Сила и энергия в методе изображений

[zask]

Имеется в виду задача о заряде, находящемся у бесконечной проводящей поверхности. Как известно, она сводится к задаче о двух зарядах, один из которых является фиктивным. Естественной координатой в исходной задаче является расстояние от заряда до плоскости - $x$.

Однако, при этом возникает одна трудность. Если вычислить энергию такой системы $U$ и силу $F$, действующую на заряд, то обычное соотношение не работает

$F \neq - \dfrac{\partial U}{\partial x}$.

Это очевидно, поскольку картинка с фиктивным зарядом дает

$F = - \dfrac{\partial U}{\partial 2x}$.

Как лучше подавать это студентам? Через формализм Лагранжа не хотелось бы.

[DimaM]

Я обычно приговариваю, что энергия вдвое меньше, чем из взаимодействия двух зарядов. Потому что энергия в поле, а поле в половине пространства отсутствует.
После чего получается нормально $F=-\dfrac{\partial U}{\partial x}$.

[zask]

DimaM в сообщении #739812 писал(а):

Я обычно приговариваю, что энергия вдвое меньше, чем из взаимодействия двух зарядов. Потому что энергия в поле, а поле в половине пространства отсутствует.

Плохо, поскольку численно энергия такая же как у полного поля.

[DimaM]

zask в сообщении #739854 писал(а):

численно энергия такая же как у полного поля

Можете развить мысль?
По моим представлениям, энергия вдвое меньше, ибо поле есть только с одной стороны плоскости.

[zask]

Потенциал поля фиктивного заряда в точке нахождения реального заряда точно такой же, как и в случае двух частиц. Поэтому и энергия такая же, разве нет?

-- 24.06.2013, 15:34 --

Похоже, такую систему надо рассматривать как систему со связями (в варианте с фиктивным зарядом) и решать через какие-нибудь ур-я Аппеля. (Ну или Лагранжа, как уже говорилось.)

[GAttuso]

Обсуждалось на соседнем форуме.
Вот тут.
См. сообщение student_kiev и далее Mipter'a

[zask]

GAttuso в сообщении #739880 писал(а):

Обсуждалось на соседнем форуме.
Вот тут
.
См. сообщение student_kiev и далее Mipter'a

Ну они, собственно, в итоге констатируют то, что я сразу сказал. Я задавал вопрос не об этом, а о подаче.

[GAttuso]

Тогда пардон.
От себя (как от студента) могу сказать, что тоже столкнулся с трудностями при решении этой задачи двумя разными методами, которые привели к разным ответам. Вышеприведенные объяснения полностью прояснили мне ситуацию.

[zask]

GAttuso в сообщении #739902 писал(а):

Вышеприведенные объяснения полностью прояснили мне ситуацию.

Да, но там нет ответа как связать силу и энергию?

[olenellus]

Правильно считать энергию.

Кстати, а что эти студенты уже знают?

[GAttuso]

zask в сообщении #739719 писал(а):

Если вычислить энергию такой системы $U$ и силу $F$, действующую на заряд, то обычное соотношение не работает

Почему же не работает? Работает, только теперь имеется совсем другая система, система двух зарядов, и для нее все выполняется. Когда получен численный ответ просто нужно вернуться к первоначальной системе и отбросить лишнее (т.е. энергию затраченную на перемещение фиктивного заряда - т.к. в данном случае эта работа совершается "даром", заземленной плоскостью).

[zask]

Не работает в том смысле, что работа не равна силе, проинтегрированной по перемещению. И это требует осмысления и обобщения подхода. Кунштюки, которые Вы описали, как Вы, очевидно, понимаете, мне известны. Их недостаток именно в частном характере постановки.

-- 24.06.2013, 19:21 --

olenellus в сообщении #739928 писал(а):

Правильно считать энергию.

Это что: предложение, утверждение, партийный лозунг? Энергия считается как потенциал, умноженный на заряд. Это что, неправильно по-Вашему?

olenellus в сообщении #739928 писал(а):

Кстати, а что эти студенты уже знают?

Это математики 4-го курса, изучают общую физику. Механику уже забыли.

[olenellus]

zask в сообщении #739936 писал(а):

Это что: предложение, утверждение, партийный лозунг?

Студенты-математики, добьёмся правильного понимания электродинамики!
Ширьте фронт физически грамотных математиков!
Каждый просчёт в вычислении потенциальной энергии системы зарядов снижает эффективность народнохозяйственного плана по электрификации!

zask в сообщении #739936 писал(а):

Энергия считается как потенциал, умноженный на заряд. Это что, неправильно по-Вашему?

Мне кажется, Вы путаете заряд в задаче с пробным зарядом. Для произвольной системы зарядов потенциальная энергия считается так: $U=\dfrac12\sum\limits_i q_i\varphi_i$, где $\varphi_i$ — это потенциал, создаваемый остальными зарядами в точке нахождения $i$-ого заряда. В данном случае вклад в энергию взаимодействия от заряда в полупространстве такой же, как и вклад каждого отдельного заряда в системе двух зарядов на удвоенном расстоянии по сравнению с расстоянием от заряда до плоскости. Вклад от поверхностных зарядов на плоскости нулевой, так как каждый из них сидит на поверхности нулевого потенциала (и вот здесь уже каждый из них можно считать пробным). В итоге получаем $U=-\dfrac{q^2}{4x}$, где $x$ — расстояние до пластины, а $q$ — величина одиночного заряда.

zask в сообщении #739936 писал(а):

Не работает в том смысле, что работа не равна силе, проинтегрированной по перемещению.

Всё там работает, если использовать правильное выражение для энергии.
$F_x=-\dfrac{\partial U}{\partial x}=-\dfrac{q^2}{4x^2}=-\dfrac{q^2}{(2x)^2}$

[Munin]

olenellus в сообщении #739967 писал(а):

Студенты-математики, добьёмся правильного понимания электродинамики!
Ширьте фронт физически грамотных математиков!
Каждый просчёт в вычислении потенциальной энергии системы зарядов снижает эффективность народнохозяйственного плана по электрификации!

Не, не так.

Студенты-математики, добьёмся калибровочной инвариантности электродинамики! Соблюдайте нулевую вариацию!
Ширьте фронт светового конуса! Перекуём запаздывающую функцию Грина в опережающую!
Потенциальную энергию - в кинетическую! Нет - застою, да - движению!
Распространим возмущения по гиперболическим и параболическим уравнениям! Направим волну молодёжного движения вдоль характеристик!
Сплотим дискретный спектр в непрерывный! Вольём одночастичные возбуждения в коллектив!
Шире применяйте интегрирование по ансамблю художественной самодеятельности!
Доведём ускорение в синхротронах до небывалых показателей быстроты!
Перестройка должна произойти в каждой динамической системе!

[olenellus]

(Оффтоп)

Отсмеялся и утащил в цитаты.

Это нужно вешать в кабинетах и аудиториях! Ваши лозунги совершенно правильны, если исключить явную хохму. Студентам-математикам на 4-м курсе надо преподавать не общую физику, а правильную физику, корректно основанную на математике, которую они уже освоили.