Number theory problem

[Keter]

Let $n, k$ ​​are arbitrary positive integers greater than 1, the number of $n^2+k-1$ is divisible by $k^2+n-1$. Prove that the number of $k^2+n-1$ has at least two different prime divisors.

[ИСН]

Вас-то чего вдруг на английский потянуло?
Long story short, suppose that $k^2+n-1=p$. Then $n=p+1-k^2$. Plug that into $n^2+k-1$ (which is divisible by that p) and throw away everything that contains p. What's left is $k^4 - 2 k^2 + k=k(k-1)(k^2+k-1)$. These guys are all less than p, hence no luck.

[Keter]

ИСН, а что следует из того, что нам не повезло? Я правильно понял, что $n^2+k-1$ не делится нацело на $k^2+n-1$?

[ИСН]

Ну $p$ у нас простое, а эти все меньше его. Значит, их произведение - что? Вот так и вышло.

[Keter]

ИСН в сообщении #734996 писал(а):

Вас-то чего вдруг на английский потянуло?

Such problems only at this language, or is it I'm so lucky to have English compilations

Значит, их произведение - не делится на p?
А почему мы предполагаем, что $k^2+n-1$ - простое число?? Оно же должно иметь два простых делителя..

[ИСН]

Если это считать известным с самого начала, то в чём, по-Вашему, состоит задача?

[Keter]

Это я и пытаюсь понять. Какой исток у идеи, что $k^2+n-1$ - простое? У нас же оно имеет два делителя, как оно может быть простым?

-- 10.06.2013, 15:20 --

Никак не врублюсь с какой мысли нужно стартовать ...

[ИСН]

Откуда Вы знаете, что оно имеет два делителя? Знаете ли Вы это? Что мы хотим доказать?

[Keter]

Из условия. Точно не знаю. Хотим доказать, что если $n^2+k-1$ делится нацело на $k^2+n-1$, то последнее имеет не меньше двух различных простых делителя.

[Shadow]

И ИСН доказывает от противного. Допускает, что последнее простое и проходит к выводу, что $k(k-1)(k^2+k-1)$ должно делится на p. Но оно не делится, т.к. все 3 множителя меньше p. Для полноты можно (нужно) добавить, что не может быть и степен простого, т.к там взаимно простые множители.

-- 10.06.2013, 15:38 --

Keter в сообщении #735013 писал(а):

то последнее имеет не меньше двух различных простых делителя

Какие числа обладают таким свойством?

[ИСН]

Shadow в сообщении #735015 писал(а):

от противного

Shadow, ну ёлки, ну не так же сразу...

[Keter]

Shadow в сообщении #735015 писал(а):

Какие числа обладают таким свойством?

Какие?? 247 например... а какие конкретно? непростые - составные...

-- 10.06.2013, 15:51 --

Я не понимаю, зачем это допускать, то есть из каких побуждений мы это допускаем?

[Shadow]

ИСН в сообщении #735017 писал(а):

Shadow, ну ёлки, ну не так же сразу...

Да да, конечно потом. Когда надо будет. Но и Вы...буквой "p" обозначили

Keter в сообщении #735018 писал(а):

непростые - составные...

А 27 например?

[Keter]

Shadow, тоже... и 26...

-- 10.06.2013, 16:06 --

Shadow, это числа, которые в разложении на простые дают степени только двух различных множителей

[Shadow]

Keter, оставим пока простые - непростые. Вы согласны,что $k(k-1)(k^2+k-1)$ должно делится на p? После всех манипуляций, которые ИСН сделал.