2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Number theory problem
Сообщение10.06.2013, 12:47 
Let $n, k$ ​​are arbitrary positive integers greater than 1, the number of $n^2+k-1$ is divisible by $k^2+n-1$. Prove that the number of $k^2+n-1$ has at least two different prime divisors.

 
 
 
 Re: Number theory problem
Сообщение10.06.2013, 14:34 
Аватара пользователя
Вас-то чего вдруг на английский потянуло?
Long story short, suppose that $k^2+n-1=p$. Then $n=p+1-k^2$. Plug that into $n^2+k-1$ (which is divisible by that p) and throw away everything that contains p. What's left is $k^4 - 2 k^2 + k=k(k-1)(k^2+k-1)$. These guys are all less than p, hence no luck.

 
 
 
 Re: Number theory problem
Сообщение10.06.2013, 15:00 
ИСН, а что следует из того, что нам не повезло? Я правильно понял, что $n^2+k-1$ не делится нацело на $k^2+n-1$?

 
 
 
 Re: Number theory problem
Сообщение10.06.2013, 15:03 
Аватара пользователя
Ну $p$ у нас простое, а эти все меньше его. Значит, их произведение - что? Вот так и вышло.

 
 
 
 Re: Number theory problem
Сообщение10.06.2013, 15:05 
ИСН в сообщении #734996 писал(а):
Вас-то чего вдруг на английский потянуло?

Such problems only at this language, or is it I'm so lucky to have English compilations :D

Значит, их произведение - не делится на p?
А почему мы предполагаем, что $k^2+n-1$ - простое число?? Оно же должно иметь два простых делителя..

 
 
 
 Re: Number theory problem
Сообщение10.06.2013, 15:12 
Аватара пользователя
Если это считать известным с самого начала, то в чём, по-Вашему, состоит задача?

 
 
 
 Re: Number theory problem
Сообщение10.06.2013, 15:17 
Это я и пытаюсь понять. Какой исток у идеи, что $k^2+n-1$ - простое? У нас же оно имеет два делителя, как оно может быть простым?

-- 10.06.2013, 15:20 --

Никак не врублюсь с какой мысли нужно стартовать ...

 
 
 
 Re: Number theory problem
Сообщение10.06.2013, 15:22 
Аватара пользователя
Откуда Вы знаете, что оно имеет два делителя? Знаете ли Вы это? Что мы хотим доказать?

 
 
 
 Re: Number theory problem
Сообщение10.06.2013, 15:29 
Из условия. Точно не знаю. Хотим доказать, что если $n^2+k-1$ делится нацело на $k^2+n-1$, то последнее имеет не меньше двух различных простых делителя.

 
 
 
 Re: Number theory problem
Сообщение10.06.2013, 15:35 
И ИСН доказывает от противного. Допускает, что последнее простое и проходит к выводу, что $k(k-1)(k^2+k-1)$ должно делится на p. Но оно не делится, т.к. все 3 множителя меньше p. Для полноты можно (нужно) добавить, что не может быть и степен простого, т.к там взаимно простые множители.

-- 10.06.2013, 15:38 --

Keter в сообщении #735013 писал(а):
то последнее имеет не меньше двух различных простых делителя
Какие числа обладают таким свойством?

 
 
 
 Re: Number theory problem
Сообщение10.06.2013, 15:42 
Аватара пользователя
Shadow в сообщении #735015 писал(а):
от противного
Shadow, ну ёлки, ну не так же сразу...

 
 
 
 Re: Number theory problem
Сообщение10.06.2013, 15:45 
Shadow в сообщении #735015 писал(а):
Какие числа обладают таким свойством?

Какие?? 247 например... а какие конкретно? непростые - составные...

-- 10.06.2013, 15:51 --

Я не понимаю, зачем это допускать, то есть из каких побуждений мы это допускаем?

 
 
 
 Re: Number theory problem
Сообщение10.06.2013, 15:54 
ИСН в сообщении #735017 писал(а):
Shadow, ну ёлки, ну не так же сразу...
Да да, конечно потом. Когда надо будет. Но и Вы...буквой "p" обозначили :D
Keter в сообщении #735018 писал(а):
непростые - составные...
А 27 например?

 
 
 
 Re: Number theory problem
Сообщение10.06.2013, 16:04 
Shadow, тоже... и 26...

-- 10.06.2013, 16:06 --

Shadow, это числа, которые в разложении на простые дают степени только двух различных множителей

 
 
 
 Re: Number theory problem
Сообщение10.06.2013, 16:16 
Keter, оставим пока простые - непростые. Вы согласны,что $k(k-1)(k^2+k-1)$ должно делится на p? После всех манипуляций, которые ИСН сделал.

 
 
 [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group