Бесконечность пар простых чисел-«близнецов» доказана?

[shwedka]

Руст в сообщении #732691 писал(а):

Но можно взять

Лихо-то как! А можно ли? покажите!

-- Вт июн 04, 2013 22:21:09 --

Захватывающая дух таблица, демонстрирующая как констана Жанга убывала за проедшую неделю, и почему.
http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes
а Тао начал онлайновый семинар по систематическому изучению Жанга.
http://terrytao.wordpress.com/2013/06/04/online-reading-seminar-for-zhangs-bounded-gaps-between-primes/

А Жанга уже изучают в университетах. см.http://blogs.ethz.ch/kowalski/2013/06/04/bounded-gaps-between-primes-some-grittier-details/, в ETH, в Цюрихе.

[Nilenbert]

На всякий случай: он вообще-то Чжан Итан.

[Руст]

Пусть $f(x)=(1-x^{\alpha})^l, \alpha>0.$ Для удобства перейдем к переменной $y=x^{\alpha}, f(x)=(1-y)^l, f'(x)=((1-y)^l)'_y\alpha y^{-\beta}, \beta=1/\alpha -1$.
Слева $A\int_0^1(1-y)^{2l}y^{\gamma_1-1}dy$. Здесь я умножил на $4\alpha$ и $A=(1+4\bar{\omega})k_0(k_0-1)$.
Справа (при соответствующем умножении) $4l^2\alpha^2\int_0^1(1-y)^{2l-2}y^{\gamma_2-1}dy$.
При этом $\gamma_1=\frac{k_0-1}{\alpha}, \gamma_2=\frac{k_0-2}{\alpha}+2$.
Полученные Бета функции Эйлера можно оценить, их отношение

$$\frac{AB(2l+1,\gamma_1)}{4l^2\alpha^2B(2l-1,\gamma_2)}=\frac{A\Gamma(2l+1)\Gamma(\gamma_1)\Gamma(2l+1+\frac{k_0-2}{\alpha}}{4l^2\alpha^2\Gamma(2l-1)\Gamma(\gamma_2)\Gamma(2l+1+\gamma_1)}.$$

Таким образом отношение есть

$$CD, D=\frac{\Gamma(\frac{k_0-1}{\alpha})\Gamma(2l+1+\frac{k_0-2}{\alpha})}{\Gamma(\frac{k_0-2}{\alpha})\Gamma(2l+1+\frac{k_0-1}{\alpha})}=\frac{\prod_{i=0}^{2l}(i+\frac{k_0-2}{\alpha})}{\prod_{i=0}^{2l}(i+\frac{k_0-1}{\alpha})},$$

$$ C=\frac{(1-\frac{1}{2l})(1+4\omega)k_0(k_0-1)}{(k_0-2+\alpha)(k_0-2)}.$$

Получается, что не выгодно уменьшать $\alpha$. Лучше брать $0<\alpha\le 3.$ Число $k_0$ не удается сильно уменьшать, а число $l$ так же не должен быть сильно большим только порядка $\sqrt{k_0}$ . Тогда удается подобрать $k_0$ порядка не больше $10$ миллионов. Точнее надо оптимизировать с помощью компьютера.

[shwedka]

Руст в сообщении #732795 писал(а):

Получается, что не выгодно уменьшать $\alpha$. Лучше брать $0<\alpha\le 3.$ Число $k_0$ не удается сильно уменьшать, а число $l$ так же не должен быть сильно большим только порядка $\sqrt{k_0}$ . Тогда удается подобрать $k_0$ порядка не больше $10$ миллионов. Точнее надо оптимизировать с помощью компьютера.

То есть, опять 'надо', надо. А результат где?

А это по существу уже сделано

Цитата:

Right now we can obtain the value $k_0 = 341,640$ just by substituting in monomials $f(x) = \frac{1}{l_0} (1-x)^{l_0}$, but these are not the optimal solutions and one should be able to do better, thus improving $k_0$ and hence the bound H on the gap between primes

И намного Вы за счет такого$0<\alpha\le 3.$ улучшите имеющийся результат?

[Руст]

shwedka в сообщении #732808 писал(а):

Руст в сообщении #732795 писал(а):

И намного Вы за счет такого$0<\alpha\le 3.$ улучшите имеющийся результат?

Без компьютера примерно до 320000.
Возьмем (как и говорил) малое $\alpha$ и целое $m=2l$, тогда отношение

$$CD=\frac{(1+4\omega)k_0(k_0-1)}{(k_0-2+\alpha)(k_0-2)}\prod_{i=0}^m(1-\frac{1}{k_0-1+i\alpha})\approx \frac{k_0(k_0-1)}{(k_0-2)^2}(1-\frac 1m)(1-\frac{m}{k_0-1})(1+4\omega).$$

Если взять $m$ немного меньше $\frac{1}{2\omega}=579$, то начиная примерно с $k_0=m^2+1$ неравенство выполняется.
При $m=579, k_0=579^2+1=335242$ неравенство заведомо выполняется.

[Руст]

Компьютерные вычисления при $\alpha\to 0$ дали результат
при $m=579$ для $k_0\ge 335435$ неравенство выполняется.
Оптимальный выбор, когда $\alpha =O(\frac{1}{k_0})$. Соответственно по видимому это еще уменьшит границу на несколько единиц, но вряд ли до 335400.

[Руст]

Не хватало двойной точности при расчетах.
Увеличил точность специальным образом и получил, что неравенство выполняется при $k_0>332062$.

[shwedka]

Прошедшей ночью были улучшены значения $k_0$,
http://terrytao.wordpress.com/2013/06/03/the-prime-tuples-conjecture-sieve-theory-and-the-work-of-goldston-pintz-yildirim-motohashi-pintz-and-zhang/#comment-232721
$k_0=34429$,
то есть, почти в 10 раз лучше, чем у Руст.
Оптимизирующая функция, действительно, выражается через Бесселя.

Интересные воспоминаня о Чанге его научного руководителя
http://www.math.purdue.edu/~ttm/ZhangYt.pdf

[Руст]

Да, мой метод давал небольшое улучшение коэффициента только перед $\omega^{-2}$.
Функции Бесселя дают $O(\omega^{-3/2})$ и по видимому дальнейшено существенного улучшения не предвидится без увеличения $\omega$.

[shwedka]

Что творится!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Последний рекорд
389,922 между простыми...
И не верится!

[Nilenbert]

Если они таки увеличат $\bar{\omega}$, то константу Чжана может быть сделают меньше 100 000. Пока у них 388 284.

[Nilenbert]

Константу Чжана довели до 108 978. Дальше наверное всё-таки прогресс замедлится.

[shwedka]

На сайте http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes#World_records
ведется учет улучшений. Сообщение, что

Nilenbert в сообщении #734195 писал(а):

Константу Чжана довели до 108 978. Дальше наверное всё-таки прогресс замедлится.

дезавуировано. Наилуший результат на сейчас- 285,210

[Nilenbert]

Да, жаль. С другой стороны нашли ошибку в статье у Пинца, что полезно. В блоге у Тао уже 4 поста с активными обсуждениями.

[shwedka]

За прошедший рабочий день за океаном,
констата улучшилась до 252,976