а где про это написано?
Слово "любой" в математике достаточно всеобъемлющее, чтобы избегать уточнений "в том числе...".
Именно так.
Тогда, например, множество отрезков
на вещественной прямой, где a и b - целые, является топологией, а множество таких же отрезков, но при условии, что
, не является, т.к. пересечениями непременно будут отрезки длины 1.
На клетчатом листе бумаги все фигуры из клеток (в том числе несвязные?) должны быть включены в семейство, чтобы стать топологией. Так?
На непрерывной же плоскости всё множество двумерных фигур, в том числе и одномерные, и все точки - образуют топологию.
Далее речь идёт о том, что элементы топологии открыты - видимо, все. Элемент топологии - множество, значит, речь идёт об открытости множеств, а определение открытости затрагивает элементы множеств. Или речь идёт об окрестностях множеств? Это что за зверь такой? И что такое окрестность элемента дискретного множества? Вот это - непонятно. Ведь непрерывность множеств никак не следует из определения топологии, значит, можем иметь дело и с дискретными. Как тогда понимать открытость?