2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 
Сообщение22.07.2007, 02:26 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
pc20b писал(а):
$$\frac{d\Theta (x-a)} {dx} =\delta (x-a)$$. Т.е. нам тоже не надо ничего вычислять.

:evil: Вам нужно вычислить $$\frac{d h_{ \delta }(r)}  {dr}   $$.
используя определение
$ h_{ \delta }(r) =-1+h(r)\Theta(r-a-\delta )  $
и замечательную формулу, для производной функции скачка.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2007, 09:39 
Заблокирован


26/03/07

2412
Котофеич
Цитата:
Evil or Very Mad Вам нужно вычислить

За так, да ещё и офф?

$$\frac{d h_{ \delta }(r)} {dr} =\frac{ar}{\sqrt {(r^2+\delta ^2)^3}}\Theta(r-a-\delta )+(1-\frac{a}{\sqrt {r^2+\delta ^2}})\delta (r-a-\delta )$$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2007, 09:53 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
:evil: Это еще не конец. Вам нужно вычислить
$$\frac{d^{2} h_{ \delta }(r)} {dr^{2}} $$.
И затем подставить все выражения в формулу (3.4). Потом регуляризация функции a/r при r=0 Вам не нужна, потому что Вы делаете вычисления на горизонте. Источником гравитационного поля такой дыры будет обобщенная функция сингулярный носитель которой совпадает с горизонтом Шварцшильда. Таким образом Ваша любимая ОТО предсказывает существование голых сингулярностей с достаточно нетривиальной структурой. Такие сингулярности часто образуются при коллапсе, который не обязан всегда заканчиваться скрытой сингулярностью Леметра.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2007, 10:52 
Заблокирован


26/03/07

2412
Котофеич
Цитата:
Evil or Very Mad Это еще не конец. Вам нужно вычислить
$$\frac{d^{2} h_{ \delta }(r)} {dr^{2}} $$.


$$\frac{d^{2} h_{ \delta }(r)} {dr^{2}} = -\frac{2a}{r^3}\Theta (r-a-\delta )+\frac{2a}{r^2}\delta (r-a-\delta )+(1-\frac{a}{r})\delta ^{(2)}(r-a-\delta )$$,

где $$\delta ^{(2)}$$ - дублет дельта-функций.
Цитата:
И затем подставить все выражения в формулу (3.4).

Нельзя ли привести её наяву?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.07.2007, 20:33 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
:evil: Формула (3.4) из этой статьи:
http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/9707/9707029v1.pdf
вот начало
$$ kT_{0}^{0} =  -\frac{d h_{ \delta }(r)} {rdr} - \frac{ h_{ \delta }(r)} {r^{2}}    $$.

$$ kT_{\alpha}^{\beta} =  - \delta_{\alpha}^{\beta}  \left(\frac{d^{2} h_{ \delta }(r)} {2dr^{2}} +\frac{ dh_{ \delta }(r)} {rdr}\right)+...    $$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2007, 18:52 
Заблокирован


26/03/07

2412
Котофеич
Цитата:
Evil or Very Mad Формула (3.4) из этой статьи:
http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/9707/9707029v1.pdf
вот начало
$$ kT_{0}^{0} = -\frac{d h_{ \delta }(r)} {rdr} - \frac{ h_{ \delta }(r)} {r^{2}} $$.

$$ kT_{\alpha}^{\beta} = - \delta_{\alpha}^{\beta} \left(\frac{d^{2} h_{ \delta }(r)} {2dr^{2}} +\frac{ dh_{ \delta }(r)} {rdr}\right)+... $$.

Давайте ограничимся вычислением $$ kT_{0}^{0}$$ при $r\to a$

$$ kT_{0}^{0}=-\frac{d h_{ \delta }(r)} {rdr} - \frac{ h_{ \delta }(r)} {r^{2}}=\lim \limits_{\delta \to 0}\lim \limits_{r\to a}(-\frac{1}{r^2}\Theta (r-a-\delta )-\int _{-\infty }^{\infty}\frac{1}{r}(1-\frac{a}{r})\delta (r-a-\delta )dr)=\left\{ \begin{array}{l}
0,r=a_{-}\\
-\frac{1}{a^2},r=a_+
\end{array}$$

Что (предварительно) получается : компонента $$ kT_{0}^{0}$$ на сфере Шварцшильда в ОТО должна равняться нулю. Здесь же она испытывает скачок первого рода. Это может говорить о том, что где-то ошибка : или в наших вычислениях, или в формулах из ссылки.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.07.2007, 22:06 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
:evil: Да, у Вас есть ошибки.

$$ -kT_{0}^{0} (\delta ) = \frac{d h_{ \delta }(r)} {rdr} + \frac{ h_{ \delta }(r)} {r^{2}} $$.
$$  h_{ \delta }(r)} = \frac{ a} {r} \Theta (r-a-\delta ) $$.
$$ \frac{ h_{ \delta }(r)} {r^{2}}= \frac{ a} {r^{3}} \Theta (r-a-\delta )$$.
$$  \frac{d h_{ \delta }(r)} {dr} = -\frac{ a} {r^2} \Theta (r-a-\delta ) +\frac{ a} {r} \delta (r-a-\delta ) $$.
$$  \frac{d h_{ \delta }(r)} {rdr} = -\frac{ a} {r^3} \Theta (r-a-\delta ) + \frac{ a} {r^2} \delta (r-a-\delta ) $$.
$$ -kT_{0}^{0}(\delta ) = \frac{ a} {r^2} \delta (r-a-\delta ) = \frac{ a} {(a+\delta )^2} \delta (r-a-\delta )   } $$.
Окончательно получаем
$$-kT_{0}^{0}(r)= \lim \limits_{\delta \to 0} -kT_{0}^{0} (\delta ) =\lim \limits_{\delta \to 0}  \frac{ a} {(a+\delta )^2} \delta (r-a-\delta )   }=  \frac { \delta (r-a )}{a} $$.
Таким образом :!:
$$kT_{0}^{0}(r)= -\frac { \delta (r-a )}{a} $$.
$$kT_{0}^{0}(a)= -\frac { \delta (0 )}{a}= -\infty  $$. :!:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.07.2007, 09:37 
Заблокирован


26/03/07

2412
Да нет, мы брали $$h(r)=(1-\frac{a}{r})$$. Сейчас пересчитаем.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.07.2007, 10:09 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
pc20b писал(а):
Да нет, мы брали $$h(r)=(1-\frac{a}{r})$$. Сейчас пересчитаем.

:evil: Я это понял. Но это не главное. Интегрировать ничего не нужно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.07.2007, 10:33 
Заблокирован


26/03/07

2412
Да собственно, тут и пересчитывать нечего : да, по Вашим формулам (из ссылки)

$$kT_{0}^{0}(r)= -\frac { \delta (r-a )}{a} $$.

Но это - непонятное выражение. Уход в окрестность точки $r=a$ с помощью ступеньки $\Theta (r-a-\delta )$ здесь оказывается ненужным, можно $\delta $ просто положить равной нулю. Регуляризации, очевидно, подвергается сингулярность $r=0$, что и сделано в приведённой Вами ссылке. В ней получено другое выражение для $$kT_{0}^{0}(r)$$ (формула (3.6) с.5), из которого следует, что при $r=a$ эта компонента тензора энергии-импульса обращается в нуль, как ей вроде бы и положено. Это, собственно, следует и из начального представления этого тензора через обобщенную функцию Дирака. Скажите, откуда получена "регуляризация" $$h_{\delta }=h(r)\Theta (r-a-\delta )$$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.07.2007, 11:06 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
:evil: Регуляризации $$h_{\delta }=h(r)\Theta (r-a-\delta )$$
изначально подвергаются компоненты метрического тензора
$$ g_{\alpha\beta} ,\alpha,\beta=1,2,3$$
см.(3.3). В точке r=a они обращаются в бесконечность и соответственно теряют смысл.
Так что $\delta $ нельзя положить равной нулю. То что в статье сделана регуляризация в нуле, так это уже артель напрасный труд. :oops:
Регуляризация которая используется в статье, пригодна с большой натяжкой, только для Леметра, у которого сингулярность метрики на горизонте отсутствует. :!: Но при такой регуляризации, проблема с Кречманом все равно остается :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.07.2007, 10:14 
Заблокирован


26/03/07

2412
Котофеич

Цитата:
Evil or Very Mad Регуляризации $$h_{\delta }=h(r)\Theta (r-a-\delta )$$
изначально подвергаются компоненты метрического тензора
$$ g_{\alpha\beta} ,\alpha,\beta=1,2,3$$
см.(3.3). В точке r=a они обращаются в бесконечность и соответственно теряют смысл.
Так что $\delta $ нельзя положить равной нулю.

Вообще-то вроде бы получается, что можно $\delta $ положить равной нулю вблизи горизонта :

$$h_{\delta }(r)=\frac{a}{r}\Theta (r-a)$$,
$$\frac{dh_{\delta }}{dr}(r)=-\frac{a}{r^2}\Theta (r-a)+\frac{a}{r}\delta (r-a)$$.

$$-\kappa T_0^0=\frac{1}{r}\frac{dh_{\delta }}{dr}(r)+\frac{1}{r^2}h_{\delta }(r)=\frac{a}{r^2}\delta (r-a)=\frac{\delta (r-a)}{a}$$.

По поводу предыдущего замечания о ненужности интегрирования :
представляется, что умножение функции на обобщенную функцию - чисто операторное, предполагает интегрирование, которое само является символическим :

$$f(x)\delta (x-x_0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_0)dx=f(x_0)$$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение27.07.2007, 13:55 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
pc20b писал(а):
Котофеич

Цитата:
Evil or Very Mad Регуляризации $$h_{\delta }=h(r)\Theta (r-a-\delta )$$
изначально подвергаются компоненты метрического тензора
$$ g_{\alpha\beta} ,\alpha,\beta=1,2,3$$
см.(3.3). В точке r=a они обращаются в бесконечность и соответственно теряют смысл.
Так что $\delta $ нельзя положить равной нулю.

Вообще-то вроде бы получается, что можно $\delta $ положить равной нулю вблизи горизонта :

$$h_{\delta }(r)=\frac{a}{r}\Theta (r-a)$$,
$$\frac{dh_{\delta }}{dr}(r)=-\frac{a}{r^2}\Theta (r-a)+\frac{a}{r}\delta (r-a)$$.

$$-\kappa T_0^0=\frac{1}{r}\frac{dh_{\delta }}{dr}(r)+\frac{1}{r^2}h_{\delta }(r)=\frac{a}{r^2}\delta (r-a)=\frac{\delta (r-a)}{a}$$.

:evil: Нет нельзя. Обобщенная функция G(x), кроме простого случая когда она совпадает с некоторой обычной непрерывной функцией g(x), не имеет никакого однозначно определенного значения в точке. Для обобщенной функции $\delta(x) $ хорошо известно, что она не совпадает. Вопрос в том какой фисический смысл имеет равенство :?:
$$-\kappa T_0^0(r)=\frac{\delta (r-a)}{a}$$.
Физически это означает, что на горизонте у Шварцшильда имеется бесконечная плотность энергии. Но физической наблюдаемой является конечная величина:
$$- \int _{-\infty }^{\infty } \kappa T_0^0(r)=\int _{-\infty }^{\infty } \frac{\delta (r-a)}{a}$$.

pc20b писал(а):
По поводу предыдущего замечания о ненужности интегрирования :
представляется, что умножение функции на обобщенную функцию - чисто операторное, предполагает интегрирование, которое само является символическим :

$$f(x)\delta (x-x_0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x) \delta (x-x_0)dx=f(x_0)$$.

:evil: Из того что Вы написали, правильно только вот это
$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x) \delta (x-x_0)dx=f(x_0)$$.
Ну так это просто чисто интуитивное определение дельта-функции, которое применял еще Дирак.
http://lib.mexmat.ru/books/2323
Если Вы хотели умножить $$\delta (x-x_0)$$ на регулярную функцию
$$  f(x)$$ :?: то это будет таким макаром:
$$f(x)\times \delta (x-x_0) =f(x_0)\delta (x-x_0)  $$.
http://lib.mexmat.ru/books/2323
:evil:В современной теории обобщенных функций имеется две операции умножения обобщенной функции G(x) на обычную регулярную функцию g(x): 1.операторное умножение Коломбеау-Котофеича и 2.умножение в смысле Л.Шварца

$$-\kappa T_0^0(r)=\frac{a}{r^2}\delta (r-a)$$ - операторное умножение обобщенной функци $$\delta (r-a)$$ на регулярную функцию $$\frac{a}{r^2}$$

$$-\kappa T_0^0(r)=\frac{\delta (r-a)}{a}$$- умножение по Шварцу обобщенной функци $$\delta (r-a)$$ на регулярную функцию $$\frac{a}{r^2}$$

Равенство
$$\frac{a}{r^2}\delta (r-a)=\frac{\delta (r-a)}{a}$$, которое я использовал в расчете, нужно понимать в смысле теории Шварца, т.е. как тождество:
$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x) \frac{a}{r^2}\delta (r-a)dx=\int _{-\infty }^{\infty }f(x) \frac{\delta (r-a)}{a}dx$$ где f(x) произвольная гладкая функция.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.07.2007, 13:26 
Заблокирован


26/03/07

2412
Котофеич
Т.к. появление особенности на горизонте Шварцшильда любопытно, позвольте ещё раз задать вопрос : откуда получено выражение со ступенькой

$$h_{\delta }=h(r)\Theta (r-a-\delta )$$ ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.07.2007, 14:18 
Заблокирован
Аватара пользователя


18/01/06

3241
ЧЕРНАЯ ДЫРА МУМУ-ШВАРЦНЕГЕРА
pc20b писал(а):
Котофеич
Т.к. появление особенности на горизонте Шварцшильда любопытно, позвольте ещё раз задать вопрос : откуда получено выражение со ступенькой

$$h_{\delta }=h(r)\Theta (r-a-\delta )$$ ?

:evil: Под горизонтом тоже есть кусок метрики. Регуляризация строится таким образом чтобы в пределе когда $$\delta \to0 $$ сумма обоих кусков давала всего Шварцшильда.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 120 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: pppppppo_98


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group