2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Сфера - компакт.
Сообщение05.06.2013, 18:14 
Всем доброго времени суток.
Достаточное условие компактности мн-ва - ограниченость и замкнутость (т.е мн-во содержит все свои предельные точки).
Рассмотрим m-мерную сферу(мн-во E): $(x^1)^2+...+(x^m)^2=r^2$
Следовательно $|x^k|\le r \quad \forall k=1,m$
По определению, $d(E)=sup[d(x1,x2)]$ = [используя нер-во Минковского] $ < mr=R$
т.е, мн-во E - ограничено.

Замкнутость сферы можно доказать, рассмотрев мн-ва $d(a,x)>r \quad  d(a,x)<r $- открыты.
Объединение открытых - открыто.
По определению дополнение к открытому - замкнутое $\Rightarrow $ сфера замкнутое.
Но,как доказать замнкутость имея уравнения, в данном случае сферы?

$ F(M)=(x^1)^2+...+(x^m)^2-r^2$ - непрерывна, как композиция непрерывных.
Непрерывность в точке гарантирует что точка либо изолирована, либо предельная. (По опр :$ \forall U(f(a)) \quad \exists U(a)\quad  ( f(U(a)) \subset U(f(a)))$ ).
т.е как доказать что каждая точка предельна?

 
 
 
 Re: Сфера - компакт.
Сообщение05.06.2013, 18:23 
Аватара пользователя
А чем вам изолированные не нравятся?

 
 
 
 Re: Сфера - компакт.
Сообщение05.06.2013, 18:38 
они ведь не предельные(существует окрестность, пересечение которой с мн-во пусто), значит мн-во содержаще их не замкнуто по определению.

 
 
 
 Re: Сфера - компакт.
Сообщение05.06.2013, 18:49 
Аватара пользователя
Нет, изолированные точки не мешают замкнутости. Ведь требуется, чтобы предельные точки принадлежали множеству, про остальные ничего не известно (не требуется).

 
 
 
 Re: Сфера - компакт.
Сообщение05.06.2013, 18:49 
Цитата:
Достаточное условие компактности мн-ва - ограниченость и замкнутость

Вот с этим надо поосторожнее. А то спросят, на каких пространствах и попросят привести пример, когда сфера - не компакт.

 
 
 
 Re: Сфера - компакт.
Сообщение05.06.2013, 19:08 
provincialka в сообщении #733101 писал(а):
Нет, изолированные точки не мешают замкнутости. Ведь требуется, чтобы предельные точки принадлежали множеству, про остальные ничего не известно (не требуется).

Согласен, но как доказать что каждая точка сферы - предельная?(понимаю, для компактности это не надо, мне просто интересно).
Как доказать что каждая предельная - принадлежит?(для замкнутости).
От противного что-то не выходит..

VladimirKr в сообщении #733103 писал(а):
Цитата:
Достаточное условие компактности мн-ва - ограниченость и замкнутость

Вот с этим надо поосторожнее. А то спросят, на каких пространствах и попросят привести пример, когда сфера - не компакт.


Метрическое пр-во.

 
 
 
 Re: Сфера - компакт.
Сообщение05.06.2013, 19:10 
chem_victory в сообщении #733113 писал(а):
Согласен, но как доказать что каждая точка сферы - предельная?

По определению.
chem_victory в сообщении #733113 писал(а):
Метрическое пр-во.

Неужели любое?

 
 
 
 Re: Сфера - компакт.
Сообщение05.06.2013, 19:14 
Otta в сообщении #733117 писал(а):
chem_victory в сообщении #733113 писал(а):
Согласен, но как доказать что каждая точка сферы - предельная?

По определению.

chem_victory в сообщении #733113 писал(а):
Метрическое пр-во.

Неужели любое?


не выходит, наведите..

Цитата из Зорича: "Мн-во K - компакт, тогда и только тогда, когда K - замкнуто и ограничено в $R^m$".

На сколько я знаю, метрическое - там где введена метрика, т.е любой паре эл. принадлежащих мн-ву сопоставляется число + требования на данное отображение.

 
 
 
 Re: Сфера - компакт.
Сообщение05.06.2013, 19:17 
chem_victory в сообщении #733069 писал(а):
Но,как доказать замнкутость имея уравнения, в данном случае сферы?

Никак. Замкнутость сферы следует просто из её абстрактного определения и из неравенства треугольника, независимо от того, какими формулами задаётся расстояние.

-- Ср июн 05, 2013 20:19:03 --

chem_victory в сообщении #733121 писал(а):
"Мн-во K - компакт, тогда и только тогда, когда K - замкнуто и ограничено в $R^m$".

Вот именно что в $R^m$, а не абы где.

 
 
 
 Re: Сфера - компакт.
Сообщение05.06.2013, 19:24 
chem_victory в сообщении #733121 писал(а):
На сколько я знаю, метрическое - там где введена метрика, т.е любой паре эл. принадлежащих мн-ву сопоставляется число + требования на данное отображение.

Вы вот так и говорите, учусь, мол, на первом курсе, прошу учесть. Но все-таки обратите внимание на то, что критерий Ваш называется критерием компактности в $\mathbb R^n$. А про то, когда из замкнутости и ограниченности компактность не следует, Вам еще расскажут.

 
 
 
 Re: Сфера - компакт.
Сообщение05.06.2013, 19:25 
ewert в сообщении #733124 писал(а):
chem_victory в сообщении #733069 писал(а):
Но,как доказать замнкутость имея уравнения, в данном случае сферы?

Никак. Замкнутость сферы следует просто из её абстрактного определения и из неравенства треугольника, независимо от того, какими формулами задаётся расстояние.

-- Ср июн 05, 2013 20:19:03 --

chem_victory в сообщении #733121 писал(а):
"Мн-во K - компакт, тогда и только тогда, когда K - замкнуто и ограничено в $R^m$".

Вот именно что в $R^m$, а не абы где.


Цитата из того же Зорича:

из непрерывности $(x^1,...,x^m) \to (x^1)^2+...+(x^m)^2$
следует замкнутость сферы.

Почему?

 
 
 
 Re: Сфера - компакт.
Сообщение05.06.2013, 19:28 
Какие Вы знаете достаточные (или необходимые и достаточные) условия замкнутости?

 
 
 
 Re: Сфера - компакт.
Сообщение05.06.2013, 19:29 
Аватара пользователя
chem_victory в сообщении #733069 писал(а):
Но,как доказать замнкутость имея уравнения, в данном случае сферы?

Прообраз замкнутого множества (в данном случае - точки) при непрерывном отображении замкнут.

 
 
 
 Re: Сфера - компакт.
Сообщение05.06.2013, 19:45 
мат-ламер в сообщении #733137 писал(а):
chem_victory в сообщении #733069 писал(а):
Но,как доказать замнкутость имея уравнения, в данном случае сферы?

Прообраз замкнутого множества (в данном случае - точки) при непрерывном отображении замкнут.


Не понял. поясните.

Otta в сообщении #733135 писал(а):
Какие Вы знаете достаточные (или необходимые и достаточные) условия замкнутости?


chem_victory в сообщении #733121 писал(а):
"Мн-во K - компакт, тогда и только тогда, когда K - замкнуто и ограничено в $R^m$".

 
 
 
 Re: Сфера - компакт.
Сообщение05.06.2013, 19:53 
Ну, это мало. И я не про компактность, я про замкнутость.
Через "дополнение открыто" - это я видела.
Ага. А что там с предельными точками и как это на языке последовательностей сформулировать? Получится альтернативное, но не менее ходовое определение замкнутости.

chem_victory в сообщении #733146 писал(а):
Цитата:
мат-ламер в сообщении #733137 писал(а):

Прообраз замкнутого множества (в данном случае - точки) при непрерывном отображении замкнут.


Не понял. поясните.

Откуда куда действует это, приведенное Вами отображение? Что является пробразом точки?
Но это другой путь. Оба быстрые и оба надо понимать.

 
 
 [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group