Найти продолжение функционала

[Oleg Zubelevich]

Otta в сообщении #738457 писал(а):

Он что, сподобился непрерывность в определение загнать? только сейчас разглядела. Как-то оно не есть хорошо.

все хуже гораздо, поскольку Люстерник-Соболев говорит там не про метризуемое пространство , а просто про топологическое линейное, то это даже не определение непрерывности

[Otta]

Oleg Zubelevich в сообщении #738458 писал(а):

все хуже гораздо, поскольку Люстерник-Соболев говорит там не про метризуемое пространство , а просто про топологическое линейное, то это даже не определение непрерывности

Да, я тоже обратила внимание. Осталось переварить, что это такое.

[Oleg Zubelevich]

по-моему это банальный ляпсус, который можно найти почти в любом учебнике даже очень хорошем, даже очень крупного математика.

-- Ср июн 19, 2013 21:12:57 --

некоторое время назад мы с Sinus обнаружили ляпсус у Колмогорова-Фомина topic62610.html

[Toucan]

Oleg Zubelevich в сообщении #738368 писал(а):

truestyle в сообщении #738367 писал(а):

Для того, чтобы воспользоваться теоремой Хана - Банаха

Oleg Zubelevich, замечание за бессодержательное сообщение.

[Otta]

Oleg Zubelevich

(Оффтоп)

Хы! А в Зориче сколько опечаток! Даже совсем непростительных, в определениях. Помнится, в определении непрерывности в точке опечатка. Причем в старых изданиях. Вот где действительно надо их все изничтожать, потому что на первом курсе у народа критичности почти и нет, одна обалделость, ведь так и выучивают.

[Ales]

truestyle в сообщении #738367 писал(а):

Как я понимаю, это есть некая функция двух переменных, обозначим её $g(x_1, x_2)$,
удовлетворяющая условиям:

Линейная функция: $ax_1+bx_2$, которая на прямой $x_2=2x_1$ равна $x_1$.

[cool.phenon]

Otta
Oleg Zubelevich
Спасибо, вы мне открыли глаза. Честно, думал, что таким учебникам доверять можно. Но, вообще говоря, сомнение возникло, в Колмогорове и Канторовиче совсем иначе написано. И преподаватель то же самое диктовал. Никому доверять нельзя. Надеюсь, вы меня за это не закидаете камнями

[truestyle]

Ales в сообщении #738482 писал(а):

Линейная функция: $ax_1+bx_2$

почему именно такого вида ?

[Otta]

cool.phenon

(Оффтоп)

:mrgreen: https://www.youtube.com/watch?v=nThKW7QKgkI

-- 20.06.2013, 00:05 --

truestyle в сообщении #738507 писал(а):

почему именно такого вида ?

А каков общий вид линейного функционала над Вашим пространством?

[truestyle]

Otta в сообщении #738509 писал(а):

А каков общий вид линейного функционала над Вашим пространством?

По теореме Рисса имеет вышенаписанный вид, но там речь про гильбертово пространство, а у нас евклидово. Или $E^2$ является гильбертовым ?

[Otta]

truestyle
Во-первых, ей без разницы, гильбертово или евклидово.
Во-вторых, терминология тут до сих пор неоднозначна, и кто-то определяет гильбертовы как (обязательно) бесконечномерные со скалярным произведением, полные относительно него, а кто-то слово "бесконечномерные" опускает. Второй подход, имхо, естественней, евклидовы попадают в класс гильбертовых автоматически. Но первый встречается чаще, и как-то более принято их разделять.
В-третьих, тут даже теорема Рисса ни к чему, достаточно вспомнить математический анализ. Не так уж много линейных отображений из $\mathbb R^2$ в $\mathbb R$.

[truestyle]

Otta в сообщении #738515 писал(а):

Во-первых, ей без разницы, гильбертово или евклидово.

Да, только, что обнаружил тот факт, что евклидово пространство полно.

Если я все правильно понял, то решение можно построить следующим способом.

Составим систему:
$\left\{ \begin{aligned} <x, f> = (x,y)\\ ||f|| = ||y||\\ 2x_1 = x_2 \end{aligned} \right.$

Далее, раскрывая всё, что можно и ,возводя второе равенство в квадрат:

$\left\{ \begin{aligned} x_1 y_1 + x_2 y_2 = x_1\\ y_1^2 + y_2^2 = \frac{1}{5}\\ 2x_1 = x_2 \end{aligned} \right.$

Решая систему, получаем, что $y_1 = \frac{1}{5}, y_2 = \frac{2}{5}$. Соответственно вид нового функционала: $<x,f> = \frac{1}{5}y_1 + \frac{2}{5}y_2$

Otta в сообщении #738515 писал(а):

тут даже теорема Рисса ни к чему

Она как раз-таки говорит нам, что такой элемент единственный, а в задаче заодно и единственность доказать требуют.

[Otta]

truestyle в сообщении #738531 писал(а):

Она как раз-таки говорит нам, что такой элемент единственный, а в задаче заодно и единственность доказать требуют.

Вы же его и так получили. Единственный.
Только на иксы игреки в продолжении функционала замените.

[truestyle]

Otta в сообщении #738537 писал(а):

Только на иксы игреки в продолжении функционала замените.

Да, я опечатался просто.

[Ales]

truestyle в сообщении #738531 писал(а):

Да, только, что обнаружил тот факт, что евклидово пространство полно.

У Фейнмана (и Арнольда) это называется - "Бразильская система обучения".
Может, это Люстерник-Соболев виноват?

-- Чт июн 20, 2013 21:57:56 --

Надо сначала матан изучать, а потом уже функан.
И надо понимать для чего этот функан нужен:
что эти банаховы-гильбертовы пространства,
это только лишь пространства функций.
Что основной инструмент - это функциональные ряды и интегралы.
И в конечном счете это нужно для доказательств теорем существования и единственности задач урматфиз.