В ОТО нет уже обратимого времени

[Котофеич]

pc20b писал(а):

$$\frac{d\Theta (x-a)} {dx} =\delta (x-a)$$

. Т.е. нам тоже не надо ничего вычислять.

Вам нужно вычислить

$$\frac{d h_{ \delta }(r)} {dr} $$

.
используя определение
$ h_{ \delta }(r) =-1+h(r)\Theta(r-a-\delta ) $
и замечательную формулу, для производной функции скачка.

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Evil or Very Mad Вам нужно вычислить

За так, да ещё и офф?

$$\frac{d h_{ \delta }(r)} {dr} =\frac{ar}{\sqrt {(r^2+\delta ^2)^3}}\Theta(r-a-\delta )+(1-\frac{a}{\sqrt {r^2+\delta ^2}})\delta (r-a-\delta )$$

.

[Котофеич]

Это еще не конец. Вам нужно вычислить

$$\frac{d^{2} h_{ \delta }(r)} {dr^{2}} $$

.
И затем подставить все выражения в формулу (3.4). Потом регуляризация функции a/r при r=0 Вам не нужна, потому что Вы делаете вычисления на горизонте. Источником гравитационного поля такой дыры будет обобщенная функция сингулярный носитель которой совпадает с горизонтом Шварцшильда. Таким образом Ваша любимая ОТО предсказывает существование голых сингулярностей с достаточно нетривиальной структурой. Такие сингулярности часто образуются при коллапсе, который не обязан всегда заканчиваться скрытой сингулярностью Леметра.

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Evil or Very Mad Это еще не конец. Вам нужно вычислить

$$\frac{d^{2} h_{ \delta }(r)} {dr^{2}} $$

.

$$\frac{d^{2} h_{ \delta }(r)} {dr^{2}} = -\frac{2a}{r^3}\Theta (r-a-\delta )+\frac{2a}{r^2}\delta (r-a-\delta )+(1-\frac{a}{r})\delta ^{(2)}(r-a-\delta )$$

,

где

$$\delta ^{(2)}$$

- дублет дельта-функций.

Цитата:

И затем подставить все выражения в формулу (3.4).

Нельзя ли привести её наяву?

[Котофеич]

Формула (3.4) из этой статьи:
http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/9707/9707029v1.pdf
вот начало

$$ kT_{0}^{0} = -\frac{d h_{ \delta }(r)} {rdr} - \frac{ h_{ \delta }(r)} {r^{2}} $$

.

$$ kT_{\alpha}^{\beta} = - \delta_{\alpha}^{\beta} \left(\frac{d^{2} h_{ \delta }(r)} {2dr^{2}} +\frac{ dh_{ \delta }(r)} {rdr}\right)+... $$

.

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Evil or Very Mad Формула (3.4) из этой статьи:
http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/9707/9707029v1.pdf
вот начало

$$ kT_{0}^{0} = -\frac{d h_{ \delta }(r)} {rdr} - \frac{ h_{ \delta }(r)} {r^{2}} $$

.

$$ kT_{\alpha}^{\beta} = - \delta_{\alpha}^{\beta} \left(\frac{d^{2} h_{ \delta }(r)} {2dr^{2}} +\frac{ dh_{ \delta }(r)} {rdr}\right)+... $$

.

Давайте ограничимся вычислением

$$ kT_{0}^{0}$$

при $r\to a$

$$ kT_{0}^{0}=-\frac{d h_{ \delta }(r)} {rdr} - \frac{ h_{ \delta }(r)} {r^{2}}=\lim \limits_{\delta \to 0}\lim \limits_{r\to a}(-\frac{1}{r^2}\Theta (r-a-\delta )-\int _{-\infty }^{\infty}\frac{1}{r}(1-\frac{a}{r})\delta (r-a-\delta )dr)=\left\{ \begin{array}{l} 0,r=a_{-}\\ -\frac{1}{a^2},r=a_+ \end{array}$$

Что (предварительно) получается : компонента

$$ kT_{0}^{0}$$

на сфере Шварцшильда в ОТО должна равняться нулю. Здесь же она испытывает скачок первого рода. Это может говорить о том, что где-то ошибка : или в наших вычислениях, или в формулах из ссылки.

[Котофеич]

Да, у Вас есть ошибки.

$$ -kT_{0}^{0} (\delta ) = \frac{d h_{ \delta }(r)} {rdr} + \frac{ h_{ \delta }(r)} {r^{2}} $$

.

$$ h_{ \delta }(r)} = \frac{ a} {r} \Theta (r-a-\delta ) $$

.

$$ \frac{ h_{ \delta }(r)} {r^{2}}= \frac{ a} {r^{3}} \Theta (r-a-\delta )$$

.

$$ \frac{d h_{ \delta }(r)} {dr} = -\frac{ a} {r^2} \Theta (r-a-\delta ) +\frac{ a} {r} \delta (r-a-\delta ) $$

.

$$ \frac{d h_{ \delta }(r)} {rdr} = -\frac{ a} {r^3} \Theta (r-a-\delta ) + \frac{ a} {r^2} \delta (r-a-\delta ) $$

.

$$ -kT_{0}^{0}(\delta ) = \frac{ a} {r^2} \delta (r-a-\delta ) = \frac{ a} {(a+\delta )^2} \delta (r-a-\delta ) } $$

.
Окончательно получаем

$$-kT_{0}^{0}(r)= \lim \limits_{\delta \to 0} -kT_{0}^{0} (\delta ) =\lim \limits_{\delta \to 0} \frac{ a} {(a+\delta )^2} \delta (r-a-\delta ) }= \frac { \delta (r-a )}{a} $$

.
Таким образом

$$kT_{0}^{0}(r)= -\frac { \delta (r-a )}{a} $$

.

$$kT_{0}^{0}(a)= -\frac { \delta (0 )}{a}= -\infty $$

.

[pc20b]

Да нет, мы брали

$$h(r)=(1-\frac{a}{r})$$

. Сейчас пересчитаем.

[Котофеич]

pc20b писал(а):

Да нет, мы брали

$$h(r)=(1-\frac{a}{r})$$

. Сейчас пересчитаем.

Я это понял. Но это не главное. Интегрировать ничего не нужно.

[pc20b]

Да собственно, тут и пересчитывать нечего : да, по Вашим формулам (из ссылки)

$$kT_{0}^{0}(r)= -\frac { \delta (r-a )}{a} $$

.

Но это - непонятное выражение. Уход в окрестность точки $r=a$ с помощью ступеньки $\Theta (r-a-\delta )$ здесь оказывается ненужным, можно $\delta $ просто положить равной нулю. Регуляризации, очевидно, подвергается сингулярность $r=0$, что и сделано в приведённой Вами ссылке. В ней получено другое выражение для

$$kT_{0}^{0}(r)$$

(формула (3.6) с.5), из которого следует, что при $r=a$ эта компонента тензора энергии-импульса обращается в нуль, как ей вроде бы и положено. Это, собственно, следует и из начального представления этого тензора через обобщенную функцию Дирака. Скажите, откуда получена "регуляризация"

$$h_{\delta }=h(r)\Theta (r-a-\delta )$$

?

[Котофеич]

Регуляризации

$$h_{\delta }=h(r)\Theta (r-a-\delta )$$

изначально подвергаются компоненты метрического тензора

$$ g_{\alpha\beta} ,\alpha,\beta=1,2,3$$

см.(3.3). В точке r=a они обращаются в бесконечность и соответственно теряют смысл.
Так что $\delta $ нельзя положить равной нулю. То что в статье сделана регуляризация в нуле, так это уже артель напрасный труд.
Регуляризация которая используется в статье, пригодна с большой натяжкой, только для Леметра, у которого сингулярность метрики на горизонте отсутствует. Но при такой регуляризации, проблема с Кречманом все равно остается

[pc20b]

Котофеич

Цитата:

Evil or Very Mad Регуляризации

$$h_{\delta }=h(r)\Theta (r-a-\delta )$$

изначально подвергаются компоненты метрического тензора

$$ g_{\alpha\beta} ,\alpha,\beta=1,2,3$$

см.(3.3). В точке r=a они обращаются в бесконечность и соответственно теряют смысл.
Так что $\delta $ нельзя положить равной нулю.

Вообще-то вроде бы получается, что можно $\delta $ положить равной нулю вблизи горизонта :

$$h_{\delta }(r)=\frac{a}{r}\Theta (r-a)$$

,

$$\frac{dh_{\delta }}{dr}(r)=-\frac{a}{r^2}\Theta (r-a)+\frac{a}{r}\delta (r-a)$$

.

$$-\kappa T_0^0=\frac{1}{r}\frac{dh_{\delta }}{dr}(r)+\frac{1}{r^2}h_{\delta }(r)=\frac{a}{r^2}\delta (r-a)=\frac{\delta (r-a)}{a}$$

.

По поводу предыдущего замечания о ненужности интегрирования :
представляется, что умножение функции на обобщенную функцию - чисто операторное, предполагает интегрирование, которое само является символическим :

$$f(x)\delta (x-x_0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_0)dx=f(x_0)$$

.

[Котофеич]

pc20b писал(а):

Котофеич

Цитата:

Evil or Very Mad Регуляризации

$$h_{\delta }=h(r)\Theta (r-a-\delta )$$

изначально подвергаются компоненты метрического тензора

$$ g_{\alpha\beta} ,\alpha,\beta=1,2,3$$

см.(3.3). В точке r=a они обращаются в бесконечность и соответственно теряют смысл.
Так что $\delta $ нельзя положить равной нулю.

Вообще-то вроде бы получается, что можно $\delta $ положить равной нулю вблизи горизонта :

$$h_{\delta }(r)=\frac{a}{r}\Theta (r-a)$$

,

$$\frac{dh_{\delta }}{dr}(r)=-\frac{a}{r^2}\Theta (r-a)+\frac{a}{r}\delta (r-a)$$

.

$$-\kappa T_0^0=\frac{1}{r}\frac{dh_{\delta }}{dr}(r)+\frac{1}{r^2}h_{\delta }(r)=\frac{a}{r^2}\delta (r-a)=\frac{\delta (r-a)}{a}$$

.

Нет нельзя. Обобщенная функция G(x), кроме простого случая когда она совпадает с некоторой обычной непрерывной функцией g(x), не имеет никакого однозначно определенного значения в точке. Для обобщенной функции $\delta(x) $ хорошо известно, что она не совпадает. Вопрос в том какой фисический смысл имеет равенство

$$-\kappa T_0^0(r)=\frac{\delta (r-a)}{a}$$

.
Физически это означает, что на горизонте у Шварцшильда имеется бесконечная плотность энергии. Но физической наблюдаемой является конечная величина:

$$- \int _{-\infty }^{\infty } \kappa T_0^0(r)=\int _{-\infty }^{\infty } \frac{\delta (r-a)}{a}$$

.

pc20b писал(а):

По поводу предыдущего замечания о ненужности интегрирования :
представляется, что умножение функции на обобщенную функцию - чисто операторное, предполагает интегрирование, которое само является символическим :

$$f(x)\delta (x-x_0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x) \delta (x-x_0)dx=f(x_0)$$

.

Из того что Вы написали, правильно только вот это

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x) \delta (x-x_0)dx=f(x_0)$$

.
Ну так это просто чисто интуитивное определение дельта-функции, которое применял еще Дирак.
http://lib.mexmat.ru/books/2323
Если Вы хотели умножить

$$\delta (x-x_0)$$

на регулярную функцию

$$ f(x)$$

то это будет таким макаром:

$$f(x)\times \delta (x-x_0) =f(x_0)\delta (x-x_0) $$

.
http://lib.mexmat.ru/books/2323
В современной теории обобщенных функций имеется две операции умножения обобщенной функции G(x) на обычную регулярную функцию g(x): 1.операторное умножение Коломбеау-Котофеича и 2.умножение в смысле Л.Шварца

$$-\kappa T_0^0(r)=\frac{a}{r^2}\delta (r-a)$$

- операторное умножение обобщенной функци

$$\delta (r-a)$$

на регулярную функцию

$$\frac{a}{r^2}$$

$$-\kappa T_0^0(r)=\frac{\delta (r-a)}{a}$$

- умножение по Шварцу обобщенной функци

$$\delta (r-a)$$

на регулярную функцию

$$\frac{a}{r^2}$$

Равенство

$$\frac{a}{r^2}\delta (r-a)=\frac{\delta (r-a)}{a}$$

, которое я использовал в расчете, нужно понимать в смысле теории Шварца, т.е. как тождество:

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x) \frac{a}{r^2}\delta (r-a)dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(x) \frac{\delta (r-a)}{a}dx$$

где f(x) произвольная гладкая функция.

[pc20b]

Котофеич
Т.к. появление особенности на горизонте Шварцшильда любопытно, позвольте ещё раз задать вопрос : откуда получено выражение со ступенькой

$$h_{\delta }=h(r)\Theta (r-a-\delta )$$

?

[Котофеич]

pc20b писал(а):

Котофеич
Т.к. появление особенности на горизонте Шварцшильда любопытно, позвольте ещё раз задать вопрос : откуда получено выражение со ступенькой

$$h_{\delta }=h(r)\Theta (r-a-\delta )$$

?

Под горизонтом тоже есть кусок метрики. Регуляризация строится таким образом чтобы в пределе когда

$$\delta \to0 $$

сумма обоих кусков давала всего Шварцшильда.