Сила и энергия в методе изображений

[Munin]

olenellus в сообщении #740908 писал(а):

В этом и прелесть "метода изображений".

Не может в этом быть прелести, поскольку он даёт только поле.

olenellus в сообщении #740908 писал(а):

Комбинация этих двух факторов оставляет силу неизменной.

Хорошо. Убедительно.

А теперь, отражение заряда в сфере.

И, отражение заряда в границе диэлектриков (случаи плоскости и сферы).

Что будет?

[olenellus]

С отражением заряда в заземлённой сфере будет то же самое, но там такой эффект получается от-того, что меняется не только расстояние (которое уже не равно удвоенному расстоянию до сферы), но и величина фиктивного заряда. Получается точно такая же сила, как если бы фиктивный заряд был настоящим. Но это тоже частный случай.

Я так и не смог доказать ничего для общего случая и сдался... Может, подумаем вместе? Надо как-то правильно учесть в энергии и изменение положений фиктивных зарядов, и изменение их величин. Ещё как-то должна фигурировать связь, гарантирующая нулевой потенциал на поверхности проводника... Можно начать со случая с осевой симметрией (одномерная задача).

С диэлектриком метод изображения, кажется, не работает, так как в общем случае поверхность диэлектрика не является поверхностью уровня для потенциала.

[Munin]

olenellus в сообщении #742285 писал(а):

С диэлектриком метод изображения, кажется, не работает, так как в общем случае поверхность диэлектрика не является поверхностью уровня для потенциала.

С диэлектриком метод изображений работает, но отражённый заряд меньше по величине, чем если бы отражение было в проводнике. Доказать можно через суперпозицию (двух решений - с проводником и в отсутствие проводника, что эквивалентно диэлектрикам с $\varepsilon=\infty$ и $\varepsilon=0$).

Насчёт общего случая - надо как-то использовать общие свойства задачи, например то, что на поверхности проводника заряд ноль, а суммарная величина отражённых зарядов равна $-q.$ Можно использовать то, что если заряды с отражениями поменять местами, то получится та же задача. Но дальше надо думать.

[zask]

olenellus в сообщении #742285 писал(а):

Я так и не смог доказать ничего для общего случая и сдался...

Какая точная формулировка задачи?