Сфера - компакт.

[chem_victory]

Otta в сообщении #733151 писал(а):

Ну, это мало. И я не про компактность, я про замкнутость.
Через "дополнение открыто" - это я видела.
Ага. А что там с предельными точками и как это на языке последовательностей сформулировать? Получится альтернативное, но не менее ходовое определение замкнутости.

chem_victory в сообщении #733146 писал(а):

Цитата:

мат-ламер в сообщении #733137 писал(а):

Прообраз замкнутого множества (в данном случае - точки) при непрерывном отображении замкнут.

Не понял. поясните.

Откуда куда действует это, приведенное Вами отображение? Что является пробразом точки?
Но это другой путь. Оба быстрые и оба надо понимать.

Мн-во E называется замкнутым, если из того, что какая-либо последовательность точек An , принадлежащих к E , сходится к точке A0, следует, что A0 принадлежит к E.


Отображение сферы? ($F:R^m \to R$).
Прообраз точки в R - точка в $R^m$, нет?

Я вроде понял, что пытался донести мат-ламер, но откуда это?
Извиняюсь, за скудность знаний, я лишь только начал обучение..
На любой вопрос гугл выдает - топология. читаю Зорича, может какую книгу по топологии?!

[мат-ламер]

Всё правильно.
Несколько постов назад была цитата из Зорича.

-- Ср июн 05, 2013 21:13:50 --

chem_victory в сообщении #733162 писал(а):

может какую книгу по топологии?!

Миша Вербицкий написал недавно.

[Otta]

chem_victory в сообщении #733162 писал(а):

Мн-во E называется замкнутым, если из того, что какая-либо последовательность точек An , принадлежащих к E , сходится к точке A0, следует, что A0 принадлежит к E.

Правильно. Ну и примените это непосредственно к определению сферы в некоторой метрике, необязательно Вашей.

Цитата:

Прообраз точки в R - точка в $R^m$, нет?

Нет. Давайте проще. Какое множество точек переходит в точку 4?

В Зориче достаточно сведений по топологии для Ваших целей, насколько я помню. Если отображение глобально непрерывно, прообраз любого открытого открыт. Что равносильно тому, что сказал мат-ламер, естественно.

[chem_victory]

Otta в сообщении #733171 писал(а):

chem_victory в сообщении #733162 писал(а):

Мн-во E называется замкнутым, если из того, что какая-либо последовательность точек An , принадлежащих к E , сходится к точке A0, следует, что A0 принадлежит к E.

Правильно. Ну и примените это непосредственно к определению сферы в некоторой метрике, необязательно Вашей.

Цитата:

Прообраз точки в R - точка в $R^m$, нет?

Нет. Давайте проще. Какое множество точек переходит в точку 4?

В Зориче достаточно сведений по топологии для Ваших целей, насколько я помню. Если отображение глобально непрерывно, прообраз любого открытого открыт. Что равносильно тому, что сказал мат-ламер, естественно.

Прообраз точки в R - есть все множество E, т.е сфера?

[Deggial]

chem_victory в сообщении #733162 писал(а):

Мн-во E называется замкнутым, если из того, что какая-либо последовательность точек An , принадлежащих к E , сходится к точке A0, следует, что A0 принадлежит к E.

chem_victory, замечание за неоформление формул $\TeX$ом. Все формулы следует оформлять $\TeX$ом.

[Otta]

chem_victory
Ну наведите уже порядок. Какой точки, всякой ли точки, какая именно сфера. Мелочь, а приятно.

[chem_victory]

Otta в сообщении #733175 писал(а):

chem_victory
Ну наведите уже порядок. Какой точки, всякой ли точки, какая именно сфера. Мелочь, а приятно.

Пусть есть отображение $F:E \subset R^m \to R$
$F(M)=(x^1)^2+...+(x^m)^2=r^2$, где $M \in R^m$
По условию, отображение непрерывно, т.е прообраз замкнутого мн-ва, замкнут.
Здесь: образ - есть точка $r \in R.$ мн-во состоящее из ед. точки замкнуто по опр.(?)// предельных точек нет, значит все точки принадлежат данному мн-ву.

прообраз есть $D[F(M)] = E \in R^m. $ - замкнуто из сказанного выше.
похоже?

[Otta]

Похоже. Только страшно очень.
Таки Ваша сфера $E$ это прообраз какой точки?

[chem_victory]

Otta в сообщении #733192 писал(а):

Похоже. Только страшно очень.
Таки Ваша сфера $E$ это прообраз какой точки?

таки $r^2$?

[Otta]

Таки да.
А вот теперь выбросить все лишнее, и будет совсем красота.
Есть отображение, непрерывное на всем пространстве (что на всем, это важно). Точка (любая) замкнута в $R$ (почему?). Тогда ее прообраз тоже замкнут. Но это наша сфера $E$. Аминь.

=====

Тут надо позанудствовать и добавить, что ваще-то сфера - понятие, определяемое с помощью метрики. Помните школьное определение сферы или окружности? А метрик много. Так вот сфера всегда замкнута. Тут очень хорошо работает определение сферы, непрерывность метрики (любой) и например, то определение замкнутости с последовательностями, что я Вам напоминала. Или тот способ, который напоминал ewert.

[chem_victory]

Otta в сообщении #733196 писал(а):

Таки да.
А вот теперь выбросить все лишнее, и будет совсем красота.
Есть отображение, непрерывное на всем пространстве (что на всем, это важно). Точка (любая) замкнута в $R$ (почему?). Тогда ее прообраз тоже замкнут. Но это наша сфера $E$. Аминь.

Ок, вроде понял.
Полнота $R$ гарантирует это(каждая точка - предельна), вроде как.

[Otta]

chem_victory в сообщении #733201 писал(а):

Полнота гарантирует это(каждая точка - предельна), вроде как.

Теперь я не понял. Что Вы имели в виду?
(В скобках: каноническое определение благополучно забыто.)

[chem_victory]

Otta в сообщении #733196 писал(а):

Таки да.
Есть отображение, непрерывное на всем пространстве (что на всем, это важно). Точка (любая) замкнута в $R$ (почему?).

Если Вы о том,почему мн-во $E$ состоящее из одной точки $M \in R$ - замкнуто.
То, как мне кажется условия удовлетворяют определению: (все предельные точки $E$ - а их нет, принадлежат $E$, т.к пустое мн-во принадлежит любому мн-ву).

[Otta]

chem_victory
Не, ну можно так, конечно. Хотя вот тут я смотрела бы на дополнение. Но это уж как нравится. Только причем тут полнота $R$?

[chem_victory]

Otta в сообщении #733216 писал(а):

chem_victory
Не, ну можно так, конечно. Хотя вот тут я смотрела бы на дополнение. Но это уж как нравится. Только причем тут полнота $R$?

она в теснейшей связи с моим помутнением, причиной чему явился небывалый поток информации.
перепутал определения, и напечатал не думая. :)