронно-позитронных пар. Эта интерпретация совпадает с утверждением г. Утундрия.
Все казалось бы, доказано, но не поддается логике. Почему электроны, вместо того, чтобы сдеть внутри очень высоких запирающих стенок с легкостью перепрыгивают через них, сгенерировав вокруг себя электронно-позитронные пары? И в тоже время они локализуются сравнительно низким запирающим потенциалом ($U<Eo+E$), не образуя никаких пар.

С уважением, О.Львов

[ewert]

Lvov в сообщении #724973 писал(а):

Насколько мне известно, из монографий по теоретической физике, например Ландау-Лифшица (том 3)

Из ЛЛ3 может быть известно лишь разве что противоположное -- что в одномерном случае связанное состояние существует в сколь угодно мелких ямах, причём независимо от формы ямы. Поскольку этот результат (на физическом уровне строгости), насколько помню, принадлежит самому Ландау (не помню только, где его искать).

То же самое верно и для двумерных ям. А вот начиная с трёхмерного случая в мелких ямах уровней уже действительно нет.

[lucien]

Lvov в сообщении #724830 писал(а):

Обращаюсь к просвещенным знатокам квантовой физики. В чем здесь дело?

Стандартное объяснение -- в таком поле происходит рождение пар частица-античастица и одночастичная интерпретация теряет смысл. Более наглядно все это объясняется в теории Дирака (там есть тот же эффект делокализации): при $U>mc^2+E$ происходит перекрытие нижнего континуума (моря Дирака) с верхним.

[Lvov]

Цитата:

ewert
Из ЛЛ3 может быть известно лишь разве что противоположное -- что в одномерном случае связанное состояние существует в сколь угодно мелких ямах, причём независимо от формы ямы.

В ЛЛ3 об отсутствии локализации частицы в одномерной неглубокой прямоугольной яме указано в задаче 2 к параграфу 22 "Потенциальный ящик" (изд.2, 1963). В монографии Левича, действительно, случай ямы конечной глубины не рассматривается.

Господа, по-моему, все вопросы выяснены. Тему можно закрыть.

С уважением О.Львов

[SergeyGubanov]

Lvov в сообщении #724830 писал(а):

... запирающий потенциал $U$...

А что конкретно означает буква $U$?

Она вот такая что ли:

$$ \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t} + U \right)^2 - \Delta \Psi = m^2 \Psi $$

или может быть вот такая:

$$ \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t} \right)^2 - \Delta \Psi = (m^2 + U^2) \Psi $$

или ещё какая? О чём, собственно, речь-то?..

Аналогично, хотелось бы узнать значение буквы $U$ применительно к уравнению Дирака.

[Lvov]

Цитата:

Lvov:
Господа, по-моему, все вопросы выяснены. Тему можно закрыть.

Извиняюсь, я поторопился с предложением закрыть тему. Формальное объяснение названо г. lucien -перекрытие нижнего континуума ("моря" Дирака) с верхним.
Но ведь континуумы перекрываются лишь в области верхнего энергетического уровня запрещающих стенок. Электрон же с низкой кинетической энергией будет находиться на дне энергетической ямы далеко от континуума позитронов. Так, что же мешает ему там задержаться надолго?

С уважением, О.Львов

-- 17.05.2013, 17:33 --

Цитата:

SergeyGubanov:
А что конкретно означает буква $U$?

Это - потенциальная энергия электрона за пределами запирающих стенок. $U=eAo$, где $e$ -заряд частицы, $Ao$ - запирающий электрический потенциал. Константы $c$ и $\hbar$ полагаются равными 1. Так. что будет верна первая формула Сергея, если волновую функцию вынести за скобки и сменить знак перед $m^2$.

После вопроса Сергея я, пожалуй, понял, почему низкоэнергетический электрон уплывает в позитронный континуум. Краевые "хвостики" волновой функции, хотя и очень малые, находятся в пределах высокоэнергетической зоны позитронного континуума, и постепенно затягивают сюда весь электронный заряд.
Прощу прощение за мои "нелепые" представления об электронных переходах. Я ведь сторонник материально-вероятностной интерпретации волновой функции.

С уважением, О.Львов

[ewert]

Lvov в сообщении #725087 писал(а):

В ЛЛ3 об отсутствии локализации частицы в одномерной неглубокой прямоугольной яме указано в задаче 2 к параграфу 22 "Потенциальный ящик" (изд.2, 1963).

А там ни разу не яма. Там односторонний барьер с лишь чуть-чуть добавкой ямы. И поскольку для просто барьера уровни отсутствуют с большим запасом -- естественно, добавление ямки ничего качественно не изменит. Т.е. это задача именно на барьер с примесью ямы, и ни разу не наоборот.

[warlock66613]

Lvov в сообщении #725103 писал(а):

Но ведь континуумы перекрываются лишь в области верхнего энергетического уровня запрещающих стенок. Электрон же с низкой кинетической энергией будет находиться на дне энергетической ямы далеко от континуума позитронов. Так, что же мешает ему там задержаться надолго?

Ничего не мешает, он там и задерживается. За пределами оказывается вновь рождённые частицы:

викимусорка в Парадокс Клейна писал(а):

С использованием компьютерного моделирования в квантовой теории поля было показано, что электрон полностью отражается от барьера

[Lvov]

Цитата:

ewert:
А там ни разу не яма. Там односторонний барьер с лишь чуть-чуть добавкой ямы. И поскольку для просто барьера уровни отсутствуют с большим запасом -- естественно, добавление ямки ничего качественно не изменит. Т.е. это задача именно на барьер с примесью ямы, и ни разу не наоборот.

В ЛЛ3 параграф 22 "Потенциальный ящик" (изд.2, 1963) во второй половине задачи 2 рассматривается потенциальный ящик с симметричными стенками. Именно здесь говорится, что при достаточно низких стенках ящика решения для локализованного электрона не существует.

Цитата:

warlock66613:
1. Ничего не мешает, он там и задерживается. За пределами оказывается вновь рождённые частицы:

2. викимусорка в Парадокс Клейна писал(а):
С использованием компьютерного моделирования в квантовой теории поля было показано, что электрон полностью отражается от барьера

Оставим последнее утверждение на совести физиков из Иллинойского университета, неизвестно какие дополнительные гипотезы они привлекали? Но факты таковы, что локализованного решения из уравнения Клейна-Гордона (УКГ) для электрона в потенциальном ящике с заграждающим потенциалом $(E-Eo)>U>(E+Eo)$ не следует.

Если же не привлекать дополнительные гипотезы о наличии перекрывающихся континуумов и рождения электронно-позитронных пар, то при указанном выше условии из УКГ следует решение в виде синусоидальных колебаний с разной пространственной частотой и амплитудой внутри и вне ящика. На величину энергии частицы никаких ограничений не накладывается, она лишь вместе с высотой заграждающего потенциала определяет соотношение пространственных частот, амплитуд и фаз колебаний внутри и вне ящика.
Например, если мы рассматриваем низкоэнергетические колебания, когда уровни единственной полуволны на границах яшика близки к нулю и $U>>P$, пространственная частота колебаний вне ящика относительно велика, а амплитуда этих колебаний мала. В этом случае потенциальный ящик выступает в роли концентратора внешних колебаний.

С уважением О.Львов

[ewert]

Lvov в сообщении #725321 писал(а):

Именно здесь говорится, что при достаточно низких стенках ящика решения для локализованного электрона не существует.

Не верю. Во всяком случае, как минимум начиная с 4-го издания там всё нормально. И трудно поверить, что во 2-м издании мог быть допущен такой грубый ляп.

[warlock66613]

Lvov в сообщении #725321 писал(а):

дополнительные гипотезы о наличии перекрывающихся континуумов и рождения электронно-позитронных пар

Это не гипотезы. То есть изначально ничего такого не закладывается. Просто решается уравнение Клейна - Гордона, но без одноэлектронного приближения. И получаемое решение показывает, что рождаются э-п пары.

Lvov в сообщении #725321 писал(а):

факты таковы, что локализованного решения из уравнения Клейна-Гордона (УКГ) для электрона в потенциальном ящике с заграждающим потенциалом $(E-Eo)>U>(E+Eo)$ не следует

Давайте вы сначала посчитаете честно, как физики из Иллинойского университета - без использования одноэлектронного приближения, а потом будете делать такие заявления?