Хорошо E что за энергия? Я думал что E это полная энергия т.е.

Это полная энергия, которая равна

см., например, ЛЛ-2, § 16, ф-ла (16,6), наша

там обозначена буквой

.
Но тогда выходит при включении релятивистских эффектов энергия уменьшается?
Если выполняется условие

, то да. Это следует отсюда

т.е. первая релятивистская поправка отрицательна.
Я думал энергия должна увеличиваться с ростом скорости.
С ростом скорости (импульса) разложение, написанное выше, перестаёт быть справедливым и тогда нельзя говорить о релятивистских поправках, надо либо точно решать или использовать какое-то другое приближение.