Сфера - компакт.

[chem_victory]

Всем доброго времени суток.
Достаточное условие компактности мн-ва - ограниченость и замкнутость (т.е мн-во содержит все свои предельные точки).
Рассмотрим m-мерную сферу(мн-во E): $(x^1)^2+...+(x^m)^2=r^2$
Следовательно $|x^k|\le r \quad \forall k=1,m$
По определению, $d(E)=sup[d(x1,x2)]$ = [используя нер-во Минковского] $ < mr=R$
т.е, мн-во E - ограничено.

Замкнутость сферы можно доказать, рассмотрев мн-ва $d(a,x)>r \quad d(a,x)<r $- открыты.
Объединение открытых - открыто.
По определению дополнение к открытому - замкнутое $\Rightarrow $ сфера замкнутое.
Но,как доказать замнкутость имея уравнения, в данном случае сферы?

$ F(M)=(x^1)^2+...+(x^m)^2-r^2$ - непрерывна, как композиция непрерывных.
Непрерывность в точке гарантирует что точка либо изолирована, либо предельная. (По опр :$ \forall U(f(a)) \quad \exists U(a)\quad ( f(U(a)) \subset U(f(a)))$ ).
т.е как доказать что каждая точка предельна?

[provincialka]

А чем вам изолированные не нравятся?

[chem_victory]

они ведь не предельные(существует окрестность, пересечение которой с мн-во пусто), значит мн-во содержаще их не замкнуто по определению.

[provincialka]

Нет, изолированные точки не мешают замкнутости. Ведь требуется, чтобы предельные точки принадлежали множеству, про остальные ничего не известно (не требуется).

[VladimirKr]

Цитата:

Достаточное условие компактности мн-ва - ограниченость и замкнутость

Вот с этим надо поосторожнее. А то спросят, на каких пространствах и попросят привести пример, когда сфера - не компакт.

[chem_victory]

provincialka в сообщении #733101 писал(а):

Нет, изолированные точки не мешают замкнутости. Ведь требуется, чтобы предельные точки принадлежали множеству, про остальные ничего не известно (не требуется).

Согласен, но как доказать что каждая точка сферы - предельная?(понимаю, для компактности это не надо, мне просто интересно).
Как доказать что каждая предельная - принадлежит?(для замкнутости).
От противного что-то не выходит..

VladimirKr в сообщении #733103 писал(а):

Цитата:

Достаточное условие компактности мн-ва - ограниченость и замкнутость

Вот с этим надо поосторожнее. А то спросят, на каких пространствах и попросят привести пример, когда сфера - не компакт.

Метрическое пр-во.

[Otta]

chem_victory в сообщении #733113 писал(а):

Согласен, но как доказать что каждая точка сферы - предельная?

По определению.

chem_victory в сообщении #733113 писал(а):

Метрическое пр-во.

Неужели любое?

[chem_victory]

Otta в сообщении #733117 писал(а):

chem_victory в сообщении #733113 писал(а):

Согласен, но как доказать что каждая точка сферы - предельная?

По определению.

chem_victory в сообщении #733113 писал(а):

Метрическое пр-во.

Неужели любое?

не выходит, наведите..

Цитата из Зорича: "Мн-во K - компакт, тогда и только тогда, когда K - замкнуто и ограничено в $R^m$".

На сколько я знаю, метрическое - там где введена метрика, т.е любой паре эл. принадлежащих мн-ву сопоставляется число + требования на данное отображение.

[ewert]

chem_victory в сообщении #733069 писал(а):

Но,как доказать замнкутость имея уравнения, в данном случае сферы?

Никак. Замкнутость сферы следует просто из её абстрактного определения и из неравенства треугольника, независимо от того, какими формулами задаётся расстояние.

-- Ср июн 05, 2013 20:19:03 --

chem_victory в сообщении #733121 писал(а):

"Мн-во K - компакт, тогда и только тогда, когда K - замкнуто и ограничено в $R^m$".

Вот именно что в $R^m$, а не абы где.

[Otta]

chem_victory в сообщении #733121 писал(а):

На сколько я знаю, метрическое - там где введена метрика, т.е любой паре эл. принадлежащих мн-ву сопоставляется число + требования на данное отображение.

Вы вот так и говорите, учусь, мол, на первом курсе, прошу учесть. Но все-таки обратите внимание на то, что критерий Ваш называется критерием компактности в $\mathbb R^n$. А про то, когда из замкнутости и ограниченности компактность не следует, Вам еще расскажут.

[chem_victory]

ewert в сообщении #733124 писал(а):

chem_victory в сообщении #733069 писал(а):

Но,как доказать замнкутость имея уравнения, в данном случае сферы?

Никак. Замкнутость сферы следует просто из её абстрактного определения и из неравенства треугольника, независимо от того, какими формулами задаётся расстояние.

-- Ср июн 05, 2013 20:19:03 --

chem_victory в сообщении #733121 писал(а):

"Мн-во K - компакт, тогда и только тогда, когда K - замкнуто и ограничено в $R^m$".

Вот именно что в $R^m$, а не абы где.

Цитата из того же Зорича:

из непрерывности $(x^1,...,x^m) \to (x^1)^2+...+(x^m)^2$
следует замкнутость сферы.

Почему?

[Otta]

Какие Вы знаете достаточные (или необходимые и достаточные) условия замкнутости?

[мат-ламер]

chem_victory в сообщении #733069 писал(а):

Но,как доказать замнкутость имея уравнения, в данном случае сферы?

Прообраз замкнутого множества (в данном случае - точки) при непрерывном отображении замкнут.

[chem_victory]

мат-ламер в сообщении #733137 писал(а):

chem_victory в сообщении #733069 писал(а):

Но,как доказать замнкутость имея уравнения, в данном случае сферы?

Прообраз замкнутого множества (в данном случае - точки) при непрерывном отображении замкнут.

Не понял. поясните.

Otta в сообщении #733135 писал(а):

Какие Вы знаете достаточные (или необходимые и достаточные) условия замкнутости?

chem_victory в сообщении #733121 писал(а):

"Мн-во K - компакт, тогда и только тогда, когда K - замкнуто и ограничено в $R^m$".

[Otta]

Ну, это мало. И я не про компактность, я про замкнутость.
Через "дополнение открыто" - это я видела.
Ага. А что там с предельными точками и как это на языке последовательностей сформулировать? Получится альтернативное, но не менее ходовое определение замкнутости.

chem_victory в сообщении #733146 писал(а):

Цитата:

мат-ламер в сообщении #733137 писал(а):

Прообраз замкнутого множества (в данном случае - точки) при непрерывном отображении замкнут.

Не понял. поясните.

Откуда куда действует это, приведенное Вами отображение? Что является пробразом точки?
Но это другой путь. Оба быстрые и оба надо понимать.