Мне сказали, что для начального профиля скорости (импульса) можно использовать четное продолжение.
Правильно ли вы поняли? Была ли там речь о чётности именно на границе, или о чём-то другом? Формула сильно поможет.
так все это от того что я не понимаю как надо продолжать за границы струны профиль начальных скоростей
Это определяется
граничными условиями, которые должны быть заданы дополнительно к самому уравнению струны. Граничные условия бывают нескольких типов, чаще всего рассматриваются такие:
-

(в общем случае

) - условие первого типа, для струны соответствует закреплённому концу струны;
-

(в общем случае

) - условие второго типа, для струны соответствует свободному концу струны;
-

(в общем случае

) - условие третьего типа, для струны соответствует концу струны, закреплённому на пружине конечной жёсткости.
Для струны можно рассмотреть также:
-

- соответствует свободному концу струны с прикреплённой массой.
Но переходя от переменной

к переменной

можно привести это условие к условию третьего типа.
Короче, какое именно будет граничное условие, зависит от физического условия, поставленного на границе.
Эти граничные условия дают определённые типы отражения волн:
- условие первого типа отражает волны с обратным знаком, для гармонических волн - говорят, с изменением фазы на

, с потерей половины волны;
- условие второго типа отражает волны с неизменным знаком, для гармонических волн - говорят, без потери половины волны;
- условие третьего типа отражает гармонические волны с изменением фазы на
