Всем доброго времени суток.
Достаточное условие компактности мн-ва - ограниченость и замкнутость (т.е мн-во содержит все свои предельные точки).
Рассмотрим m-мерную сферу(мн-во E):

Следовательно

По определению,
![$d(E)=sup[d(x1,x2)]$ $d(E)=sup[d(x1,x2)]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/e/b6ec18404405c42e9e74f1ecbe15531782.png)
= [используя нер-во Минковского]

т.е, мн-во E - ограничено.
Замкнутость сферы можно доказать, рассмотрев мн-ва

- открыты.
Объединение открытых - открыто.
По определению дополнение к открытому - замкнутое

сфера замкнутое.
Но,как доказать замнкутость имея уравнения, в данном случае сферы?

- непрерывна, как композиция непрерывных.
Непрерывность в точке гарантирует что точка либо изолирована, либо предельная. (По опр :

).
т.е как доказать что каждая точка предельна?