Теория деления на ноль. И опровержение аксиомы.

[tolstopuz]

Кардановский писал(а):

ДО СОВЕРШЕНИЯ ЭТОЙ ОПЕРАЦИИ ВНУТРИ СКОБОК МЫ С ПОЛНЫМ ПРАВОМ МОЖЕМ ДЕЛИТЬ НА (m-n) ЧТО УГОДНО ИЗ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ! ПОСЛЕ ЖЕ СОВЕРШЕНИЯ ОПЕРАЦИИ ВНУТРИ СКОБОК, МЫ ТЕРЯЕМ ЭТО ПРАВО ДЕЛИТЬ!?

Да ладно, тут все просто. $\frac{1}{m-n}$ - не число, а рациональная функция от двух переменных, принадлежащая полю рациональных функций $\mathbb{R}(m,n)$. В этом поле можно делить на любое рациональное выражение от $m$ и $n$, кроме тождественного нуля. А в числа дроби превращаются с помощью отображения "вычисления" $\mathbb{R}(m,n)\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}\dashrightarrow\mathbb{R}$, которое по выражению (дроби) и числам (значениям переменных) выдает число (результат). Это отображение определено не для всех комбинаций выражения и значений переменных.

[нг]

Кардановский
Не кричите (капслокинг), пожалуйста. Для выделения к Вашим услугам есть курсив, жирный шрифт, цвет…

[Кардановский]

Думается, что от понятия 0 математикам нужно отказаться вообще! Ведь 0 -это то,чего нет! Т.е. изначально, при вводе в математический обиход этого понятия, оно уже содержало в себе логическую несуразицу! Естественно, в дальнейших математических операциях с 0 эта несуразица постоянно дает о себе знать в виде логических тупиков,для преодоления которых, приходится придумывать всякие искусственные приемы.Давайте введем понятие самого малого числа-числового кванта! Тогда многие противоречия снимутся сами собой!

[bot]

Кардановский писал(а):

Думается, что от понятия 0 математикам нужно отказаться вообще! Ведь 0 - это то, чего нет!

Заглядываю в кошелёк - там денег ни х..., пардон, ни кванта - ага, значит их нет ... или всё-таки ... квантов? Это мне почти понятно, однако это не математика, а финансовая математика. С другой стороны, смотрю на экран - вижу 0, а его оказывается нет? Это наверно уже физика - в глазах не так отражается.
Поближе к математике: рисую овал, похожий на ноль, а ещё лучше просто окружность и спрашиваю: есть у этой окружности площадь или нету? Только не путайте круг с окружностью, как путал один желающий стать миллионером у Максима Галкина (случайно у экрана в этот момент оказался):
Чего нет у окружности?
а) радиуса
б) диаметра
в) длины
г) площади

[dkanus]

2Кардановский
Сначала вы допустили, что m>n, значит на (m-n) можно делить. А когда вы сделали допущение, что m=n, предыдущий вывод оказался неподходящим по условию, однако вы им воспользовались. И ещё, если мы доподлинно знаем что m=n, то мы можем утверждать что (m-n)=0.

Моё мнение касательно нуля таково: нуль и бесконечность есть две крайности (предельные, идеальные сущности). Когда мы проводим операции сложения и им подобные, то мы получаем числа. 0 - величина бесконечна малая, следовательно берётся его предел - ничто. Бесконечность посути есть n/0 (где n-некое число). Предел бесконечности мы записать числом не можем, а значит не можем и делить на нуль (иначе результат нельзя будет складывать и т.п.). Когда мы вычисляем пределы это правило, соответственно, не работает и мы можем записать что предел 1/n при n стремящимся к нулю (ведь нуль всётаки предельная сущность) равен бесконечности.
P.S. Возможно я вырозился не совсем точно или забыл о чём-то упомянуть.

[Кардановский]

bot, dkanus: Я предлагаю,прежде чем дискутировать, что можно делать с 0,а чего с ним делать нельзя, определиться,по-возможности четче, что же такое этот 0! Насколько он,вообще правомерен, с точки зрения логики,с точки зрения непротиворечивости операций с ним,наконец,с точки зрения простого удобства в производстве математических операций. На мой взгляд, с тем,что обозначает НИЧТО,т.е. 0 ,если по логике, НЕВОЗМОЖНО НИКАК оперировать,например, пытаться делить,умножать и т.п.,да и вообще это понятие 0 абсурдно изначально. Ведь в человеческом природном окружении (из которого, в силу практической необходимости и последующих размышлений человека, и появилась научная дисциплина математика) попросту НЕ СУЩЕСТВУЕТ того,что можно было бы назвать термином НИЧТО,т.е. 0!

[dkanus]

2Кардановский
1)Математика не изучает природное окружение.
2)Как насчет так называемого вакуума? А пройти 0 км относительно столба?
3)Нуль, как я уже сказал (imho конечно же), есть понятие предельное, бесконечно малая величина (т.к. мы имеем дело не с пределами, то б.м. величина всё равно что ничего).
P.S. Факториал нуля вроде равен единице.

[bot]

Кардановский писал(а):

На мой взгляд, с тем,
что обозначает НИЧТО,т.е. 0 ,если по логике ...

Кто Вам это сказал? Ткните пальцем, где сказано о том, что 0 означает ничто. Опять же, что это за зверь такой - ничто? Возможно Вы просто путаете пустое множество и его мощность.
Кстати, Вы не ответили на мой вопрос:
Квадрируема ли окружность? Иначе говоря, площадь у окружности есть или нету?

dkanus писал(а):

Моё мнение касательно нуля таково: нуль и бесконечность есть две крайности (предельные, идеальные сущности).

Вовсе не обязательно, например 0 - это нейтральный элемент любой аддитивной группы. Если группу взять дискретную (в частности конечную), то о предельных переходах не может быть и речи.

dkanus писал(а):

б.м. величина всё равно что ничего

Бесконечно малая величина вводится для удобства, это не ничего, а функция (в частности может быть последовательность), имеющая своим пределом 0. В зависимости от рассмотрения этот 0 может быть числом, а может быть и более общим понятием - элементом метрического пространства.

[dkanus]

Мой косяк. Надо сказать, я имел ввиду только множество чисел которыми пользуются в алгебре/высшей математике, из сабжа другое как-то не выходило.

Насчёт бесконечно малой величины я упомянул лишь чтобы провести параллель с бесконечностью. Предел ббф - бесконечность, предел бмф - нуль, они взаимообратны (именно на это я хотел обратить внимание, но неверно выразился). Если мы говорим о конкретных числах, то мы можем использовать понятие нуля, но не бесконечности, а так как n/0 - бесконечность, то делить на нуль нельзя.

[bot]

Что такое нуль - вопрос конечно интересный. Однако в контексте невозможности деления на нуль ещё интереснее следующий:

Что такое деление?

Чтобы не растекаться мыслью по древу и оставить в стороне топологические нюансы (они в данном вопросе совсем не при делах), ограничимся совсем простым полем - полем рациональных чисел. Можно было взять ещё проще, к примеру, двухэлементное, но воздержусь пока.

Как складывать рациональные числа будем считать известным. Как теперь научиться вычитать?
А теперь проведём параллель: если мы знаем как перемножать рациональные числа, то как научиться их делить?

Что означает разделить рациональное число $a$ на другое рациональное число $b$?
При ответе на этот вопрос неминуемо и возникнет возможность осуществить это действие.

[dkanus]

a/0=b
0*b=a, если b - бесконечность, то почему бы и нет?
Напримере функций, пусть n стремится к нулю, 1/n соответственно стремится к бесконечности, произведение лимитов - 1, а не нуль.
Да, для рациональных чисел это проблема, но ведь есть похожий пример
i*i=-1, без введения комплексных такое i несуществовало.
Я к тому, что, делить на нуль нельзя не из-за того что множества чисел не хватает (не знаю как красивее сказать), а из-за того что n/0 - бесконечность и числом её выразить нельзя, т.е. проблему не решить дополнением множества.

[bot]

dkanus писал(а):

a/0=b

Опять за своё. В множесте рациональных чисел нет элемента, который Вы обозначаете бесконечностью. Его тем более нет в конечном поле.

Ещё раз. Допустим в некотором множестве определены операции сложения и умножения, которые удовлетворяют свойствам известным со школы. Операции деления пока нет, но мы хотим её определить.

Как мы можем это сделать?

В школе говорили, что деление - это действие, обратное к умножению. Что это означает?

Я сознательно воздерживаюсь от выкладывания готового рецепта - хочу чтобы Вы и автор темы пришли к этому естественным путём.

[dkanus]

a*0=b, значит всегда на множестве чисел (даже не только иррациональных) b=0, отсюда если 0 в знаменателе, то в числителе ненулевого числа быть не может, но в том-то и дело что это только для рациональных чисел.
Помоему тут возникло некоторое недопонимание. Я и не пытался доказать что на ноль можно делить, я сказал почему. Просто еслибы это была не бесконечность (коию числом выразить нельзя) всё могло бы закончится введением нового множества чисел (кстати, думается мне что именно деление стало мотивом для появления рациональных чисел).

[bot]

Вы не пытались делить на ноль - это верно, но не объясняете почему.

dkanus писал(а):

a*0=b

Это уже ближе к объяснению, но ещё не объяснение.
Ну я сдаюсь. Разделить число $b$ на число $a$ в произвольном поле означает найти элемент $x$ этого поля, удовлетворяющий уравнению $ax=b$. Не так ли?
Если $a\ne 0$, то эта задача однозначно разрешима. Если же $a=0$, то при $b\ne 0$ уравнение неразрешимо, а при $b=0$ любой элемент поля будет решением. И в том и в другом случае ввести операцию деления нам не удастся.
Вот и все дела.

[dkanus]

Чтобы посчитать sqrt(a) нужно найти x удовлетворяющий: x^2=a, если a>=0, то корень мы имеем, а вот если a<0, то нет, ибо любое рациональное или иррациональное число в квадрате больше либо равно нулю. Для сего ввели комплексные (вводится такое число i, что i^2=-1).
А если ввести такое число j, что j*0=1, то a*x=b очень даже имеет решения при a=0 и b!=0.
Чесно говоря, разници здесь не вижу.