Контрпримеры в теории множеств [топология]

[Alex_J]

В теории множеств большинство материала - определения, которые как снежный ком растут и растут, точнее как дерево или более сложный граф; и каждое следующее включает предыдущие, и чтобы понять что-то одно, нужно понимать всё предыдущее.

Для их понимания часто бывают нужны контрпримеры. Не говоря уже о примерах. Примеры более-менее легко строятся в большинстве случаев.

Контрпримеры же помогли бы понять сущность определения.


Итак.

"Топология - это семейство множеств, удовлетворяющее двум условиям: пересечение двух любых элементов семейства является элементом семейства и объединение элементов любого подсемейства семейства принадлежит семейству."
И объединение X всех множеств семейства - пространство топологии семейства. И семейство есть топология на X.

Как может пересечение двух множеств, принадлежащих семейству, не принадлежать семейству? Ведь все элементы этих двух множеств принадлежат семейству. И значит, элементы в пересечении принадлежат семейству также.

Или речь идет о другом? Нариусем три произвольных фигуры на листе бумаги (в том числе так, чтобы они по-всякому пересекались) и скажем, что вот ОНИ образуют семейство. Но чтобы они образовали топологию, нужно включить в семейство ещё и их попарные пересечения и объединения? А затем и пересечения и объединения пересечений и объединений, и т.д.? Это верное рассуждение?

Тогда - контрпример готов, и для начала хватит.

[ИСН]

Alex_J в сообщении #740095 писал(а):

Или речь идет о другом? Нариусем три произвольных фигуры на листе бумаги (в том числе так, чтобы они по-всякому пересекались) и скажем, что вот ОНИ образуют семейство. Но чтобы они образовали топологию, нужно включить в семейство ещё и их попарные пересечения и объединения? ...

Именно так.

[Oleg Zubelevich]

Alex_J в сообщении #740095 писал(а):

Топология - это семейство множеств, удовлетворяющее двум условиям: пересечение двух любых элементов семейства является элементом семейства и объединение элементов любого подсемейства семейства принадлежит семейству."

про пустое множество забыли

[apriv]

Oleg Zubelevich в сообщении #740100 писал(а):

про пустое множество забыли

Да вроде не забыли.

[Oleg Zubelevich]

а где про это написано?

[apriv]

Из двух приведенных условий следует, что пустое множество принадлежит этому семейству.

[Oleg Zubelevich]

докажите это плз

[apriv]

Предлагаю во втором условии взять объединение элементов пустого подсемейства.

[Oleg Zubelevich]

а почему пустое подсемейство входит входит в семейство?

[Alex_J]

Oleg Zubelevich в сообщении #740111 писал(а):

а где про это написано?

Слово "любой" в математике достаточно всеобъемлющее, чтобы избегать уточнений "в том числе...".

ИСН в сообщении #740099 писал(а):

Именно так.

Тогда, например, множество отрезков $[a,b]$ на вещественной прямой, где a и b - целые, является топологией, а множество таких же отрезков, но при условии, что $|a-b|>1$, не является, т.к. пересечениями непременно будут отрезки длины 1.

На клетчатом листе бумаги все фигуры из клеток (в том числе несвязные?) должны быть включены в семейство, чтобы стать топологией. Так?

На непрерывной же плоскости всё множество двумерных фигур, в том числе и одномерные, и все точки - образуют топологию.


Далее речь идёт о том, что элементы топологии открыты - видимо, все. Элемент топологии - множество, значит, речь идёт об открытости множеств, а определение открытости затрагивает элементы множеств. Или речь идёт об окрестностях множеств? Это что за зверь такой? И что такое окрестность элемента дискретного множества? Вот это - непонятно. Ведь непрерывность множеств никак не следует из определения топологии, значит, можем иметь дело и с дискретными. Как тогда понимать открытость?

[apriv]

Oleg Zubelevich в сообщении #740116 писал(а):

а почему пустое подсемейство входит входит в семейство?

Потому что в каждом множестве есть пустое подмножество.

[Oleg Zubelevich]

ну значит авторы учебников по топологии этого не знают

[Alex_J]

Oleg Zubelevich в сообщении #740119 писал(а):

ну значит авторы учебников по топологии этого не знают

Да хватит вам. Сказано "любое" - значит в том числе пустое. Сказано "кроме пустого"? Нет, не сказано.

[Oleg Zubelevich]

ну, вообще да, можно и так

[apriv]

Думаю, у многих авторов учебников имеется подсознательный страх перед понятием пустого множества.