Частично хочу аннулировать самобичевание. Как справедливо указал
olenellus, задачу можно решить в рамках обычных электростатики+механики, если рассматривать систему реальных зарядов (обособленный заряд плюс поверхностные заряды на плоскости).
Однако, можно таки рассмотреть систему с фиктивным зарядом и решать через ур-я Аппеля.
Вводим систему координат с началом на плоскости.

координата реального заряда,

- фиктивного.
Система голономна. Уравнение связи

"Энергия ускорений"

Элементарная работа

Обобщенная координата

Подставляя в выражение для работы

и используя связь

, получаем

т.о., обобщенная сила (

) таки не равна реальной силе

. (Но здесь энергия вдвое больше энергии в задаче о заряде и плоскости.)
(Ур-я Аппеля, см. Е.Н. Березкин, "Курс теоретической механики", 1974, но проще смотреть по Wiki, которая на него и ссылается.)
=====
Наконец, чтобы закончить. Ландау в своем стиле (повторюсь, ЛЛ, т.8, 2005, с. 34, задача №6 о диполе около поверхности). Вместо того, чтобы честно посчитать энергию (т.е., включить энергию взаимодействия поверхностных зарядов между собой), он умножает диполь на поле фиктивного диполя и обзывает это "энергией притяжения". Хороший способ запудрить студентам (и не только) мозги!