Обсуждение и разбор марафонских задач

[Masik]

VAL в сообщении #730659 писал(а):

Приведу решения Олега Полубасова, рассмотревшего ряд аналогичных задач, и Алексея Волошина (а то у Олега чертежа нет).

Поставить запятую после причастного оборота - это большой подвиг, я очень часто забываю это сделать.
А у Олега не только чертежа нет, но и ни Маппла, ни Маткада, ни Математики. Сейчас графики кто только не строит - хоть Эксель, а хоть Гугл. Но я боюсь восстания машин, поэтому общаюсь с ними редко и с осторожностью. Вдруг обидятся, будет война северного порта с южным, потом - подписание декларации независимости, потом они захотят нефти... Нет, обойдусь без чертежа.

[VAL]

Masik в сообщении #730667 писал(а):

VAL в сообщении #730659 писал(а):

Приведу решения Олега Полубасова, рассмотревшего ряд аналогичных задач, и Алексея Волошина (а то у Олега чертежа нет).

Поставить запятую после причастного оборота - это большой подвиг, я очень часто забываю это сделать.
А у Олега не только чертежа нет, но и ни Маппла, ни Маткада, ни Математики.

Но хоть Интернет-то есть? Чертеж Алексея сделан с помощью WolframAlpha

Цитата:

Сейчас графики кто только не строит - хоть Эксель, а хоть Гугл.

Вот-вот. И я о том же.

Цитата:

Но я боюсь восстания машин, поэтому общаюсь с ними редко и с осторожностью. Вдруг обидятся, будет война северного порта с южным, потом - подписание декларации независимости, потом они захотят нефти... Нет, обойдусь без чертежа.

Да я не против.
Но, неустанно заботясь о потенциальных читателях Марафона, я вынужден следить за наличием чертежа (и запятых вокруг деепричастного оборота).

Кстати, раз уж речь зашла о Mathematica и WolframAlpha. К вам в Питер скоро Стивен Вольфрам приезжает. 13 июня он будет выступать в Санкт-Петербургском государственном университете экономики и финансов.
И как? Общественность в ожидании? Город бурлит? Билеты на конференцию только у спекулянтов, втридорога?

[Masik]

VAL в сообщении #730687 писал(а):

Кстати, раз уж речь зашла о Mathematica и WolframAlpha. К вам в Питер скоро Стивен Вольфрам приезжает. 13 июня он будет выступать в Санкт-Петербургском государственном университете экономики и финансов.
И как? Общественность в ожидании? Город бурлит? Билеты на конференцию только у спекулянтов, втридорога?

Я поспрашивал у наших программистов - никого не заинтересовало. Мало ли в Бразилии донов Педро? Приезжающих в Питер в июне даже подсчитать трудно. Они как прыгнут...
Вот ссылочка: "http://www.wolfram.com/events/technology-conference-ru/2013/". Вроде бы, конференция бесплатная, но никто из наших на неё не собирается.

[VAL]

========= 177 ==========

ММ177 (6 баллов)

В розыгрыше кубка мира участвуют 128 равных по силе шахматистов. 10 из них представляют Россию, 8 - Украину. После жеребьевки в первом раунде встречаются №1 и №2, № 3 и №4, ..., №127 и №128. Во втором раунде победитель первой пары встречается с победителем второй, победитель третьей - с победителем четвертой и т. д. Российским шахматистам по жребию достались номера 1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65 и 73; украинским - 2, 18, 34, 50, 66, 82, 98, 114.
За первое место выплачиваются призовые - 200000 долларов, за второе - 10000 долларов.. За остальные места призовые не выплачиваются.
Какой финал более вероятен: чисто российский или чисто украинский?
Каковы российское и украинское призовые мат. ожидания?

Решение

Приведу решения Сергея Половинкина, Олега Полубасова и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

Замечу, что ни один из присланных ответов не сошелся с авторским. Впрочем, это вызвано лишь тем, что, публикуя условие, я случайно удесятерил приз за первое место

Отвечу на вопросы тех участников, которые интересуются, что сподвигло меня включить в Марафон эту, в общем-то, типовую задачу.
Вопросами, поставленными в задаче, я заинтересовался, наблюдая за реальными шахматными соревнованиями.
В процессе и результате решения мое внимание привлекли два обстоятельства:
1) зависимость количества финалистов из одной страны от распределения участников по турнирной сетке (это, конечно, было ясно сразу) при одновременной независимости от этого фактора матожидания призовых (этот момент до решения мне очевиден не был);
2) множественность способов рассуждения, приводящих к цели (в своем решении я мигрировал от решения в стиле Анатолия к решению в стиле Олега).

Дополнительные баллы начислены за: явное указание независимости мат. ожидания от распределения команды по турнирной сетке; обобщение задачи.

Награды

За верное решение задачи ММ177 Сергей Половинкин и Олег Полубасов получают по 7 призовых баллов; Виктор Филимоненков, Алексей Волошин и Анатолий Казмерчук - по 6 призовых баллов; Николай Дерюгин - 5 призовых баллов. Подуставший (надеюсь, временно) во второй половине марафонской дистанции, Алексей Извалов получает 2 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 3.7 балла

[General]

Я понял, я просто не все ячейки заполнил в своей Excel-евской таблице. Номера 98 и 114 не выставил для Украины

[Masik]

General в сообщении #734303 писал(а):

1) зависимость количества финалистов из одной страны от распределения участников по турнирной сетке (это, конечно, было ясно сразу) при одновременной независимости от этого фактора матожидания призовых (этот момент до решения мне очевиден не был);

Отвлечёмся на минутку от расовых и и половых принадлежностей игроков. Пусть игроки будут анонимны, но правила для всех одинаковы.
Пусть призовой фонд равен S. Не важно, как он распределяется между местами, занятыми игроками. Игроки анонимны.
Не важно, ведётся ли игра по олимпийской системе, или по какой-то другой, но все игроки должны иметь одинаковые шансы.
1. Сумма призовых мат. ожиданий всех игроков равна призовому фонду.
2. Пусть игроков n (n - не обязательно степень двойки). Раз игроки равны по силе, то призовые мат. ожидания у всех одинаковы и равны S/n.
3. Если в команде m игроков, то призовое мат. ожидание команды равно m*S/n (сумма призовых мат. ожиданий всех команд равна призовому фонду).

[VAL]

Masik в сообщении #734552 писал(а):

General в сообщении #734303 писал(а):

1) зависимость количества финалистов из одной страны от распределения участников по турнирной сетке (это, конечно, было ясно сразу) при одновременной независимости от этого фактора матожидания призовых (этот момент до решения мне очевиден не был);

Отвлечёмся на минутку от расовых и и половых принадлежностей игроков. Пусть игроки будут анонимны, но правила для всех одинаковы.
Пусть призовой фонд равен S. Не важно, как он распределяется между местами, занятыми игроками. Игроки анонимны.
Не важно, ведётся ли игра по олимпийской системе, или по какой-то другой, но все игроки должны иметь одинаковые шансы.
1. Сумма призовых мат. ожиданий всех игроков равна призовому фонду.
2. Пусть игроков n (n - не обязательно степень двойки). Раз игроки равны по силе, то призовые мат. ожидания у всех одинаковы и равны S/n.
3. Если в команде m игроков, то призовое мат. ожидание команды равно m*S/n (сумма призовых мат. ожиданий всех команд равна призовому фонду).

Так это решение. А мне не была очевидна независимость призовых матожиданий от распределения участников ДО РЕШЕНИЯ

[VAL]

Срок приема решений ММ178 продлен до 17.06.13

[VAL]

========= 178 ==========

ММ178(Оладьи на сковородке) (9 баллов)

В единичный круг поместим (без наложений) $k$ кругов одинакового радиуса. Обозначим через $S_k$ максимальное значение площади этих $k$ кругов. Расставить числа $S_1,S_2\dots, S_{12}$ в порядке возрастания.

Решение

Приведу решение (или, если хотите, обзор) Алексея Волошина.

Обсуждение

Задача оказалась, мягко говоря, известной. Конечно, я предполагал такое. Но проверку этой гипотезы я начал уже после того, как изрядно повозился с задачей и получил завораживающую последовательность $S_k$. Наверное поэтому я подсознательно не слишком усердствовал. Так, нередко студенты ищут преподавателя, не для того, чтобы найти, а для отмазки "Я Вас не нашел". Вот и я не нашел Впрочем, это далеко не первый мой опыт в "изобретении велосипедов".
В результате моей безответственности одни участники мучительно уплотняли кружочки, а другие воспользовались готовыми результатами (и преуспели больше первых). Впрочем, каждый был волен сам выбирать способ одоления задачи.
В итоге никому из тех, кто "пек оладьи" сам, не удалось безошибочно расставить $S_k$. Больше других преуспел в этом Николай Дерюгин. Я счел возможным оценить решение Николая полновесными 9-баллами, хотя в его ответе оказались переставленными $S_8$ и $S_{12}$. Но, во-первых, Николай сделал некоторые обобщения, а во-вторых, его решение, немного не совпав с правильным... полностью совпало с моим
Наиболее сложным естественно оказалось нахождение наиболее плотных упаковок для $S_{10}$, $S_{11}$ и $S_{12}$
Участникам, приславшим обзоры задачи, балла начислены в соответствии с полнотой их реферативных работ.

Понимаю Алексея Волошина, не удержавшегося от искушения включить в окончательный ответ $S_{13}$. Неоднозначность наиплотнейшей упаковки для 6 оладий интересна, но очевидна. Наличие различных конфигураций для $S_{11}$ более неожиданно. Но в этом случае меняет положение всего одна окружность. А существование двух совершенно непохожих и при этом абсолютно равноплотных упаковок для $S_{13}$ - просто фантастика!

Награды

За верное (в основном верное) решение (освещение) задачи ММ178 участники получают следующие призовые баллы: Алексей Волошин - 11; Олег Полубасов - 10; Анатолий Казмерчук и Николай Дерюгин - по 9; Виктор Филимоненков - 7; Сергей Половинкин - 6. Денис Артюшин получает 2 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла

[fiviol]

"Пекшие оладьи самостоятельно" получили меньше баллов, но наверняка больше удовольствия. :)
Спасибо за прекрасный велосипед!

Хочу обсудить вот какой момент. Представить себе четкое доказательство оптимальности приведенных решений в рамках 9-балльной задачи мне очень трудно. Насколько я понимаю, в этой задаче и не требовалось доказательство. Тогда хотелось бы, чтобы в таких задачах необязательность доказательства специально оговаривалось в условии, потому что иначе совесть не дает считать уже фактически решенную задачу решенной, а от этого портится сон. :)

[VAL]

fiviol в сообщении #737898 писал(а):

"Пекшие оладьи самостоятельно" получили меньше баллов, но наверняка больше удовольствия. :)

Угу.
Придумав эту задачу, я настолько увлекся решением, что и не думал о поиске готовых результатов.
Потом задумался. И понял, что задача не могла не быть поставлена раньше. Но на качестве поиска наверняка сказалось подспудное желание ничего не найти

Цитата:

Хочу обсудить вот какой момент. Представить себе четкое доказательство оптимальности приведенных решений в рамках 9-балльной задачи мне очень трудно. Насколько я понимаю, в этой задаче и не требовалось доказательство.

Смотря для каких $S_k$. Например, то что $S_1>S_2$ я берусь доказать строго
Если серьезно, то для больших $k$, конечно, не требовалось.
Я предполагал начислять 9 баллов за правильную расстановку $S_k$. Точнее, за ту, которую считал правильной (у меня были переставлены $S_8$ и $S_{12}$ ).

Цитата:

Тогда хотелось бы, чтобы в таких задачах необязательность доказательства специально оговаривалось в условии, потому что иначе совесть не дает считать уже фактически решенную задачу решенной, а от этого портится сон. :)

У меня была подобная мысль, но я от нее отказался, дабы не спугнуть участников
Пожелание принимается. Тем более, в прошлые разы, когда возникала подобная ситуация, я обычно сразу признавался в собственной некомпетентности.

[VAL]

Прием решений задачи ММ179 продлен до 27.06.13
Отсрочка вызвана цейтнотом ведущего. (Но воспользоваться ей могут и участники, не приславшие пока решений.)

[VAL]

========= 179 ==========

ММ179 (10 баллов)

Имеется 11 монет: 2 золотых; 4 серебряных; 5 бронзовых. Известно, что одна золотая, одна серебряная и 2 бронзовых монеты - фальшивые. Все настоящие монеты равны по весу. Все фальшивые тоже равны по весу, но легче настоящих.Золотые, серебряные и бронзовые отличаются друг от друга по внешнему виду. За четыре взвешивания на чашечных весах без гирь определить фальшивые монеты.

Решение

Приведу решения Виктора Филимоненкова, Олега Полубасова т новичка Марафона, Ариадны

Обсуждение

Задачу ММ179 я придумал несколько лет назад, заинтересовавшись (с подачи Константина Кнопа) подобными задачами.
Я пытался найти ответ на два вопроса:
1. Является ли очевидное необходимое условие "число различных комбинаций не превосходит $3^n$" достаточным для существования решения за $n$ взвешиваний?
2. Может ли оказаться, что единственно возможное первое взвешивание в решении не обладает симметрией?

Ответом (положительным) на второй вопрос и явилась задача ММ179. Впрочем, позже я нашел еще несколько вариантов условия, в которых первое взвешивание в решении не является симметричным.
Ответ на второй вопрос я тогда не нашел. Но теперь знаю. И вновь благодаря Константину Кнопу.
В то время как я в поисках контрпримера извращался, вовлекая в условие все больше типов разных монет, следовало просто увеличить число комбинаций.
Так, для 36 одинаковых с виду монет, из которых 4 фальшивых, задача не имеет решения за 10 взвешиваний, хотя $C_{36}^4<3^{10}$. Неразрешимость очевидна из-за невозможности обеспечить первое взвешивание так, чтобы при любом исходе на подозрении осталось не более $3^9=19683$ комбинаций.
Вот как распределяются количества возможных комбинаций в зависимости от исхода первого взвешивания и количества монет на чаше:

                        1, [5984, 46937, 5984]

                       2, [10480, 37945, 10480]

                       3, [13788, 31329, 13788]

                       4, [16173, 26559, 16173]

                       5, [17865, 23175, 17865]

                       6, [19059, 20787, 19059]

                       7, [19915, 19075, 19915]

                       8, [20558, 17789, 20558]

                       9, [21078, 16749, 21078]

                      10, [21530, 15845, 21530]

                      11, [21934, 15037, 21934]

                      12, [22275, 14355, 22275]

                      13, [22503, 13899, 22503]

                      14, [22533, 13839, 22533]

                      15, [22245, 14415, 22245]

                      16, [21484, 15937, 21484]

                      17, [20060, 18785, 20060]

                      18, [17748, 23409, 17748]

Зависимость максимально возможного количества подозрительных комбинаций от количества монет на чашах довольно любопытна. Так, наиболее равномерный вариант возникает, когда на чашах по 7 монет, а следующий по оптимальности получается, если положить на чаши по 17 монет.

Ситуация с тремя фальшивыми из 50-и одинаковых с виду монет дает еще один контрпример: $C_{50}^3<3^9$, но за девять взвешиваний гарантированно найти фальшивые монеты нельзя.

Итак, ответы на оба сформулированных выше вопроса получены. Но это, конечно, не означает, вопросов не осталось. Заинтересовавшихся отсылаю к статье большого спеца по взвешиваниям Константина Кнопа в первом номере журнала "Квант" за этот год и его же книжке К.Кноп "Взвешивания и алгоритмы: от головоломок к задачам", М.; МЦНМО 2011.

Награды

За верное решение задачи ММ179 Алексей Волошин, Олег Полубасов, Анатолий Казмерчук, Виктор Филимоненков, Сергей Половинкин и Ариадна получают 10 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи 4.8 балла

[VAL]

========= 180 ==========

ММ180 (13 баллов)

Назовем натуральное число "трижды нечетным", если само число, сумма его делителей и сумма делителей суммы его делителей нечетны. Может ли "трижды нечетное" число быть кратно 821?

Решение

Приведу решение Олега Полубасова.

Обсуждение

Эта задачка - побочный продукт другой, сформулированной в обсуждении ММ141. В попытке отыскать натуральные $n>1$, для которых $2\sigma(\sigma(\sigma(n)))<3n$ и возникли "трижды нечетные числа".
Трудность задачи отыскания чисел, нарушающих "правило трех сигм" вызвана следующими обстоятельствами:
Пусть искомое $n$ кратно 3. Тогда $n=9m$ (для нечетности $\sigma(n)$ число $n$ должно быть кратно 9). Если $(m,3)=1$, то $\sigma(n)\ge 13\sigma(m).$ Тогда уже $\sigma(\sigma(n))>14\sigma(m)>1.5n$. Аналогичная оценка проходит и для случая, когда $n$ кратно большей четной степени 3.
Значит, искомое $n$ не должно быть кратно 3.
Точно так же $\sigma(n)$ не должно быть кратно 3.
Но как это обеспечить? Как известно, искомое $n$ должно быть произведением четных степеней простых чисел. Однако, если среди сомножителей будет хотя бы один вида $p^2$, где $p\equiv1(\mod3)$, $\sigma(n)$ станет кратным трем.

Один способ справиться с указанной бедой - допускать в $n$ исключительно сомножители вида $p^2$, где $p\equiv 2(\mod3)$.
Но для $p$, сравнимых с 2 по модулю 3. $\sigma(p^2)$ будет сравнимо с 1. Подобрав другие сомножители так, чтобы $\sigma(p^2)$ вошло в разложение $\sigma(n)$ во второй степени мы инициируем появление множителя 3 у $\sigma(\sigma(n))$, что не оставляет практических шансов на выполнение искомого неравенства.
Я пытался найти такие $n$, что все простые множители входят в разложение $\sigma(n)$ в степенях, не сравнимых 2 по модулю 3, но тщетно.

Другой способ - изначально рассматривать такие $n$, в разложение которых простые множители входят не во вторых, а в бОльших четных степенях. Но тогда простые множители $\sigma(n)$ очень быстро растут и к ним очень тяжело подбирать пары, чтобы сделать $\sigma(n)$ квадратом. Кроме того, это никак не гарантирует от появления множителя 3 у $\sigma(\sigma(n))$.

Некоторые участники высказали мнение, что цена ММ180 завышена. Вполне допускаю, что так оно и есть: я подсознательно спроецировал на нее усилия и потуги, кратко описанные выше, но имеющие к ММ180 лишь косвенное отношение.

Однако, вернемся к ММ180. Откуда взялось число 821? Дело в том, что трижды нечетные числа представлены в OEIS. Это нечетные члены эверестовской последовательности A008848 (а теперь это еще и последовательность A231484). 821 - наименьший простой множитель, отсутствующий в A008848 и входящий в трижды нечетные из моей коллекции.

Приведу несколько рекордных трижды нечетных чисел, кратных 821:
Самое большое - 2153829155085255043614891212240804954296290781551228459130025646030373396031813892179848131295024231966337511684848286216390330422 \798784638792856220500360869569340697854169364206477035521273548548065039909123747445604084225. В этом монстре 223 десятичных знака.
Самым маленьким (не в смысле величины, а в смысле количества простых сомножителей в $n$) из найденных является число

$$6888943998606321712473704540351139273889 = 821^2\cdot2458867^2\cdot2706167^2\cdot15193^2$$

.
Как и ряд участников, я тоже попытался найти трижды нечетные числа, кратные 821, в каноническом разложении которых присутствуют лишь два сомножителя, т.е найти решение диофантова уравнения $p^2+p+1=(821^2+821+1)z^2$, где $p$ - простое, а $z>1$.
Это уравнение легко (домножением на 4 и заменой $y=2z, x=2p+1$ сводится к обобщенному уравнению Пелля $x^2-674863y^2=-3$ (1).
В отличие от обычного уравнения Пелля, обобщенное разрешимо не всегда. Но это замечание не относится к уравнениям вида $x^2-\sigma(q^2)y^2=-3$. Ведь у них всегда есть тривиальное решение $x=q, y=1$, а значит и бесконечное множество решений.
В частности, для уравнения (1) имеется целых две бесконечных серии решений:

$$x_{i+1}=6809342162640134046028986727x_i+5593877694950442290679646272108y_i$$

$$y_{i+1}=8288908556181687676876116x_i+6809342162640134046028986727y_i$$

Для одной серии $x_0=6216683144343733667351755, y_0=7567473755238950514866$. В этой серии нет подходящих решений, поскольку $\frac{x_i-1}2$ всегда кратно 3.
Для другой серии $x_0=1643, y_0=2$. В ней не наблюдается каких либо закономерностей среди делителей чисел $\frac{x_i-1}2$ и я надеялся обнаружить среди решений подходящие. Но проверив первые 600 чисел $\frac{x-1}2$ (последние имеют по несколько десятков тысяч десятичных цифр) не нашел ни одного простого.
Решая аналогичные уравнения, но не для числа 821, а, например, для чисел 7, 13, 31, 37 (для 37 удалось найти сразу 4 подходящих решения) можно получить трижды нечетные числа, являющиеся произведением квадратов двух простых чисел. Например, $10384004710216931766633904029637^2\cdot 13^2$ или $2110781437^2\cdot 37^2$.
Все простые числа, для которых нашлось решение, имеют вид $6k+1$. У меня уже было сложилось впечатление, что это вовсе не случайно, а специально для того чтобы затруднить поиск чисел, для которых $2\sigma(\sigma(\sigma(n)))<3n$ Но в этот момент я нашел нетривиальное решение уравнения $x^2=\sigma(59^2)y^2$ с простым $\frac{x_i-1}2$. Найти точное значение $\frac{\sigma(\sigma(\sigma(n)))}n$ для 2433-значного $n$ я не смог, но оценка $\approx 1.64$ - рекорд для трижды нечетных $n$.

Под занавес обсуждения выделю вопросы, связанные с ММ141 и ММ180, ответы на которые пока не удалось найти:

1. Является ли равенство $\sigma(3^4)=11^2$ единственным нетривиальным примером соотношения $\sigma(p^k)=q^s$?
2. Существуют ли $n>1$, для которых $2\sigma(\sigma(\sigma(n)))<3n$?
3. Существуют ли "четырежды нечетные" числа?

Награды

За ММ180 Олег Полубасов получает 15 призовых баллов, Виктор Филимоненков, Анатолий Казмерчук, Алексей Волошин, Николай Дерюгин, Евгений Гужавин и Сергей Половинкин - по 13 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи 4.9 балла

[VAL]

Итоговое положение участников в XVIII туре Математического марафона
\begin{tabular}{|l|l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline №& Участники& 171 & 172 & 173 & 174 & 175 & 176 & 177 & 178 & 179 & 180 & \Sigma \\ \hline 1.& Олег Полубасов & 5 & 5 & 5 & 6 & 14 & 6 & 7 & 10 & 10 & 15 & 83 \\ \hline 2.& Алексей Волошин & 5 & 5 & 5 & 7 & 9 & 5 & 6 & 11 & 10 & 13 & 76 \\ \hline 3.& Сергей Половинкин & 5 & 5 & 5 & 6 & 12 & 5 & 7 & 6 & 10 & 13 & 74 \\ \hline 4.& Анатолий Казмерчук & 5 & 5 & 5 & 7 & 8 & 5 & 6 & 9 & 10 & 13 & 73 \\ \hline 5.& Виктор Филимоненков & 5 & 5 & 5 & 7 & 8 & 5 & 6 & 7 & 10 & 13 & 71 \\ \hline 6.& Николай Дерюгин & 5 & 4 & - & 4 & 9 & 5 & 5 & 9 & - & 13 & 54 \\ \hline 7.& Евгений Гужавин & 5 & - & - & 5 & 8 & 5 & - & - & - & 13 & 36 \\ \hline 8.& Алексей Извалов & 5 & 5 & 5 & 7 & 8 & 2 & 2 & - & - & - & 34 \\ \hline 9.& Кирилл Веденский & 5 & 5 & 5 & - & 8 & - & - & - & - & - & 23 \\ \hline 10.& Ариадна & - & - & - & - & - &- & - & - & 10 & - & 10 \\ \hline 11.& Тимофей Игнатьев & - & - & 3 & - & - & - & - & - & - & - & 3 \\ \hline 11.& Денис Артюшин & - & - & - & - & - & 1 & - & 2 & - & - & 3 \\ \hline \end{tabular}

Положение лидирующей группы после 18-и туров Марафона
\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|c|} \hline Участники &I-VIII&IX&X&XI&XII&XIII&XIV&XV&XVI&XVII&XVIII&\Sigma\\ \hline 1. А.Казмерчук &55&67&-&61&74&61&45&54&53&51&73&594\\ \hline 2. В.Филимоненков &201&7&21&32&32&22&-&48&55&46&71&535\\ \hline 3. А.Волошин &-&-&45&20&72&61&47&52&54&50&76&477\\ \hline 4. О.Полубасов &187&81&-&-&-&-&-&-&64&56&83&471\\ \hline 5. С.Половинкин &-&-&-&-&80&57&64&56&58&41&74&430\\ \hline 6. В.Франк &323&23&33&-&6&-&26&-&-&-&-&411\\ \hline 7. Н.Дерюгин &-&18&3&30&49&21&20&19&43&18&54&275\\ \hline 8. Д.Пашуткин &-&-&-&-&41&16&48&43&24&3&-&169\\ \hline 9. А.Халявин &-&-&49&17&6&-&-&43&-&-&-&115\\ \hline 10. А.Богданов &97&15&-&-&-&-&-&-&-&-&-&112\\ \hline \end{tabular}

Мои поздравления лауреатам! И Спасибо всем участникам марафона!
Отдыхаем, набираемся сил. Надеюсь, осенью продолжим.